數(shù)學(xué)之美——淺談數(shù)學(xué)中的對稱性.doc

1、<p><b>　　淺談數(shù)學(xué)中的對稱性</b></p><p>　　摘要：通過對代數(shù)、幾何、解析幾何中對稱的分析，說明了數(shù)學(xué)中的對稱對的重要性。</p><p>　　關(guān)鍵詞：代數(shù)；幾何；解析幾何；對稱</p><p>　　對稱，物體或圖形在某種變換條件(例如繞直線的旋轉(zhuǎn)、對于平面的反映,等等)下,其相同部分間有規(guī)律重復(fù)的現(xiàn)象,亦即在一

2、定變換條件下的不變現(xiàn)象。對稱的現(xiàn)象，廣泛地存在于各個學(xué)科之中，比如說，在建筑學(xué)中，很多建筑如故宮呈軸對稱之勢；在生物學(xué)中，很多動物也呈左右對稱的體形；在藝術(shù)領(lǐng)域，各種風(fēng)格的服裝圖畫也表現(xiàn)出對稱的形態(tài)。那么，數(shù)學(xué)中的對稱性是怎樣的呢？讓我們來簡析一下數(shù)學(xué)的對稱性吧。</p><p>　?、鍖で髷?shù)學(xué)對稱之源，在代數(shù)中感受數(shù)學(xué)的對稱之美</p><p><b>　?、艑で髷?shù)學(xué)之源<

3、;/b></p><p>　　在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，很多時候，提到對稱便讓我們想到某些幾何圖形。然而，數(shù)學(xué)對稱的源頭卻是來自于代數(shù)，來自于多項式方程的解，這就使很多人感到疑惑了，所以，首先，讓我們通過多項式方程的求解來發(fā)現(xiàn)代數(shù)中的對稱。</p><p>　　一元 n 次方程的根的對稱多項式</p><p>　　1、當(dāng)n= 2 時, 假設(shè)a、 b、 c 都是實數(shù),

4、 而且 a ≠0，x是未知數(shù), 那么 x 的二次方程 ax2+ bx+ c= 0 的兩個根是 x1=- b+b2- 4ac2a和 x2=- b-b2- 4ac2a依照判別式 v = b2- 4ac> 0、 v = b2- 4ac= 0、 v = b2- 4ac< 0三種不同情況, 兩根x1, x2或是不等的兩個實數(shù), 或是相等的兩個實數(shù), 或是共軛的兩個復(fù)數(shù)。韋達(dá)定理告訴我們 x1+ x2= -b／a, x1x2=c／a,

5、把 x1 和x2 對換結(jié)果仍不變, 因為 x1+ x2= x2+ x1, x1x2= x2x1凡是有這樣性質(zhì)的 x1 和 x2 的多項式稱為對稱多項式。</p><p>　　2、當(dāng) n> 2 時設(shè) a0, a1… an 都是復(fù)數(shù)且 a0 ≠0，x 是未知數(shù),那么 x 的 n 次方程: a0xn+ a1xn- 1+… + an- 1x+ an= 0 有 n個根 x1, x2… xn。韋達(dá)定理告訴我們:x1+

6、x2+ … xn= -a1／a0，x1x2+ x1x3+ .. x1xn+ x2x3+ ..+ x2xn+..+ xn- 1xn=. . . . . . . . . . . .x1x2.. xn= ( - 1)nan／a0像x1+ x2+ … xn，x1x2+ x1x3+ x1xn+ x2x3+ … + x2xn… + xn- 1xn. . . . . . . . . . . .x1x2 , , xn這樣的多項式, 不論把哪二個根 xi

7、, xj( i ≠ j) 對換一下, 這些多項式都不變動, 所以稱為 x1, x2…xn 的對稱多項式。</p><p>　　在一元 n 次方程求解的過程中,我們發(fā)現(xiàn)了其解總是為對稱多項式,這種看似很神奇的現(xiàn)象其實確實不是不無規(guī)律的.在代數(shù)中,這種有趣的現(xiàn)象很多很多，接下來讓我們從回文數(shù)中探索一下代數(shù)中對稱性。</p><p><b>　?、朴腥さ幕匚臄?shù)</b><

8、;/p><p><b>　　1×1=1</b></p><p><b>　　11×11=121</b></p><p>　　111×111=12321</p><p>　　1111×1111=1234321</p><p><b>

9、;　　……</b></p><p>　　111111111×111111111=12345678987654321</p><p>　　一般來說，通過以下方式可得到一個回文數(shù)：</p><p><b>　　29＋92=121</b></p><p>　　68 ＋86=154</p>&

10、lt;p>　　154 ＋ 451=605</p><p>　　605 ＋506=1111</p><p>　　194 ＋491=586</p><p>　　586 ＋685=1271</p><p>　　1271 ＋1721=2992 </p><p>　　但196這個數(shù)，按照這個規(guī)則重復(fù)數(shù)十萬次，仍沒

