一類(lèi)生物種群模型及其穩(wěn)定性數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

1、<p>　　一類(lèi)生物種群模型及其穩(wěn)定性</p><p>　　摘 要：本文討論一類(lèi)種群發(fā)展方程，建立了年齡依賴(lài)種群系統(tǒng)的連續(xù)模型，半離散模型和離散化模型，并由特征值簡(jiǎn)要討論了它們的穩(wěn)定性。</p><p>　　關(guān)鍵詞：種群模型，半離散，穩(wěn)定性，特征值 </p><p>　　引 言： 在自然界中生存的各種生物種群的發(fā)展受到各種影響，本文就年齡結(jié)構(gòu)變化對(duì)單一

2、生物種群的發(fā)展影響進(jìn)行分析建模，結(jié)合[1]文，為討論方便，我們假設(shè)在一穩(wěn)定狀態(tài)環(huán)境中生物的生存條件僅受年齡結(jié)構(gòu)變化限制，由此得出以下幾種模型。</p><p>　　1、線性種群發(fā)展方程</p><p>　　線性種群發(fā)展方程是分析、預(yù)測(cè)和定量控制的基礎(chǔ)。在一穩(wěn)定的狀態(tài)環(huán)境中，</p><p>　　用r表示年齡，t表示時(shí)間，r, t皆為連續(xù)變化量，用表示t時(shí)刻年齡小于r

3、的種群總數(shù)。顯然且當(dāng)時(shí)， ，即對(duì)于固定的t為r的單調(diào)增函數(shù)，稱(chēng)為種群函數(shù)。表示t時(shí)刻種群函數(shù)，m記為種群所能達(dá)到的最高年齡，則有的定義，易知=。當(dāng)r, t都連續(xù)變化時(shí)，是r, t 的連續(xù)函數(shù)，假設(shè)的一階偏導(dǎo)數(shù)，都是一元連續(xù)函數(shù)。設(shè)=，稱(chēng)為種群按年齡分布函數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)種群密度函數(shù)，由的單調(diào)性知且。</p><p>　　設(shè)為充分小的年齡空間，>0時(shí)，則t時(shí)刻年齡在r和+r之間的種群</p><p&

4、gt;　　總數(shù)為，另外有=，==</p><p>　　t時(shí)刻年齡在和（>）之間的種群總數(shù)為</p><p>　　設(shè)t時(shí)刻年齡在內(nèi)平均單位時(shí)間內(nèi)消亡總數(shù)為，為同一時(shí)刻年齡在內(nèi)活著的種群數(shù)。</p><p><b>　　定義</b></p><p><b>　　(1.2)</b></p>

5、;<p>　　稱(chēng)為相對(duì)消亡率函數(shù)，對(duì)于充分小的及，由t到,</p><p><b>　　年齡在中消亡總數(shù)為</b></p><p><b>　　即 =</b></p><p>　　設(shè)為充分小的時(shí)間區(qū)間，t時(shí)刻在之間的種群總數(shù)為，過(guò)了時(shí)間到達(dá)時(shí)，在此期間消亡數(shù)為，而在此期間沒(méi)消亡的種群到了時(shí)變成了年齡在中的種群

6、，其總數(shù)為，用表示年齡在中的種群在時(shí)間內(nèi)增長(zhǎng)或消亡的種群總數(shù)，規(guī)定增生為正，消亡為負(fù)，稱(chēng)為t時(shí)刻r歲種群的增消率，由于r和t具有相同的量綱，所以，于是有下式成立</p><p><b>　　(1.3) </b></p><p><b>　　變化為</b></p><p><b>　　等式兩邊同除以得到<

7、/b></p><p><b>　　由于，令得到</b></p><p><b>　　(1.4) </b></p><p>　　這就是所求種群連續(xù)發(fā)展方程，這是一階線性偏微分方程。</p><p>　　取可得初始條件，可由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)給出。</p><p>　　設(shè)邊界條件

8、為，若設(shè)為t時(shí)刻消亡與增殖數(shù)之比，稱(chēng)為更新率</p><p>　　為種群增殖成活率，則在t時(shí)刻在內(nèi)消亡數(shù)為</p><p><b>　　所以有</b></p><p><b>　　(1.5) </b></p><p><b>　　由此可得</b></p><

