【原創(chuàng)作品】函數(shù)對稱性的探究【資料下載】

1、高考專欄一、曲線關(guān)于點或直線的對稱一、曲線關(guān)于點或直線的對稱1、曲線f(x，y)＝0關(guān)于原點對稱的曲線方程為f(－x，－y)＝0。2、曲線f(xy)＝0關(guān)于直線x軸的對稱軸或方程為f(x，y)＝03、曲線f(xy)＝0關(guān)于y軸對稱的曲線方程為f(xy)＝04、曲線f(xy)＝0關(guān)于直線x＝a的對稱曲線方程為f(2a－xy)＝05、曲線f(xy)＝0關(guān)于直線y＝b對稱的曲線方程為f(x2b－y)＝06、曲線f(xy)＝0關(guān)于直線xyc＝0

2、對稱的曲線方程為f(y－cx－c)＝07、曲線f(xy)＝0關(guān)于直線x－yc＝0對稱的曲線方程為f(y－cxc)＝0觀察其本質(zhì)，只需對原方程中x，y的位置用相應(yīng)的式子代即可，如關(guān)于直線x＝a對稱，當(dāng)且僅當(dāng)2a－x代替x，y不變。二、應(yīng)用時應(yīng)確定的幾個問題二、應(yīng)用時應(yīng)確定的幾個問題1、確定自身對稱還是他對稱例1：f(x)的定義域為R，則y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖像關(guān)于______對稱。分析：注意到y(tǒng)＝f(x－1)可由y＝f(1

3、－x)中用2－x代替x，y不變得到，所以兩曲線關(guān)于直線x＝1對稱。2、確定x，y的位置例2：設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，且滿足f(1－x)＝f(x1)，則函數(shù)y＝f(x1)的圖像關(guān)于___________對稱，函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于__________對稱。分析：對函數(shù)y＝f(x1)而言，y＝f(1－x)為y＝f(x1)中用x代x而得，而f(1－x)＝f(x1)則表明y＝f(x1)與y＝f(1－x)為同一個函數(shù)，故y＝f(x1)

4、的圖像關(guān)于y軸對稱。對函數(shù)y＝f(x)而言，應(yīng)先把f(1－x)＝f(x1)轉(zhuǎn)化為f(2－x)＝f(x)，故能確定x的位置用2－x代，而y不變，故y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱。其實y＝f(x1)可由y＝f(x)的圖像向左平移1個單位而得。3、確定點對稱與軸對稱例3：已知函數(shù)y＝f(x)，x∈R，且對任意x值總有f(x)－f(2－x)=0，則y=f(x)的圖象關(guān)于______對稱。分析：已知等式化為y＝f(2－x)，所以y=f(x)

5、的圖像關(guān)于直線x=1對稱。三、對稱條件的挖掘和運用三、對稱條件的挖掘和運用對一些對稱問題的隱含條件應(yīng)善于挖掘和應(yīng)用，往往起到簡化解題過程之效。例4：已知定義在(22)上的偶函數(shù)f(x)，當(dāng)x≥0時f(x)是減函數(shù)，如果f(1－a)|a|，結(jié)合定義域21－a2，2a2解得：1a12。只要明確了點、曲線對稱變換的原理及題型特點，熟練掌握基本方法，對高考中的容易題或中等題就會迎刃而解，較難的題也能理清思路，抓住要點。例1、已知(x2)2=1求

6、x2y2的取42y值范圍。錯解錯解由已知得y2=4x216x12，因此x2y2=3x216x12=3(x)238328∴當(dāng)x=時，x2y2有最大值38328即x2y2的取值范圍是(∞。328]分析分析：沒有注意x的取值范圍要受已知條件的限制，丟掉了最小值。事實上，由(x2)2=1得(x2)2=1≤1，42y42y∴3≤x≤1從而當(dāng)x=1時x2y2有最小值1。x2y2的取值范圍是[1]328忽視不等式中等號成立的條件，導(dǎo)致結(jié)果錯誤。例2、

7、求函數(shù)y=的值63422????xxxx域。錯解錯解將原函數(shù)變形得：(y1)x2(y4)x3(2y1)=0①當(dāng)y=1時，①式化為–3x=9有解x=3當(dāng)y≠1時，∵①式中x∈R∴△=(y1)243(y1)(2y1)≥0，故25y220y4≥0解這個不等式得y∈R綜上：原函數(shù)值域為：y∈R分析：分析：沒有注意定義域?qū)χ涤虻挠绊?，擴大了y的取值范圍。事實上，原函數(shù)要有意義，必須有：x2x6≠0即x≠2且x≠3在此前提下，原函數(shù)可化為：y==)

