數學建模課程設計---賓館預定策略問題

1、<p>　　數學建模課程設計報告</p><p>　　題 目: 賓館預定策略問題</p><p>　　院 系： 數學學院</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　本題為賓館的預定策略問題，涉及價格制定和經營策略問題。通過對題目中提供的數據，以及對所要求解的問題的分析，本小組

2、認為符合時序預測問題的基本條件。</p><p>　　對于第一問，要求估計第九周和第十周參考標準間房價，屬于短期預測。將對未來價格的預測問題分解為兩個問題：對一周內各天價格所占一周內總價的比例，和各周價格變化趨勢適。采用多段的、三次多項式趨勢外推法解決第一個問題，模型的誤差最大為0.39%，可見模型是十分精準的；同時采用三次多項式外推和一次移動平均法求解第二個問題，通過對比，一次移動平均法比趨勢外推得到的數據，與

3、已知數據更為符合。同時，其預測值比較符合經濟規(guī)律，因而，其預測結果具有可靠性。</p><p>　　對于問題二，賓館采用升級客房檔次或賠款來解決超額接受客房預訂的糾紛。采用獨立重復試驗概型可以得到k個客人取消訂單的概率；在計算出賓館利潤的期望值，通過在賠償和客房數量上的限制條件，和保證賓館最大利潤的目的，可以確定出賓館超額提供預定的最大數。</p><p>　　對于問題三，要求為賓館制定一

4、個長期的經營策略，通過一二問的分析，可以得出合理的方案。</p><p><b>　　問題重述</b></p><p>　　某著名的旅游城市的A級賓館主要提供舉辦會議和游客使用的?？头客ㄟ^電話或互聯網預定，這種預定具有很大的不確定性，客戶很可能由于各種原因取消預定。賓館為了爭取更大的利潤，一方面要爭取客戶，另一方面要降低客戶取消預定遭受的損失。為此，賓館采用一些措施。

5、首先，要求客戶提供信用卡號，預付第一天房租作為定金。如果客戶在前一天中午以前取消預定，定金將如數退還，否則定金將被沒收。其次，賓館采用變動價格，根據市場需求情況調整價格，一般來說周末價格比較高。</p><p><b>　　研究的問題是：</b></p><p>　　(1) 試建立客房預定價格的數學模型，并對以下實例作分析。表1給出了某賓館8周標準房價格(單位: 美

6、元)，用你的模型說明價格變動的規(guī)律，并據此估計第9周和第10周的標準房參考價格。你還可以收集更多的數據來驗證你模型的價值（要求注明出處）。</p><p>　?。?）在旅游旺季，賓館往往可以預定出超過實際套數的客房數, 以減低客戶取消預定時賓館的損失。當然這樣做可能會帶來新的風險, 因為萬一屆時有超出客房數的客戶出現, 賓館要通過升級客房檔次或賠款來解決糾紛, 為此賓館還會承擔信譽風險. 某賓館有總統(tǒng)套房20套，

7、豪華套房100套，標準間500套。試為該賓館制定合理的預定策略, 并論證你的理由。</p><p>　?。?）請為該賓館制定一個長期的經營策略；并給總經理寫一篇短文有關管理經營的建議書。</p><p>　　二、問題假設以及符號說明</p><p><b>　　A：假設</b></p><p>　　在求解第一問中，假設第

8、一周至第十周處在一個穩(wěn)定的市場狀態(tài)（淡季或旺季）；</p><p>　　假設標準間的價格總體走勢僅由兩方面分量合成，即，每一周內的7日價格變化走勢，周均價走勢；</p><p>　　2，假定所提供的數據與未來數據是連續(xù)的，不存在重大變故的干擾；</p><p>　　3，假設賓館的三類客房比例與市場需求比例相同，不存在巨大的入住率差異；</p><

9、p>　　4，假設客人取消預定都是在前一天中午以前；</p><p>　　5，假設賓館除開客房開支以外，總的運營成本，等于至少六成的客房有人入住時所得的利潤；</p><p>　　6，假設賓館對為得到房間的以預定客人的賠償為：同類房間利潤的一倍。</p><p>　　7，假設客人訂房沒有批量預定的情況。</p><p><b>

10、　　B:符號說明</b></p><p>　　主要符號代表含義</p><p>　　Yi 一周內星期i的房價所占周總價比例的標準間價格的走比例</p><p>　　Yk標準間價格的周均價內走勢</p><p>　　yk,i第k周，星期i的標準間均價</p>

11、<p>　　k第k周</p><p>　　I星期i</p><p>　　m1,m2,m3 接受預定的標準客房、豪華套間、總統(tǒng)套房的數量</p><p>　　A 客人入住每間客房的利潤</p><p>　　D

