高-上學(xué)期函數(shù)的單調(diào)性-奇偶性周期性知識點和題型

1、<p><b>　?。ㄒ唬┖瘮?shù)的單調(diào)性</b></p><p><b>　　知識梳理</b></p><p>　　1．函數(shù)單調(diào)性定義：對于給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x)，若對于任意x,x∈D,</p><p>　　當(dāng)x<x時，都有f(x) <f(x)，則稱f(x)是區(qū)間D上的增函數(shù)，D叫f(x)單調(diào)遞增區(qū)

2、間．</p><p>　　當(dāng)x<x時，都有f(x)> f(x)，則稱f(x)是區(qū)間D上的減函數(shù)，D叫f(x)單調(diào)遞減區(qū)間．</p><p>　　2．函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：</p><p>　　從直觀上看，函數(shù)圖象從左向右看，在某個區(qū)間上，圖象是上升的，則此函數(shù)是增函數(shù)，若圖象是下降的，則此函數(shù)是減函數(shù)。</p><p>　　一般地

3、，設(shè)函數(shù)的定義域為．如果對于屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，，且，則</p><p>　?。?）在區(qū)間上是增函數(shù)；</p><p>　?。?）在區(qū)間上是減函數(shù)．</p><p>　　如果函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴格的）的單調(diào)性，這一區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間．</p><p>　　單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域

4、的子區(qū)間，因此函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，應(yīng)以定義域為前提；必須指明在某個區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)或減函數(shù)</p><p>　?。?）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法：設(shè)</p><p>　　若內(nèi)外兩函數(shù)的單調(diào)性相同，則在x的區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞增，</p><p>　　若內(nèi)外兩函數(shù)的單調(diào)性相反時，則在x的區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞減．</p><p><b>　　

5、（同增異減）</b></p><p><b>　　3．常見結(jié)論</b></p><p>　　若f(x)為減函數(shù)，則-f(x)為增函數(shù) ； </p><p>　　若f(x)>0（或<0）且為增函數(shù)，則函數(shù)在其定義域內(nèi)為減函數(shù)．</p><p>　　【題型一、單調(diào)性的判斷】</p>&l

6、t;p>　　例、寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間</p><p>　?。?）， （3）． </p><p>　　如圖是定義在區(qū)間[－5，5]上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上， 它是增函數(shù)還是減函數(shù)？</p><p>　　【題型二、用定義法證明單調(diào)性】</p><p>　　例、定義法證明函數(shù)y=

7、2x+3在的單調(diào)性.</p><p>　　例、判斷函數(shù)f（x）＝在（0,1）上的單調(diào)性．</p><p>　　【變式訓(xùn)練1】證明函數(shù)在上是增函數(shù)．</p><p>　　【方法技巧】根據(jù)函數(shù)的定義法來進行判別，記好步驟。</p><p>　　【題型三、單調(diào)性的運用】</p><p>　　例、已知在R上是增函數(shù),則k的取值

8、范圍 ．</p><p>　　例、函數(shù)在上是減函數(shù),則求a的取值范圍 ．</p><p>　　【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)上是單調(diào)函數(shù)，的取值范圍是 ．</p><p>　　【變式訓(xùn)練3】函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù),求f（a2－a＋1）與f（）的大小關(guān)系 ．</p>&l

9、t;p>　　【題型四、抽象函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用】</p><p>　　例、已知y=f(x)是定義在（-2，2）上的增函數(shù)，若f(m-1)＜f(1-2m)，則m的取值范圍是 ．</p><p>　　例、設(shè)f（x）定義在R+上，對于任意a、b∈R+，有f（ab）＝f（a）＋f（b）</p><p>　　求證：（1）f（1）＝0；</p&g

10、t;<p>　?。?）f（ ）＝－f（x）；</p><p>　?。?）若x∈（1，+∞）時，f（x）＜0，則f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．</p><p>　　【題型五、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性】</p><p>　　例、求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。</p><p>　　求f(x)=的單調(diào)區(qū)間</p><p>&

11、lt;b>　　課后作業(yè)：</b></p><p><b>　　一、選擇題</b></p><p>　　1、函數(shù)f(x)＝|x|和g(x)＝x(2－x)的遞增區(qū)間依次是(　　)</p><p>　　A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，[1，＋∞)</p><p>　　C．[0，＋∞)，(

12、－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)</p><p>　　2、當(dāng) 時，函數(shù) 的值有正也有負，則實數(shù)a的取值范圍是（   ）</p><p>　　A．   B．   C．   D． </p><p>　　3、若函數(shù)在區(qū)間（a，b）上為增函數(shù)，在區(qū)間（b，c）上也是增函數(shù)，則函數(shù) 在區(qū)間（a，c）上（