8、3)(2()3)(1(????xxxx21??xx得(y1)x=2y1∴y≠1且x=≠3112??yy解得y≠1且y≠52∴原函數(shù)值域為：y∈(∞)∪(1)∪(1∞)。5252一、總的指導(dǎo)思想一、總的指導(dǎo)思想依靠集體備課，抓教學(xué)常規(guī)；學(xué)習(xí)教育理論，指導(dǎo)教學(xué)實踐；堅持教學(xué)研究，提高教學(xué)水平；進行數(shù)學(xué)培優(yōu)補差；團結(jié)向上，積極進取。二、各級目標(biāo)二、各級目標(biāo)1、總目標(biāo)：全組成員一致努力，三年內(nèi)將大瀝高中數(shù)學(xué)科組建設(shè)成為南海鎮(zhèn)屬高中學(xué)優(yōu)秀科組乃至

9、全南海優(yōu)秀科組。2、教學(xué)目標(biāo)：在教學(xué)中努力做到：“三主”、“三自”、“三有”。三主：教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，訓(xùn)練為主線。三自：在教師引導(dǎo)下盡可能讓學(xué)生自已提出問題、自已分析問題、自已解決問題。三有：在教師引導(dǎo)下，盡可能讓學(xué)生自已有爭論、有發(fā)現(xiàn)、有創(chuàng)新。3、教研目標(biāo)：在教學(xué)研究中努力做到：“二法”、“三主”二法：教學(xué)研究要研究教法、學(xué)法。三主：教學(xué)研究要以教育理論為主導(dǎo)，大綱、教材為主體，考試說明為主線。4、年級目標(biāo):（1）高三級高考目標(biāo)

10、：明年高考平均分在鎮(zhèn)屬高中排名第一。（2）高二級目標(biāo)：努力爭取在期末南海區(qū)的統(tǒng)考中排位在鎮(zhèn)屬高中的前兩名。（3）高一級目標(biāo)：力爭使高一級數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量居于鎮(zhèn)屬高中的前列。數(shù)學(xué)科組工作目標(biāo)重視思想方法教學(xué)重視思想方法教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法是人們對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)的認(rèn)識，是數(shù)學(xué)思維方法與實踐方法的概括，它蘊涵在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。數(shù)學(xué)內(nèi)容始終反映著兩條線，即數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法，它們組成了生機勃勃的知識方法體系。數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)思想

11、方法的載體，數(shù)學(xué)思想方法又是數(shù)學(xué)知識的精髓，它蘊含在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的全過程，是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在動力，是知識化為能力的橋梁，是學(xué)生形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀念，促成創(chuàng)造思維的關(guān)鍵。知識要在實踐中不斷學(xué)習(xí)、擴充，而思想方法則經(jīng)久閃耀著不滅的光輝。問題是僅僅滿足于思想方法的認(rèn)識是遠遠不夠的，應(yīng)當(dāng)自覺地去探索。在科學(xué)技術(shù)高度發(fā)展、知識經(jīng)濟已見端倪的今天，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)必須適應(yīng)時代的需要。在平時的教學(xué)中，既要注重數(shù)學(xué)知識的傳授更要

12、重視思想方法的滲透。只有兩者和諧地同步實施，才能讓我們的教學(xué)充滿活力，才能有學(xué)生海闊天空的思維境界，才能把課堂變成他們吐才露華的幸福樂園，才能使他們在解決問題中表現(xiàn)得機智靈活。誠然，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)是一個潛移默化的過程，是在多次領(lǐng)悟、反復(fù)用的基礎(chǔ)上形成的，所以我們不可能憑借一兩次課和幾個例題的講解就能使學(xué)生完全接受和掌握，也不可能依靠生硬的說教，而應(yīng)當(dāng)努力讓數(shù)學(xué)思想方法閃現(xiàn)在教學(xué)過程的始終，真正培養(yǎng)一代具有戰(zhàn)略遠見的高素質(zhì)人才。數(shù)學(xué)名

13、言◆在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中提出問題的藝術(shù)比解答問題的藝術(shù)更為重要.康扥爾(Cant)◆數(shù)學(xué)是無窮的科學(xué).赫爾曼外爾◆問題是數(shù)學(xué)的心臟.P.R.Halmos◆只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題它就充滿著生命力而問題缺乏則預(yù)示著獨立發(fā)展的終止或衰亡.Hilbert◆數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣的特性:它們極易從事實中歸納出來但證明卻隱藏的極深.高斯第一版第四版警惕“新課效應(yīng)”華羅庚的“退步”解題法華羅庚的“退步”解題法主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學(xué)命