11、有得到回文數(shù)?，F(xiàn)在大家都還在探索中。</p><p><b>　　3×51=153</b></p><p><b>　　6×21=126</b></p><p>　　4307×62=267034</p><p>　　9×7×533=33579<

12、/p><p>　　上面這些算式,等號左邊是兩個(或三個)因數(shù)相乘,右邊是它們的乘積。如果把每個算式中的“×”和“=”去掉，那么，它們都變成回文數(shù)。</p><p>　　12×42=24×21</p><p>　　34×86=68×43</p><p>　　102×402=204×

13、;201</p><p>　　1012×4202=2024×2101</p><p>　　如果分別把上面的回文算式等號兩邊的因數(shù)交換位置，得到的仍是一個回文算式，比如：分別把“12×42=24×21”等號兩邊的因數(shù)交換位置，得到算式是：</p><p>　　42×12=21×24</p>&l

14、t;p>　　這仍是一個回文算式。</p><p>　　12×231=132×21（積是2772）</p><p>　　12×4032=2304×21（積是48384）</p><p>　　這種回文算式，連乘積都是回文數(shù)。</p><p>　　四位的回文數(shù)有一個特點，就是它決不會是一個質(zhì)數(shù)。設(shè)它為a

15、bba，那它等于a×1000+b×100+b×10+a=1001a+101b。能被11整除。</p><p>　　六位的也一樣，也能被11整除。</p><p>　　代數(shù)中對稱的現(xiàn)象有很多，如楊輝三角等，當(dāng)然還有很多未研究出的問題需要我們不斷去探索。掌握這些代數(shù)的對稱，對培養(yǎng)我們的思維能力、轉(zhuǎn)化解題方式和提高做題速度有很大的積極作用，在以后的學(xué)習(xí)中，我們要多多

16、注意代數(shù)中的對稱問題。</p><p>　?、嬖趲缀沃懈惺軘?shù)學(xué)的直觀美</p><p>　　古希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯說：一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形。在幾何中，數(shù)學(xué)的對稱更為直觀的反應(yīng)到我們的視野中。幾何圖形的對稱美是對數(shù)學(xué)對稱美最通俗直觀的解釋。圓關(guān)于圓心是對稱的，關(guān)于直徑也是對稱的。球形則最為特殊，它既是中心對稱，又是軸對稱，也是面對稱的圖形。</p

17、><p><b>　?、胖庇^的感受</b></p><p>　　這些現(xiàn)象中的對稱，你注意到了嗎？</p><p><b>　　⑵黃金分割比</b></p><p>　　在幾何圖形中還有一些深層的對稱美, 如: 一條線段關(guān)于它的中點對稱, 這條線段若左端點的坐標(biāo)為 0, 右端點的坐標(biāo)為 1, 那么中點在

18、0. 5 處。又如: 似乎黃金分割點(在 X= 0.618處)不是對稱點, 但若將左端點記為A, 右端點記為 B,黃金分割點記為 C, 則BC·CA=CA·AB; 而且 C 關(guān)于中點的對稱點 D 也是AB 的黃金分割點, 因為AD·DB=DB</p><p>　　·BA;再進(jìn)一層看, D 又是AC 的黃金分割點; C 是 DB 的黃金分割點。類似地一直討論下去, 這可視為一

19、種連環(huán)對稱。</p><p>　　數(shù)學(xué)幾何的對稱，普遍應(yīng)用于生活中，甚至說我們是在追求這樣一種對稱來尋求美和平衡。這種對稱的應(yīng)用，可以很好地直觀地表現(xiàn)我們的思想和研究成果。我們要學(xué)會用更多的對稱幾何來豐富我們的生活。</p><p>　?、缭诖鷶?shù)與幾何的結(jié)合中感受數(shù)學(xué)的對稱之美</p><p>　　1637年，笛卡兒創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。笛卡兒致力于代數(shù)和幾何聯(lián)系起來的

20、研究，他建立起來的解析幾何學(xué)就是在數(shù)學(xué)方程和幾何圖形之間建立的一種對稱關(guān)系。在解析幾何中, 許多問題的解決都采用了對稱性原理。如建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系, 可使運算過程簡單, 所得的方程也簡單; 而各種曲線方程標(biāo)準(zhǔn)形式的推導(dǎo), 更是充分利用了圖形本身的對稱性。</p><p><b>　　下面以橢圓為例。</b></p><p>　　橢圓: 平面內(nèi)與兩個定點F1, F2 的距

21、離之和等于常數(shù)2a(大于| F1F2| )的點的軌跡。根據(jù)定義,求曲線方程時如何選擇坐標(biāo)系, 有以下幾種方案:</p><p>　　方案1:如圖1, 建立坐標(biāo)系。</p><p><b>　　(圖 1)</b></p><p>　　方案2: 如圖 2, 取一個定點F1 為原點, F1、 F2 所在直線為 x 軸, 過F1 與F1F2垂直的直線為