12、 每位已經預定而又沒有得到客房的賠償</p><p>　　C1,C2,C3除客房以外的其他總成本，分攤到三類房間的分別總和</p><p>　　P一個已定客房的旅客在在前一天中午以前取消預定的概率</p><p>　　gkk 人未按時入住的概率</p><p>　　LR(k)

13、設賓館相應與每種gk的利潤</p><p>　　Y(LR)那么賓館的利潤期望為</p><p><b>　　三、問題分析</b></p><p>　　顯然，從本題提供的數據和所要求解的問題來看，它是屬于時間序列的預測問題，故考慮用多項式趨勢外推和移動平均法等方法求解。</p><p>　　第

14、一問：題目中給出了八周的標準間房價數據，要求預測第九、第十周的標準間房價，屬于短期預測問題。顯然，從所給數據來看，要建立單一時間變量的函數來確定房價是很難的，不過更具日常經驗和經濟學規(guī)律分析，可將影響標準間的房價變動的因素歸納到兩方面：即，一周內房價的分布，和以周均價為代表的長期上漲規(guī)律。</p><p>　　第二問:顯然，預定了客房的客人取消預定的概率是相互獨立的，則，m個預定中，有k個客人取消訂單的事件符合獨

15、立重復試驗概型；同時，由于k的不同導致賓館利潤的不同，</p><p>　　故先計算出賓館利潤對于某一個k值的函數，在通過概率加權的辦法算出賓館利潤的期望，通過取定合適的m值，使得利潤期望最大，從而得出合適的賓館客房超額預定策略。</p><p>　　第三問：通過一二問的求解，提供建議</p><p><b>　　四、模型建立</b></

16、p><p><b>　　4.1對于第一問：</b></p><p>　　顯然，在未來某一周內，由于工作日和雙休日的固定，以及其所導致的對賓館客房的需求的固定，可以推定：該周內任意一天的標間價格所占的七天總價的比例yi與yi的關系是不變的;同時，根據經濟規(guī)律可知，標準間的周均價yk隨時間的推移是按某種規(guī)律上漲的，因此，可以建立周數k與yk的關系。</p>&l

17、t;p>　　那么，未來第k周，星期i的標準間的價格yk,i上述兩種決定價格變動規(guī)律的因素共同決定的。由此可得yk,i的表達式：</p><p>　　4.2對于第二問，根據訂房客人取消預定的變化，賓館的利潤也是變化的。為了確定一個最優(yōu)的預定策略，將所有可能的情況根據其概率進行加權運算，最終得到具有代表性的總體利潤的期望，從而確定一個合理的預定策略。k 人未按時入住的概率為gk，賓館相應與每種g

18、k的利潤為，那么賓館利潤的期望為：</p><p><b>　　五、求解方法</b></p><p><b>　　5.1第一問的求解</b></p><p>　　5.1.1首先對標準間在每個周內的價格走勢作分析，建立其周內變化模型。</p><p>　　對一周內各天的均價走勢的研究，得到一周內的價格

19、變動，可以反應標準間價格變動因素中的一個周期性因素。</p><p>　　通過對數據的分析得到前八周內，星期一至周日分別的標準間價格均值：</p><p><b>　　其折線圖如下：</b></p><p>　　于是得到一周內各天的均價比例如下：</p><p>　　由于題目中已明確說明：，賓館采用變動價格，根據市場需求

20、情況調整價格，一般來說周末價格比較高。同時結合上圖，對建立的各周內模型采用分段的多項式趨勢外推法建立函數。分別用線性趨勢外推，以及三次多項式外推，建立的分段函數如下：</p><p>　　通過matlab求解方程組（代碼見附錄代碼一），得到趨勢外推法的解如下</p><p><b>　　其模擬的效果如下：</b></p><p>　　從驗證值與

21、實際數據的誤差來看，誤差最大的為0.39%，在允許范圍內，模擬效果比較理想。</p><p>　　5.1.2.再對標準間前八周的周均價走勢作分析，建立周間均價變化模型，并預測九十周均價。</p><p>　　、多項式外推法求解（代碼見附錄代碼二）</p><p>　　對周間標準間的價格變化的研究，得到其周均價的價格走勢，可以較為直觀的反應在較長時間段內整體的價格趨勢

22、，以便于作短期預測。</p><p>　　通過對題目所提供的數據，分析得到前八周各自的均價，</p><p>　　根據對周均價走勢的分析，和題目其他已知條件，首先通過趨勢外推法建立模型如下</p><p><b>　　三次多項式外推</b></p><p>　　其擬合前后對比如下：</p><p>

23、;　　擬合曲線見下圖?？梢?，其誤差以十分明顯。其中，前6周誤差都超過10%，最大的第三周甚至達到69.73%。而且根據它預測的第九、十周均價分別為42.2653，24.4082元。根據日常經驗可知，均價隨時間的推移是逐步上漲的，這與之不符。故，此時采用三次趨勢外推是不合理的；若采用更高次的多項式外推法，可使前八周內誤差減小，但其預測將變得更加不合常規(guī)。</p><p>　　于是，此處不能采用多項式趨勢外推。接下了

