抽象函數(shù)奇偶性對稱性周期性

1、嚴(yán)守俊嚴(yán)守俊216355813529652696《函數(shù)的奇偶性周期性對稱性函數(shù)的奇偶性周期性對稱性》第1頁共13頁抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論一.概念概念:抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù)如函數(shù)的定義域解析遞推式特定點(diǎn)的函數(shù)值特定的運(yùn)算性質(zhì)等它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn)也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜接點(diǎn)由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體

2、因此理解研究起來比較困難，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運(yùn)用的能力1、周期函數(shù)的定義：、周期函數(shù)的定義：對于定義域內(nèi)的每一個(gè)，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)()fxxT()()fxTfx??具有周期性，叫做的一個(gè)周期，則（）也是的周期，所有周期()fxT()fxkT0kZk??()fx中的最小正數(shù)叫的最小正周期。()fx分段函數(shù)的周期：分段函數(shù)的周期：設(shè)是周期函數(shù)，在任意一個(gè)周期內(nèi)的圖像

3、為C:)(xfy?)(xfy?。把個(gè)單位即按向量??abTbax???)()(abKKTxxfy???軸平移沿在其他周期的圖像：。)()0(xfykTa??平移，即得??bkTakTxkTxfy?????)(?????????????bkTakTx)(bax)()(kTxfxfxf2、奇偶函數(shù)：、奇偶函數(shù)：設(shè)??????baabxbaxxfy)(??????或①若為奇函數(shù)；則稱)()()(xfyxfxf????②若。為偶函數(shù)則稱)()(

4、)(xfyxfxf???3、函數(shù)的對稱性：、函數(shù)的對稱性：（1）中心對稱即點(diǎn)對稱：）中心對稱即點(diǎn)對稱：①點(diǎn)對稱；關(guān)于點(diǎn)與)()22()(baybxaByxA??②對稱；關(guān)于與點(diǎn))()()(baybxaBybxaA????③成中心對稱；關(guān)于點(diǎn)與函數(shù))()2(2)(baxafybxfy????④成中心對稱；關(guān)于點(diǎn)與函數(shù))()()(baxafybxafyb??????⑤成中心對稱。關(guān)于點(diǎn)與（函數(shù))(0)22(0)baybxaFyxF????⑥

5、記住對稱中心為：（0，0）、、的函數(shù)??????2121)(aa?的特征。)(xfy?（2）軸對稱：對稱軸方程為：）軸對稱：對稱軸方程為：。0???CByAx①關(guān)于直線))(2)(2()()(2222BACByAxByBACByAxAxByxByxA?????????與點(diǎn)成軸對稱；0???CByAx②函數(shù)關(guān)于直線))(2()(2)(2222BACByAxAxfBACByAxByxfy??????????與成軸對稱。0???CByAx③關(guān)

6、于直線0))(2)(2(0)(2222??????????BACByAxByBACByAxAxFyxF與成軸對稱。0???CByAx嚴(yán)守俊嚴(yán)守俊216355813529652696《函數(shù)的奇偶性周期性對稱性函數(shù)的奇偶性周期性對稱性》第3頁共13頁定義定義2、若對于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，則復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)。說明：說明：（1）復(fù)數(shù)函數(shù)）復(fù)數(shù)函數(shù)f[g(x)]f[g(x)]為偶函數(shù)，則

7、為偶函數(shù)，則f[g(f[g(－x)]x)]＝f[g(x)]f[g(x)]而不是而不是f[f[－g(x)]g(x)]＝f[g(x)]f[g(x)]，復(fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]f[g(x)]為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則f[g(f[g(－x)]x)]＝－＝－f[g(x)]f[g(x)]而不是而不是f[f[－g(x)]g(x)]＝－＝－f[g(x)]f[g(x)]。（2）兩個(gè)特例：）兩個(gè)特例：y＝f(xf(x＋a)a)為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)

8、，則f(xf(x＋a)a)＝f(f(－x＋a)a)；y＝f(xf(x＋a)a)為奇為奇函數(shù)，則函數(shù)，則f(f(－x＋a)a)＝－＝－f(af(a＋x)x)（3）y＝f(xf(x＋a)a)為偶（或奇）函數(shù)，等價(jià)于單層函數(shù)為偶（或奇）函數(shù)，等價(jià)于單層函數(shù)y＝f(x)f(x)關(guān)于直線關(guān)于直線x＝a軸對軸對稱（或關(guān)于點(diǎn)（稱（或關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對稱））中心對稱）3、復(fù)合函數(shù)的對稱性、復(fù)合函數(shù)的對稱性性質(zhì)性質(zhì)3復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(

9、b－x)關(guān)于直線x＝（b－a）2軸對稱性質(zhì)性質(zhì)4、復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(b－x)關(guān)于點(diǎn)（（b－a）2，0）中心對稱推論推論1、復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)關(guān)于y軸軸對稱推論推論2、復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(a－x)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱4、函數(shù)的周期性、函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對于函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)的任一變量x點(diǎn)有下列條件之一成立，則函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個(gè)周期。①f(

10、x＋a)＝f(x－a)②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1f(x)④f(x＋a)＝－1f(x)5、函數(shù)的對稱性與周期性、函數(shù)的對稱性與周期性性質(zhì)性質(zhì)5若函數(shù)y＝f(x)同時(shí)關(guān)于直線x＝a與x＝b軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝2|a－b|性質(zhì)性質(zhì)6、若函數(shù)y＝f(x)同時(shí)關(guān)于點(diǎn)（a，0）與點(diǎn)（b，0）中心對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝2|a－b|性質(zhì)性質(zhì)7、若函數(shù)y＝f(x)既關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對稱，又關(guān)于

11、直線x＝b軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝4|a－b|6、函數(shù)對稱性的應(yīng)用、函數(shù)對稱性的應(yīng)用（1）若）若即kyyhxxkhxfy22))(?????對稱，則關(guān)于點(diǎn)（kxhfxfxfxf2)2()()()(?????nkxhfxhfxhfxfxfxfnnn2)2()2()2()()()(1121??????????????（2）例題）例題1、1)1()(2121)(?????xfxfaaaxfxx）對稱：，關(guān)于點(diǎn)（2)()(10