9、p><b>　　(1.6)</b></p><p>　　這即為種群發(fā)展方程的連續(xù)模型，這是一階線性偏微分方程系統(tǒng)。</p><p>　　2、半離散種群發(fā)展方程</p><p>　　當(dāng)t連續(xù)r離散時(shí)的種群發(fā)展方程稱(chēng)為半離散模型。下面用半離散逼近法求</p><p>　　半離散模型。給定區(qū)間的一個(gè)分劃</p>

10、;<p><b>　　，記，，</b></p><p>　　用表示t年代滿 歲但不滿歲的種群總數(shù)，則</p><p><b>　　(2.1)</b></p><p><b>　　由于</b></p><p><b>　　這里，從而</b>&l

11、t;/p><p><b>　　(2.2)</b></p><p><b>　　其中,</b></p><p>　　對(duì)（1）中第一個(gè)方程兩邊從 到 積分得</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　即 </b&

12、gt;</p><p><b>　　由（2）有</b></p><p><b>　　這里,</b></p><p><b>　　舍掉高階項(xiàng)有</b></p><p><b>　　(2.3)</b></p><p>　　當(dāng)取年齡間隔

13、為1，即時(shí) ，為</p><p><b>　　(2.4) </b></p><p><b>　　即</b></p><p>　　對(duì)初始條件做離散化處理</p><p><b>　　記 則有</b></p><p><b>　　(2.5)

14、</b></p><p>　　對(duì)于外界條件 有</p><p>　　對(duì)右端應(yīng)用積分中值定理有</p><p><b>　　所以有 即有</b></p><p><b>　　(2.6)</b></p><p>　　因此我們有半離散模型:</p>

15、<p><b>　　(2.7) </b></p><p>　　引進(jìn)向量和矩陣記號(hào)有</p><p><b>　　X　　G　　X</b></p><p><b>　　A</b></p><p><b>　　B</b></p>&

16、lt;p>　　則（2.7）即半離散模型可表示為</p><p><b>　　(2.8)</b></p><p>　　這是一階線性常微分方程組。</p><p>　　下面考慮半離散模型（2.8）在定常情況下的穩(wěn)定性。（定常情形指消亡率、</p><p>　　成活率、增消率都不隨時(shí)間變化）。在一個(gè)相對(duì)安定的環(huán)境下，方程

17、（2.8）可變?yōu)椋?lt;/p><p><b>　　(2.9)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　A=B</b></p><p><b>　　稱(chēng)為種群的增生率.</b></p><p>　　A

18、、B都是m-1階常數(shù)方陣，容易得出A+的特征多項(xiàng)式</p><p>　　= (2.10)</p><p>　　對(duì)于 的增生率 稱(chēng)為種群臨界增生率</p><p>　　由（2.10）易推得</p><p><b>　　=</b></p><p>　　由文

19、[2]的方法可證明下述結(jié)論</p><p>　　引理2.1: 0是A+的代數(shù)單特征值</p><p>　　引理2.2:當(dāng)時(shí),A+有且只有一個(gè)正特征值,且此特征值的代數(shù)重?cái)?shù)為1</p><p>　　引理2.3當(dāng) 時(shí)，A+ 的每個(gè)特征值都有負(fù)實(shí)部；且A+ 的每個(gè)非零特征值也具有負(fù)實(shí)部。</p><p>　　從引理2.1、引理2.2、引理2.3

20、易得</p><p>　　定理2.1：對(duì)于系統(tǒng)（2.9），如果 ， 那么系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；如果 ，那么系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即對(duì)任意初始值，系統(tǒng)（2.9）的解</p><p>　　隨時(shí)間t的增加指數(shù)衰減到零的；如果 ，那么系統(tǒng)</p><p>　　穩(wěn)定。上述結(jié)果與文[3]中連續(xù)型方程的穩(wěn)定性一致。</p><p>　　3、離散種群發(fā)展方程<

