專題：抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的證明

1、精品資料 歡迎下載抽象函數(shù)單調(diào)性與奇偶性 抽象函數(shù)單調(diào)性與奇偶性特殊模型 抽象函數(shù)正比例函數(shù) f(x)=kx (k≠0) f(x+y)=f(x)+f(y)冪函數(shù) f(x)=xn f(xy)=f(x)f(y) [或 ]) y ( f) x ( f ) y x ( f ?指數(shù)函數(shù) f(x)=ax (a>0 且 a≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y ( f) x ( f ) y x ( f

2、? ? 或?qū)?shù)函數(shù) f(x)=logax (a>0 且 a≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [ )] y ( f ) x ( f ) y x ( f ? ? 或正、余弦函數(shù) f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函數(shù) f(x)=tanx ) y ( f ) x ( f 1) y ( f ) x ( f ) y x ( f ?? ? ?余切函數(shù) f(x)=cotx ) y ( f )

3、 x ( f) y ( f ) x ( f 1 ) y x ( f ?? ? ?1.已知 ,對(duì)一切實(shí)數(shù) 、 都成立，且 ,求證 為偶函數(shù)。 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) f x y f x y f x f y ? ? ? ? x y (0) 0 f ? ( ) f x證明：令 =0, 則已知等式變?yōu)?……① x ( ) ( ) 2 (0) ( ) f y f y f f y ? ? ?在①中令 =0 則 2 =2 ∵ ≠0∴ =

4、1∴ ∴ ∴ 為偶 y (0) f (0) f (0) f (0) f ( ) ( ) 2 ( ) f y f y f y ? ? ? ( ) ( ) f y f y ? ? ( ) f x函數(shù)。2.奇函數(shù) 在定義域（-1，1）內(nèi)遞減，求滿足 的實(shí)數(shù) 的取值范圍。 ( ) f x 2 (1 ) (1 ) 0 f m f m ? ? ? ? m解：由 得 ，∵ 為函數(shù)，∴ 2 (1 ) (1 ) 0 f m f m ? ? ? ? 2 (

5、1 ) (1 ) f m f m ? ? ? ? ( ) f x 2 (1 ) ( 1) f m f m ? ? ?又∵ 在（-1，1）內(nèi)遞減，∴ ( ) f x 221 1 11 1 1 0 11 1mm mm m? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3.如果 = (a>0)對(duì)任意的 有 ,比較 的大小 ( ) f x 2 ax bx c ? ? t (2 ) 2 ) f t f t ? ? ?

6、 (1) (2) (4) f f f 、、解：對(duì)任意 有 ∴ =2 為拋物線 = 的對(duì)稱軸 t (2 ) 2 ) f t f t ? ? ? x y 2 ax bx c ? ?又∵其開口向上∴ (2)最小， (1)= (3)∵在［2，＋∞)上， 為增函數(shù) f f f ( ) f x∴ (3)< (4),∴ (2)< (1)< (4) f f f f f4. 已知函數(shù) f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù) x，y，均有 f（x＋y）＝f（

7、x）＋f（y），且當(dāng) x＞0 時(shí)，f（x）＞0，f（－1）＝－ 2，求 f（x）在區(qū)間[－2，1]上的值域。分析：由題設(shè)可知，函數(shù) f（x）是 的抽象函數(shù)，因此求函數(shù) f（x）的值域，關(guān)鍵在于研究它的單調(diào) 性。解：設(shè) ，∵當(dāng) ，∴ ，∵ ，∴ ，即 ，∴f（x）為增函數(shù)。在條件中，令 y＝－x，則 ，再令 x＝y(tǒng)＝0，則 f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故 f（－ x）＝f（x），f（x）為奇函數(shù)， ∴ f（1）＝－f（－1）

8、＝2，又 f（－2）＝2 f（－1）＝－4， ∴ f（x）的值域?yàn)椋郏?，2］。精品資料 歡迎下載9.設(shè)函數(shù) y＝f（x）的反函數(shù)是 y＝g（x）。如果 f（ab）＝f（a）＋f（b），那么 g（a＋b）＝g（a）·g（b）是 否正確，試說明理由。 分析: 由題設(shè)條件可猜測(cè) y＝f（x）是對(duì)數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，又∵y＝f（x）的反函數(shù)是 y＝g（x），∴y＝g（x）必 為指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，于是猜想 g（a＋b

9、）＝g（a）·g（b）正確。 解：設(shè) f（a）＝m，f（b）＝n，由于 g（x）是 f（x）的反函數(shù)，∴g（m）＝a，g（n）＝b，從而，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以 a、b 分別代替上式中的 m、n 即得 g（a＋b）＝g（a）·g（b）。10. 己知函數(shù) f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足以下三條件：①當(dāng) 是定義域中的數(shù)時(shí)，有 ；②f（a）＝－1（a＞0，a 是定義域中的一個(gè)數(shù)）； ③當(dāng) 0

10、＜x＜2a 時(shí)，f（x）＜0。 試問：（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由。 （2）在（0，4a）上,f（x）的單調(diào)性如何？說明理由。 分析: 由題設(shè)知 f（x）是 y=-cotx 的抽象函數(shù)，從而由 y=-cotx 及題設(shè)條件猜想：f（x）是奇函數(shù)且在（0，4a）上是增函數(shù)（這里把 a 看成 進(jìn)行猜想）。解：（1）∵f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且 是定義域中的數(shù)時(shí)有，∴ 在定義域中?！撸鄁（x）是奇函數(shù)。 （2）設(shè) 0＜x1＜x2

11、＜2a，則 0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上 f（x）＜0，∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，進(jìn)而知 中的 ，于是 f（x1）＜ f （x2），∴在（0，2a）上 f（x）是增函數(shù)。又 ，∵f（a）＝－1，∴ ，∴f（2a）＝0，設(shè) 2a＜x＜ 4a，則 0＜x－2a＜2a，，于是 f（x）＞0，即在（2a，4a）上 f（x）＞0。設(shè) 2a＜x1＜x2＜4a，則 0＜x2－x1＜2a，從而知 f（x1），f（x

12、2）均大于零。f（x2－x1）＜0，∵ ，∴，即f（x1）＜f（x2），即 f（x）在（2a，4a）上也是增函數(shù)。綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函數(shù)。11. 已知函數(shù) f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù) x、y 都有 f（xy）＝f（x）·f（y），且 f（－1）＝1，f（27）＝9，當(dāng)時(shí)， 。（1）判斷 f（x）的奇偶性； （2）判斷 f（x）在［0，＋∞）上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若 ，求 a 的取值范圍。分析：由題設(shè)可知 f