24、，本文將采用一次移動平均的方法對第九第十周預測。</p><p>　　采用一次移動平均法求解（代碼見附錄代碼三）</p><p>　　為了使數據最終結果與原始數據比較符合，并減小統(tǒng)計數據中由于偶然因素較大的數據的影響，取移動平均的觀測點數為8。其最終擬合結果如下（為了便于繪圖，在原始數據中令第九十周均價為0，不過這不影響算法的準確度）</p><p>　　設未來第k

25、周的周均價值為,則</p><p>　　其對九、十周的預測結果為77.3929元，與 81.6205元，比較符合均價整體走勢。</p><p>　　5.1.3.綜上，可得未來第k周，星期i的標準間價格的預測值yk,i得表達式：</p><p>　　根據以上公式計算出來的第九第十周標準間價格如下表：</p><p><b>　　5.

26、2求解第二問</b></p><p>　　5.2.1僅考慮賠償現金的情況下：</p><p>　　賓館標準客房、豪華套間、總統(tǒng)套房的實有數量分別為n1,n2,n3;</p><p>　　設賓館接受預定的標準客房、豪華套間、總統(tǒng)套房的數量分別為m1,m2,m3;</p><p>　　客人入住的客房的利潤為A元每間；</p>

27、;<p>　　已經預定而又沒有得到客房的賠償為D元每間；</p><p>　　賓館除客房以外的其他成本分攤給三類房間，分別總共為C1,C2,C3元；</p><p>　　設一個已定客房的旅客在在前一天中午以前取消預定的概率為p；</p><p>　　其中k 人未按時入住的概率為gk，則有：；</p><p>　　當m很大時，為了

28、便于計算gk，根據泊松分布和二項分布的聯系知道，此時可以用前者計算后者的近似值：即有，;</p><p>　　設賓館相應與每種gk的利潤為LR，那么</p><p>　　那么賓館的利潤期望為</p><p>　　根據假設，除去客房開支以外，賓館總的運營成本，等于至少六成的客房有人入住時所得的利潤；即C=0.6nA。</p><p>　　顯然，

29、賓館的n,D,A,p短期內都是已知常數。過可以通過數值模擬的方法取定m，使得Y(LR)最大。對Y(LR)進行等價變形得：</p><p><b>　　對標準間而言</b></p><p><b>　　對豪華間而言</b></p><p><b>　　對總統(tǒng)包間而言</b></p><

30、;p>　　顯然，隨著p的增大，即1-p的減小，利潤是逐漸增大的。</p><p>　　根據m和p取不同的值，利潤的期望變化如下：</p><p>　　A．根據下圖，標準間的最大利潤在1-p=0.95時，在m1=530時取得。</p><p>　　B．根據模擬計算圖，豪華間在所有情況下，都在m2=100左右取得最大利潤。</p><p>

31、　　C，根據模擬計算圖，總統(tǒng)包間在所有情況下，都在m3=20左右取得最大利潤</p><p>　　假設取1-P=0.95。此時，賓館為了取得最大期望利潤率，根據前述計算結果可知，標準客房的預訂水平因該取530、豪華套房的預訂水平取100、總統(tǒng)套房的預訂水平取20時，賓館利潤最大。</p><p>　　而其中，豪華套房、總統(tǒng)套房的最大利潤分別在101和21處取得，m的數量太少，不適合超額預訂

32、，況且賠率較大，賓館從經濟的角度考慮，豪華套房、總統(tǒng)套房不應該接受超額預訂。根據求出的數據可知，對于標準客房來說，當標準客房的超額預訂水平為530 時，最大可能超額入住5人，且概率為0.0796，即說明，最大可能賠償5個人。</p><p>　　5.2.2在同時考慮升級客房檔次或賠款的情況下</p><p>　　對于標準房間，由于沒有更低級的房間升級到標準房間，故在不同的概率值Ｐ下，期望利

33、潤率隨訂房水平ｍ的變化情況相似。</p><p>　　由5.1的求解可知，在1-P=0.95 的情況下，賓館為達到，最大期望收益率，標準客房的超額預訂水平為530，豪華套房和總統(tǒng)套房不需要超額預訂。在標準客房的530 超額預訂水平下，最大可能是需要賠償5 個人。我們不妨假設賓館此時的處理方式是給其中2 人退預定金，并賠償標準間利潤的一倍；給另外3 人升級為豪華套房。于是，對于豪華套房來說，由于客滿，已經預定豪華套