13、）</p><p>　　A. 必是增函數(shù) B. 必是減函數(shù) C. 是增函數(shù)或是減函數(shù) D. 無法確定增減性</p><p><b>　　二、填空題</b></p><p>　　4、函數(shù) ,當(dāng) 時,是增函數(shù),當(dāng) 時是減函數(shù),則f(1)=_____________</p><p>　　5、已知 在定義域

14、內(nèi)是減函數(shù)，且 ，在其定義域內(nèi)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：</p><p>　?、?( 為常數(shù))是___________； ② ( 為常數(shù))是___________；</p><p>　?、?是____________； ④ 是__________．　　</p><p>　　6、函數(shù)f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在

15、[2，＋∞]上遞減，則a的取值范圍是__ ．</p><p>　　7、若函數(shù)f(x)＝則f(x)的遞減區(qū)間是________．</p><p><b>　　三、解答題</b></p><p>　　8、討論函數(shù)在(-2,2)內(nèi)的單調(diào)性。</p><p>　　9、設(shè)f(x)是定義在(0,+∞）上的增函數(shù)，

16、f(2)=1 ，且 f(xy)=f(x)+f(y)，求滿足不等式f(x)+f(x-3)≤2 的x的取值范圍.</p><p><b>　?。ǘ┖瘮?shù)的奇偶性</b></p><p><b>　　知識梳理</b></p><p>　　1、函數(shù)奇偶性定義：</p><p>　　1、 一般地，如果對于函數(shù)

17、的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么就稱函數(shù)為偶函數(shù).偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱.</p><p>　　2、 一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么就稱函數(shù)為奇函數(shù).</p><p>　　奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱.</p><p>　　如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；</p><p>　　如果函數(shù)同時具有上述

18、兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．</p><p>　　2、函數(shù)奇偶性的判定方法：定義法、圖像法</p><p>　?。?）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：</p><p>　?、偈紫却_定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；</p><p>　　②確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；</p><p><b>

19、;　?、圩鞒鱿鄳?yīng)結(jié)論：</b></p><p>　　若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；</p><p>　　若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0或f(x)=-f(-x)，則f(x)是奇函數(shù)．</p><p>　?。?）函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性

20、質(zhì)；</p><p>　?、谟珊瘮?shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，定義域關(guān)于原點對稱．</p><p>　?。?）利用圖像判斷函數(shù)奇偶性的方法：</p><p>　　圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù)．</p><p>　　3、函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：</p><p>　　奇函數(shù)

21、在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性．</p><p>　　4、（1）奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱。若是定義域中的一個數(shù)值，則也必然在定義域中，因此，函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)的一個必不可少的條件是定義域關(guān)于原點對稱。換言之，所給函數(shù)的定義域若不關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)必不具奇偶性。</p><p>　?。?）若奇函數(shù)在處有定義，則。</p>

22、;<p>　?。?）為偶函數(shù)，為奇函數(shù)。</p><p>　　（4）函數(shù)的奇偶性是相對于整個定義域來說的，而單調(diào)性是相對于定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是局部性質(zhì)。</p><p>　　【題型一、有關(guān)函數(shù)奇偶性的判斷或證明的問題】</p><p>　　例、判斷下列函數(shù)的奇偶性。</p><p>　　,

23、 ②,</p><p>　　③ ④</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　【方法技巧】判斷函數(shù)的奇偶性，第一步是要先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，如果不對稱，就是非奇非偶函數(shù)，如果對稱，接下去再去找f(x)與f(-x)之間的關(guān)系，牢記好，在定義域內(nèi)f(x)=f

24、(-x)則為偶函數(shù)，f(-x)=-f(x)</p><p><b>　　則為奇函數(shù)。</b></p><p>　　【變式訓(xùn)練4】函數(shù)是( )</p><p>　　A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)</p><p>　　C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)</p><p&g

25、t;　　【變式訓(xùn)練5】若函數(shù)是偶函數(shù)，則有 ( )</p><p>　　A. B. C. D. </p><p>　　【變式訓(xùn)練6】設(shè)函數(shù)，且則等于（ ）</p><p>　　A.-3 B.3 C.-5 D. 5</p><p>　　【題型二、應(yīng)用函數(shù)奇偶性求值、求解析式】</p

26、><p>　　例、（1）已知偶函數(shù)的定義域是，當(dāng)時，求的解析式.</p><p>　?。?）已知奇函數(shù)的定義域是R，當(dāng)時，求的解析式.</p><p>　　【變式訓(xùn)練7】已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，求的解析式。</p><p>　　【題型三、抽象函數(shù)的奇偶性的判斷】</p><p>　　例、設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)