22、 y 軸。</p><p><b>　　(圖 2)</b></p><p>　　方案 3: 如圖 3, 取兩個定點 F1、 F2 所在直線為 x 軸,線段 F1F2 的垂直平分線為 y 軸。</p><p><b>　　(圖 3)</b></p><p>　　方案4:如圖4, 取兩個定點 F1、 F

23、2所在直線為 y 軸,線段 F1F2 的垂直平分線為 x 軸。</p><p><b>　　(圖 4)</b></p><p>　　直覺告訴我們: 方案 2 比方案 1 好,方案1 漫無頭緒, 方案 2 利用了軸對稱; 方案 3、 方案 4 比方案 2 更好, 由于利用了中心對稱, 顯得更直觀, 更美觀。</p><p>　　以方案3 為例:

24、設(shè)兩個焦點間的距離為2c( c> 0,為什么不設(shè)為 c?), 點M(x, y)是橢圓上任意一點,M與 F1、 F2的距離的和為2a,則 F1(- c, 0),F2( c, 0),且| MF1| + |MF2| = 2a</p><p>　　√(x+c)2+y2+√(x- c)2+ y2= 2a(1)</p><p>　　方程(1)就是橢圓方程, 但是它太繁雜了, 遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是我們所追求的

25、,還必須化簡, 因為簡單是真理的標(biāo)志。</p><p>　　由[(x+ c)2+ y2]- [(x- c)2+ y2]= 4cx(2)</p><p>　　得√(x+ c)2+ y2-√(x- c)2+ y2=2cx／a(3)</p><p>　　[(1)+ (3)]／2, 得[(x+ c)2+ y2]= a+ cx／a</p><p>　　

26、化為( a2- c2)x2+ a2y2= a2( a2- c2)(4)</p><p>　　a> c> 0 a2- c2> 0</p><p>　　(4)式兩邊同除以 a2(a2- c2), 得</p><p>　　x2／a2+y2／(a2- c2)= 1(5)</p><p>　　方程(5)比(1)簡單多了。但我們覺得:

27、 既然橢圓的圖形具有對稱性, 則它的方程也應(yīng)該有對稱性。這種對稱性激發(fā)心靈中對數(shù)與形、 美與真、 形式與內(nèi)容的統(tǒng)一和諧的追求, 方程(5)尚不完美, 我們設(shè)想應(yīng)該使 y2的分母和 x2的分母取得對稱的形式, 即可把 a2- c2也寫成一個正數(shù)的平方形式。</p><p><b>　　a2- c2> 0</b></p><p>　　若 a2- c2= b2 ( b

28、> 0)則x2／a2+y2／b2= 1 (a> b> 0)(6)</p><p>　　(6)便是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。</p><p>　　以上步驟是否只是一種形式上的游戲呢? 不是, 即使最后由(5)到(6)的直覺的調(diào)整也并非漫無目的, 它符合追求對稱美的愿望,恩格斯說: 形式的變化, 不是無聊的游戲, 而是解決問題的有效杠桿。事實上, a 正好是橢圓長半軸的長, b 正好是

29、短半軸的長, 原來, 游戲中引進(jìn)的b居然有如此鮮明的幾何意義, 真的符合對稱美的追求, 這種標(biāo)準(zhǔn)形式也是我們對橢圓的幾何性質(zhì)整體把握的基礎(chǔ)。</p><p>　　因為 x 與y 的地位是對稱的, 將兩者互換,可得方案4中的方程:y2／a2+x2／b2= 1 ( a> b> 0)(7)</p><p>　　進(jìn)一步通過移軸,對照(6)式, 可得方案2 的方程:(x- c)2／a2+

30、y2／b2= 1 (a> b> 0)(8)</p><p>　　還可類推得到方案 1 中的方程, 把橢圓x2／a2+y2／b2= 1( a> b> 0)的中心平移到(h, k)得到</p><p>　　(x- h)2／a2+(y- k)2／b2= 1 (a> b> 0)(9)</p><p>　　利用標(biāo)準(zhǔn)方程(6),得到了方案

31、1 的橢圓的方程, 特殊化的結(jié)果創(chuàng)造了一般性的解決問題的辦法。</p><p>　　在這篇文章中，我們通過數(shù)學(xué)中的代數(shù)、幾何、解析幾何的對稱性的研究，分析了數(shù)學(xué)的對稱性。對稱性，它讓我們體會到很多美感和趣味。對稱性的應(yīng)用，可以簡化很多問題。在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們要逐步培養(yǎng)利用對稱性解題的思維，使我們的學(xué)習(xí)效率提高更多。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b>