34、房的客人不能入住的概率將增加。由于豪華套房本身不超額預訂，那么，賓館最明智的處理方式是預留3 個房間，提供給不能住標準客房的客人，以減少損失。</p><p>　　結論是：當賓館的處理方式是賠償客人費用或升級客人鎖定房間的等級時，賓館的預訂策略是標準客房預訂水平定為530，豪華客房預訂水平定為97，總統(tǒng)套房的預訂水平定為20。</p><p>　　5.3為該賓館制定一個長期的經營策略；并給

35、總經理寫一篇短文有關管理經營的建議書。</p><p>　　根據第一二問的求解，可以知道，賓館的有關經營定價策略；不過對于長期的預測與規(guī)劃，本模型同樣適用，只是涉及的具體參數，計算數據等要隨時間的推移和市場的變化而更新，從而可以制定科學合理的經營策略。同時，也要適度靈活處置市場即時變更，以適應波動的市場。</p><p>　　六、計算機結果及分析</p><p>　

36、　6.1.第一問結果為</p><p>　　第九第十周標準間價格如下表：</p><p>　　6.2第二問的結果為</p><p>　　A．僅考慮賠償現金的情況下</p><p>　　賓館的超額預訂策略是標準客房預訂水平定位530，同時，其賠償額度為每間賠償以相當于一間同等級別的客房利潤的現金，豪華套房和總統(tǒng)套房不提供超額預訂。</p&

37、gt;<p>　　B．在同時考慮升級客房檔次或賠款的情況下</p><p>　　賓館的預訂策略是標準客房預訂水平定為530，豪華客房預訂水平定為97，總統(tǒng)套房的預訂水平定為20。</p><p>　　6.3本模型的優(yōu)缺點</p><p>　　優(yōu)點：模型的精確度較高，比如第一問的誤差不超過1%，結果可靠；</p><p>　　采用

38、多種方法對比計算，結果優(yōu)化程度較好。</p><p>　　結合各種市場數據和經濟規(guī)律，結果的可靠度較高。</p><p>　　缺點：模型的建立中考慮的因素不夠全面，比如第二問的求解當中，還可以將超額預訂對賓館的信譽度，一致于入住率的影響加入考慮。</p><p><b>　　七、參考文獻</b></p><p>　　[1

39、]： 蒲俊，數學建模講義；</p><p>　　[2]： 曾建軍，李世行，matlab語言與數學建模，安徽理工大學；</p><p>　　[3]： 李順初，概率統(tǒng)計教程；科學出版社；</p><p>　　[4]： 孫岳，楊永均，湯玚，中國礦業(yè)大學暑期數學建模集訓；</p><p><b>　　八、附錄</b>&l

40、t;/p><p>　?、?、某賓館8周標準房價格(單位: 美元)</p><p><b>　?、?、代碼</b></p><p>　　代碼一：x=[ 3 4 5 6 7]</p><p>　　y1=[0.0862944160.2196585140.2311952010.1762805720.10013844]</p

41、><p>　　y=[ 0 0 0 0 0]</p><p>　　wc=zeros(1,7)</p><p><b>　　figure</b></p><p><b>　　hold on</b></p><p>　　plot(x,y1,'r-')</p>

42、<p>　　b=polyfit(x,y1,3)</p><p>　　plot(x,polyval(b,x),'g--')</p><p>　　legend('原始數據','二次多項式外推擬合')</p><p><b>　　for i=3:7</b></p><p

43、>　　y(i-2)=polyval(b,i) ;</p><p>　　wc(i)=abs((polyval(b,i)-y1(i-2))/y1(i-2));</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　wc</b></p><p><b>　　y</b

44、></p><p>　　代碼二x=[1 2 3 4 5 6 7 8 ]</p><p>　　y1=[43.57142857495316990.4285714370.4285714376.1428571467.57142857]</p><p><b>　　figure</b></p><p><b>　　

45、hold on</b></p><p>　　plot(x,y1,'r-')</p><p>　　b=polyfit(x,y1,3)</p><p>　　plot(x,polyval(b,x),'g--')</p><p>　　legend('原始數據','三次多項式外推擬合&

46、#39;)</p><p>　　e=polyval(b,8)</p><p>　　n=polyval(b,9)</p><p>　　t=polyval(b,10)</p><p>　　代碼三：y=[43.57142857 4 53 169 90.42857143 70.42857143 76.14285714 67.57142857 0 0]

47、</p><p>　　x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]</p><p>　　y1=[43.57142857 49 53 169 90.42857143 70.42857143 76.14285714 67.57142857 0 0]</p><p>　　b=zeros(1,2)</p><p><b>　　for i

48、=1:2</b></p><p><b>　　c=0</b></p><p><b>　　for j=0:7</b></p><p>　　c=y(i+j)+c; </p><p><b>　　end</b></p><p>　　b(i

49、)=c/8; </p><p>　　y(8+i)=b(i);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　d=b</b></p><p><b>　　figure</b></p><p><b>　　hold