21、/p><p>　　為便于數(shù)值計(jì)算以利于統(tǒng)計(jì)分析，在定量計(jì)算中，為了用計(jì)算機(jī)求解種群發(fā)展方程，必須把r和t同時(shí)離散化。離散后的r和t我們 取整數(shù)值以年度為單位，將連續(xù)種群方程變成一個(gè)差分方程組，這即為種群發(fā)展過(guò)程的離散模型。離散模型不但適合于計(jì)算機(jī)計(jì)算、模擬和數(shù)據(jù)處理，而且又與傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法相一致。下面我們?cè)诎腚x散模型的基礎(chǔ)上建立離散模型。</p><p>　　對(duì)r離散，由半離散模型有，記為種群

22、狀態(tài)向量。</p><p>　　再對(duì)t離散，單位取年，由(1.3)有</p><p><b>　　p（r+）</b></p><p>　　消去 ，令 ，上式兩邊對(duì)r 從i 到 積分，得到</p><p><b>　　(3.1)</b></p><p>　　對(duì)等式右邊第一項(xiàng)

23、應(yīng)用積分中值定理，有</p><p><b>　　這里滿足</b></p><p>　　定義 為 t年代i歲按年齡消亡率，則（3.1）為</p><p>　　或 (3.2)</p><p><b>　　這里</b></p><p>　

24、　對(duì)于初始條件p(r,0)=作離散化處理，記 , 有</p><p><b>　　(3.3)</b></p><p>　　對(duì)于邊界條件，p(0,t)表示t時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)種群的新增生數(shù)，取，則p(0,t)就是 t-1 年到t年新增生種種群數(shù)，由</p><p>　　p(0,t)==

25、 </p><p>　　有 (3.4)</p><p>　?。?.4）的實(shí)際意義是這樣的，表示t年代I歲種群的消亡數(shù)， 表示消亡后I歲種群的消亡數(shù)，表示消亡后I歲種群的增殖更新數(shù)，為成活率，則 表示t年代I歲種群的增生數(shù)。因此即 為t年代各年齡種群增生數(shù)。</p><p>　　如對(duì)于森林系統(tǒng)

26、，表示t年i齡級(jí)林木采消率， 為t年代林木更新率即林木更新棵數(shù)與采消棵數(shù)之比，表示成活率，即 。因此表示t年代i齡級(jí)林木采伐棵數(shù)，則表示t年代i 齡級(jí)林木更新增殖數(shù)，表示t年代i齡級(jí)林木增值成活數(shù)，表示t年代各齡級(jí)林木增植成活總棵數(shù)。</p><p>　　于是得到離散種群方程組（時(shí)間與林齡同步純林離散模型）：</p><p><b>　　(3.5)</b></

27、p><p><b>　　……</b></p><p>　?。?.5）是一個(gè)以年度為時(shí)間間隔的查分方程組，引進(jìn)向量和矩陣符號(hào)：</p><p><b>　　G(t)= </b></p><p><b>　　H</b></p><p><b>　　B&

28、lt;/b></p><p>　　則（3.5）可表示成 </p><p>　　這里H(t)稱(chēng)為種群狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣，B(t)稱(chēng)為種群消亡陣,G(t)稱(chēng)為干擾向量，加上初始條件可得完整的種群發(fā)展離散模型</p><p><b>　　(3.6)</b></p><p>　　（3.6）是一個(gè)離散的雙線性系統(tǒng)，是控制量，通過(guò)改變

29、 來(lái)達(dá)到控制種群狀態(tài)的目的。</p><p>　　對(duì)于離散系統(tǒng)（3.6），由文[2][3]，可得到與半離散情形一致的穩(wěn)定性結(jié)果。 </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)： </b></p><p>　　1. 姜啟元. 數(shù)學(xué)建模 </p><p>　　2. 宋 健. 于景元, 人口控

30、制論. 1985 ,190-201</p><p>　　3. Wang Dingjiang , The Stability of Forest evolution systems and the Critieal Proliferation rate of forest ,Applied Functional Analysis. 1995.Vol2.235-238</p><p>　　4

31、. Song jian etal.Scientia sinica (seriesA) (2)1996.113-123 </p><p>　　5. Pazy A. Semigroups of Linear operators and applications to partial differential equations. Spinger-verlay New Yor ,1983</p>&l

32、t;p>　　A Class of Bio ---population Model and Its stability</p><p>　　Abstract: In this paper , We study a class of poplution evlution equations, the continuous model and semi—discrete models and discrete m