函數(shù)的周期和對稱性

1、1專題：函數(shù)的周期性對稱性專題：函數(shù)的周期性對稱性1、周期函數(shù)的定義、周期函數(shù)的定義一般地，對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一)(xfy?個值時，都有，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這)()(xfTxf??)(xfy?個函數(shù)的一個周期。如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做最小正周期。顯然，若T是函數(shù)的周期，則也是的周期。如無特別說明，我)0(??kzkkT)(xf們后面一般所說的周

2、期是指函數(shù)的最小正周期。說明：說明：1、周期函數(shù)定義域必是無界的。周期函數(shù)定義域必是無界的。2、周期函數(shù)不一定都有最小正周期。、周期函數(shù)不一定都有最小正周期。推廣：推廣：若，則是周期函數(shù)，是它的一個周期；)()(bxfaxf???)(xfab?，則周期為T；)2()2(TxfTxf???)(xf的周期為的周期為。()fx)(xfT???T2、常見周期函數(shù)的函數(shù)方程：、常見周期函數(shù)的函數(shù)方程：（1）函數(shù)值之和定值型，即函數(shù))()()(ba

3、Cxbfxaf?????對于定義域中任意x滿足，則有)()]22([xfabxf???，)()()(baCxbfxaf?????故函數(shù))(xf的周期是)(2abT??特例：，則是以為周期的周期函數(shù)；????fxafx?????xf2Ta?（2）兩個函數(shù)值之積定值型，即倒數(shù)或負倒數(shù)型若，則得)()()(可正可負，CbaCxbfxaf?????)]22()2[()2(abaxfaxf?????，所以函數(shù))(xf的周期是)(2abT??33、

4、函數(shù)的對稱性與周期性之間的聯(lián)系：雙對稱性函數(shù)的周期性、函數(shù)的對稱性與周期性之間的聯(lián)系：雙對稱性函數(shù)的周期性具有多重對稱性的函數(shù)必具有周期性。即，如果一個函數(shù)有兩條對稱軸（或一條對稱軸和一個對稱中心、或兩個縱坐標相同的對稱中心），則該函數(shù)必為周期函數(shù)。相關結論如下：結論結論1：兩線對稱型：：兩線對稱型：如果定義在上的函數(shù)有兩條對稱軸、，即R()fxxa?xb?，且，那么是周期函數(shù)，其中一個周期()()faxfax???()()fbxfbx

5、???()fx2Tab??證明證明：∵得()()faxfax???()(2)fxfax??得()()fbxfbx???()(2)fxfbx??∴(2)(2)faxfbx???∴()(22)fxfbax???∴函數(shù)是周期函數(shù)，且是一個周期。()yfx?22ba?【注意：上述注意：上述不一定是最小正周期。若題目所給兩條對稱軸不一定是最小正周期。若題目所給兩條對稱軸、之間沒之間沒2ab?xa?xb?有其他對稱軸，則有其他對稱軸，則是最小正周期

6、。具體可借助三角函數(shù)來進行分析。下同。是最小正周期。具體可借助三角函數(shù)來進行分析。下同?！?ab?結論結論2：兩點對稱型：：兩點對稱型：如果函數(shù)同時關于兩點、（）成中心對稱，即??ac??bcab?和，那么是周期函數(shù)，其中()()2faxfaxc????()()2fbxfbxc????()ab?()fx一個周期2Tab??證明：證明：由()()2faxfaxc?????()(2)2fxfaxc???()()2fbxfbxc?????()

7、(2)2fxfbxc???得(2)(2)faxfbx???得()(22)fxfbax???∴函數(shù)是以為周期的函數(shù)。()yfx?22ba?結論結論3：一線一點對稱型：：一線一點對稱型：如果函數(shù)的圖像關于點（）成中心對稱，且()fx??ac0a?關于直線（）成軸對稱，那么是周期函數(shù)，其中一個周期xb?ab?()fx4Tab??證明：證明：()()2()(2)2faxfaxcfxfaxc????????()()()(2)fbxfbxfxfbx