27、的定義域為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)</p><p>　　A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù) </p><p>　　C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)</p><

28、;p>　　【變式訓(xùn)練8】設(shè)是定義在上的一個函數(shù)，則函數(shù)，在上一定是( )</p><p>　　A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) </p><p>　　C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù).</p><p>　　【題型四、有關(guān)函數(shù)奇偶性的綜合問題】</p><p>　　例、設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且

29、，則不等式的解集為 （ ）</p><p>　　B、 C、 D、</p><p>　　例、已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則 ，．</p><p>　　例、設(shè)函數(shù)對任意，都有，求證是奇函數(shù)；</p><p>　　【變式訓(xùn)練9】設(shè)f(x)=ax5+bx3+cx－5(a,b,c是常數(shù))且,則f（7）=

30、 ．</p><p>　　若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函數(shù)，則m ＝_________．</p><p>　　已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．求實數(shù)m的值；</p><p><b>　　(三)函數(shù)的周期性</b></p><p><b>　　1．周期函數(shù)</b></

31、p><p>　　對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．</p><p><b>　　2．最小正周期</b></p><p>　　如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．

32、</p><p>　　例、設(shè)是上的奇函數(shù)，，當(dāng)時，，求的值。</p><p>　　例、已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則 (　　)</p><p>　　A．f(－25)<f(11)<f(80)</p><p>　　B．f(80)<f(11)<f(－25)<

33、/p><p>　　C．f(11)<f(80)<f(－25)</p><p>　　D．f(－25)<f(80)<f(11)</p><p>　　【變式訓(xùn)練】設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x.</p><p>　　(1)求f(π)的值；</p><

34、p>　　(2)當(dāng)－4≤x≤4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積；</p><p>　　(3)寫出(－∞，＋∞)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．</p><p><b>　　課后作業(yè)</b></p><p>　　1．函數(shù)f(x)=4x2－mx＋5在區(qū)間［－2，＋∞］上是增函數(shù)，在區(qū)間(－∞，－2)上是減函數(shù)，則f(1)等于（ ）&l

35、t;/p><p>　　A．－7 B．1C．17D．25</p><p>　　2．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且f(a)f(b)＜0，則方程f(x)=0在區(qū)間[a，b]內(nèi)（ ）</p><p>　　A．至少有一實根 B．至多有一實根 C．沒有實根 D．必有唯一的實根</p&

36、gt;<p>　　3．已知函數(shù)f(x)=8＋2x－x2，如果g(x)=f( 2－x2 )，那么函數(shù)g(x)（ ）</p><p>　　A．在區(qū)間(－1，0)上是減函數(shù) B．在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù)</p><p>　　C．在區(qū)間(－2，0)上是增函數(shù) D．在區(qū)間(0，2)上是增函數(shù)</p><p>　

37、　4. 若函數(shù)是奇函數(shù)，則下列坐標(biāo)表示的點一定在函數(shù)圖象上的是（ ）</p><p>　　A． B． C． D． </p><p>　　下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ）</p><p>　　A． B． C． D．</p><p>　　6.

38、已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為（ ）</p><p>　　A． B． C． D．</p><p>　　7. 設(shè)偶函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，是增函數(shù)，則 ，的大小關(guān)系是 （ ）</p><p>　　A B </p><p>　　C D </p&

39、gt;<p>　　8．若函數(shù)是奇函數(shù)，，則的值為____________ . </p><p>　　9．已知分段函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時的解析式為，則這個函數(shù)在區(qū)間上的解析式為 ． </p><p>　　10. 判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：</p><p>　　(1)； (2) ；</p><p>　?。?

40、 (4) ； (5) .</p><p>　　11. 已知函數(shù)f(x)＝x2＋ (x≠0)．</p><p>　　(1)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；</p><p>　　(2)若f(1)＝2，試判斷f(x)在[2，＋∞)上的單調(diào)性．</p><p>　　12. 已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足

41、條件f＝－f(x)，且函數(shù)y＝f為奇函數(shù)，給出以下四個命題：</p><p>　?、俸瘮?shù)f(x)是周期函數(shù)；</p><p>　?、诤瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于點對稱；</p><p>　?、酆瘮?shù)f(x)為R上的偶函數(shù)；</p><p>　?、芎瘮?shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)．</p><p>　　其中真命題的序號為______

42、__．</p><p><b>　　變式訓(xùn)練答案：</b></p><p><b>　　1、</b></p><p><b>　　2、</b></p><p><b>　　3、</b></p><p><b>　　4、&l

43、t;/b></p><p><b>　　5、</b></p><p><b>　　6、</b></p><p><b>　　7、</b></p><p><b>　　8、</b></p><p><b>　　9、&l