14、題的人劉徽的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生他雖然地位低下，但人格高尚他不是沽名釣譽的庸人，而是學(xué)而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同學(xué)常遇到這樣的情況：每個新學(xué)的知識點都懂，后面的習(xí)題也會做，但到了一章學(xué)完以后，不僅綜合性的題不會做，甚至連做過的習(xí)題也不會做了其中的原因在于平時學(xué)習(xí)新課時，許多同學(xué)只是機械記住基礎(chǔ)知識，跟著課本的思路搞懂例題的每個步驟，而每節(jié)的習(xí)題與知識點同步，因此多數(shù)題能用本節(jié)知識對號人座地解出，

15、在不知不覺中忽視了不少重要的方面如：公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，與前面所學(xué)知識的聯(lián)系，所涉及的數(shù)學(xué)思想方法等等嚴(yán)重影響了綜合運用能力的提高，那么應(yīng)如何克服這種現(xiàn)象呢？一、學(xué)習(xí)新知識不僅要重視結(jié)論，學(xué)習(xí)新知識不僅要重視結(jié)論，更要重視過程更要重視過程。數(shù)學(xué)上的每一個知識點都不是孤立的，從問題的提出到最后解決，要用到大量已學(xué)知識和一些重要的數(shù)學(xué)思想方法在這個過程中可以復(fù)習(xí)已學(xué)的知識，初步認(rèn)識和后面知識間的聯(lián)系，在頭腦中形成知識網(wǎng)絡(luò)的雛形二、學(xué)習(xí)中要

16、隨時注意歸納二、學(xué)習(xí)中要隨時注意歸納。通過歸納，可以使人透過現(xiàn)象看本質(zhì)，找到知識的精華；通過歸納，可以使所學(xué)知識條理清晰，用起來得心應(yīng)手；通過歸納，可以找到致錯根源，避免再犯同樣的錯誤那么，應(yīng)該如何歸納呢？1歸納知識中存在的規(guī)律。2歸納每部分知識，認(rèn)識知識體系和網(wǎng)絡(luò)。3歸納題型和思想方法。見多識廣肯定能提高運用知識的能力如求定義域的題很多，但真正算起來卻只有含分母、偶次根式、對數(shù)、三角和反三角函數(shù)、實際問題中的函數(shù)這些主要情況三、波動式

17、學(xué)習(xí)三、波動式學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)知識應(yīng)像滾雪球一樣不斷累積。為了做到這一點，加強復(fù)習(xí)和歸納是非常有效的做法，此外，還應(yīng)注意以下三點：1.一題多解；教材上的多數(shù)習(xí)題都能用該節(jié)知識對號入座地解出。若能再找出一些解法，就能更多地用到以前學(xué)過的知識，達到前后聯(lián)系，使新舊知識融合的目的。2.解題時放開思路；有的同學(xué)習(xí)慣于做哪一節(jié)的習(xí)題就拿該節(jié)的知識去套，完全不考慮別的方法，這是不好的。正確的學(xué)習(xí)方法是不給自己的思維畫框框，讀懂題后盡可能去聯(lián)想學(xué)過的所有知

18、識，從中選出最佳解題方案。3.適當(dāng)補充一些帶綜合性的練習(xí)題可從課外讀物中選一些較好的題來做。當(dāng)然，有經(jīng)驗的老師也會隨時補充一些好的題目。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的體會數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，是邏輯性強，推理嚴(yán)密的科目。數(shù)學(xué)是千變?nèi)f化的，但基本知識是死的，而解題方法又是靈活多變的。要真正學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)要做好以下幾件事：１、重視教科書。這是說要重視基本原理和基本方法。這是前提，但也最容易被忽略。重視基本原理不是要你會背會默寫，而是真正體會這個原理

19、講的是什么，反映了哪些基本量之間的什么關(guān)系，有什么用處，它與前后的其他原理又有什么關(guān)系。數(shù)學(xué)是一個體系，支離破碎地去理解它是不完全的。重視基本方法是指對基本解題技巧要爛熟于心，這樣用起來才能得心應(yīng)手。２、勤于思考。我認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)尤其需要獨立思考。用三個小時想一道題和用一個小時看十道題效果是不一樣是。自己想通的問題往往是最牢固、最深刻的。例如在學(xué)習(xí)利用SinX的圖形作出Sin(axb)的圖象時，教課書講了先平移后緊縮的方法。敏感的人會立即會

20、問如果先緊縮后平移會怎樣呢？這樣做是可行的，但兩種方法平移的幅度是不一樣的。為什么會不一樣？這是問題是關(guān)鍵。搞清了這一點，三角函數(shù)的作圖也就沒什么了。數(shù)學(xué)就是這樣，復(fù)雜多變，差一點就不一樣，但每一步都是有理有據(jù)的，只要勤于思考，抓住問題的實質(zhì)，“天塹變通途”并不困難。３、注意積累。這并不等于題海戰(zhàn)術(shù)。我們提倡的是“少而精”。“積累”不是積累數(shù)學(xué)題型，而是積累解題經(jīng)驗。題目是很多的，而經(jīng)驗是透過現(xiàn)象看本質(zhì)，在解具體一道題時，是一種靈感。每

21、做完一道有意思的題回頭再看看為什么要這樣做，這樣的解法與已知條件有什么關(guān)系，自己開始是怎樣想的，為什么走了彎路，這種回顧是很有價值的，可以培養(yǎng)你的數(shù)學(xué)第一感覺，日積月累，你的經(jīng)驗就豐富了，拿到一道題也不會慌，怎樣設(shè)變量最簡單，哪里入手心里都有數(shù)。４、這是對學(xué)數(shù)學(xué)比較出色的同學(xué)的建議：如果有時間，不妨從易到難看一些數(shù)學(xué)課外書籍，會開闊你的眼界，使你站在更高的層次，這時再去看中學(xué)數(shù)學(xué)，理解會深入許多。所謂“登高望遠”也就是這個道理。以上是個

22、人的看法，難免有不當(dāng)之處，何況學(xué)習(xí)方法應(yīng)因人而異，這些僅供大家參考。學(xué)法指導(dǎo)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識知識與趣味趣味數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)我國已故著名的數(shù)學(xué)家華羅庚出生在一個擺雜貨店的家庭，從小體弱多病，但他憑借自己一股堅強的毅力和崇高的追求，終于成為一代數(shù)學(xué)宗師下面是華羅庚曾經(jīng)介紹的一個有趣的數(shù)學(xué)游戲：有位老師，想辨別他的3個學(xué)生誰更聰明他采用如下的方法：事先準(zhǔn)備好3頂白帽子，2頂黑帽子，讓他們看到，然后，叫他們閉上眼睛，分別給戴上帽子，藏起剩下的2頂帽子，最后

23、，叫他們睜開眼，看著別人的帽子，說出自己所戴帽子的顏色3個學(xué)生互相看了看，都躊躇了一會，并異口同聲地說出自己戴的是白帽子。聰明的讀者，想想看，他們是怎么知道帽子顏色的呢？“為了解決上面的問題，我們先考慮“2人1頂黑帽，2頂白帽”問題因為，黑帽只有1頂，我戴了，對方立刻會說自己戴的是白帽但他躊躇了一會，可見我戴的是白帽這樣，“3人2頂黑帽，3頂白帽”有趣的悖論◆“我正在說的這句話是慌話?！惫八氖兰o(jì)的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德提出的這個悖論，

24、至今還在困擾著數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家。這就是著名的說慌者悖論。類似的悖論最早是在公元前六世紀(jì)出現(xiàn)的，當(dāng)時克里特島哲學(xué)家愛皮梅尼特曾說過：“所有的克里特島人都說慌?！痹谥袊糯赌?jīng)》中，也有一句十分相似的話：“以言為盡悖，悖，說在其言?！币馑际牵阂詾樗械脑挾际清e的，這是錯的，因為這本身就是一句話。說慌者悖論有多種變化形式，例如，在同一張紙上寫出下列兩句話：下一句話是慌話。上一句話是真話。更有趣的是下面的對話。甲對乙說：“你下面

25、要講的是‘不’，對不對？請用‘是’或‘不’來回答！”還有一個例子。有個虔誠的教徒，他在演說中口口聲聲說上帝是無所不能的，什么事都做得到。一位過路人問了一句話：“上帝能創(chuàng)造一塊他自己也舉不起來的石頭嗎？”的問題也就容易解決了假設(shè)我戴的是黑帽子，則他們2人就變成“2人1頂黑帽，2頂白帽”問題，他們可以立刻回答出來，但他們都躊躇了一會，這就說明，我戴的是白帽子，3人經(jīng)過同樣的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子看到這里。同學(xué)們可能會拍手稱妙

26、吧后來，華羅庚還將原來的問題復(fù)雜化，“n個人，n1頂黑帽子，若干（不少于n）頂白帽子”的問題怎樣解決呢？運用同樣的方法，便可迎刃而解他并告誡我們：復(fù)雜的問題要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竊數(shù)學(xué)家簡介劉徽劉徽（生于公元250年左右），是中中國數(shù)學(xué)史上一個非常偉大的數(shù)學(xué)家，在世界數(shù)學(xué)史上，也占有杰出的地位他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是我國最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)《九章算術(shù)》約成書于東漢之

27、初，共有246個問題的解法在許多方面：如解聯(lián)立方程，分?jǐn)?shù)四則運算，正負(fù)數(shù)運算，幾何圖形的體積面積計算等，都屬于世界先進之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對此均作了補充證明在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻他是世界上最早提出十進小數(shù)概念及其加減運算的法則；改進了線性方程組的解法在幾何方面，提出了“割圓術(shù)“，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法他利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率π=3.14的結(jié)果劉