抽象函數(shù)奇偶性的判定

1、專題一抽象函數(shù)奇偶性的判定及應用專題一抽象函數(shù)奇偶性的判定及應用探究一：抽象函數(shù)的單調性和奇偶性問題探究一：抽象函數(shù)的單調性和奇偶性問題抽象函數(shù)的具體模型抽象函數(shù)的具體模型)()()(yfxfyxf???)()()(yfxfxyf??)()()(yfxfyxf??)()()(yfxfxyf?類型一：抽象函數(shù)證明函數(shù)的奇偶性問題類型一：抽象函數(shù)證明函數(shù)的奇偶性問題①，滿足，如何證明為奇函數(shù)？xR?()fx()()()fxyfxfy???(

2、)fx②，滿足，如何證明為偶函數(shù)？xR?()fx()()()fxyfxfy??()fx類型二：抽象函數(shù)證明函數(shù)的單調性問題類型二：抽象函數(shù)證明函數(shù)的單調性問題①若且、證明其單調性Rx?()()()fxyfxfy???()()()fxyfxfy??②若、證明其單調性Rx?()()()fxyfxfy??()()()fxyfxfy?探究二：函數(shù)性質（單調性、奇偶性）定義經(jīng)典試題探究二：函數(shù)性質（單調性、奇偶性）定義經(jīng)典試題一、判斷單調性和奇偶

3、性1.判斷單調性根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調性等有關性質，畫出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問題迅速獲解。例1如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且有最小值為5，那fx()[]37，么在區(qū)間上是fx()[]??73，A.增函數(shù)且最小值為B.增函數(shù)且最大值為?5?5C.減函數(shù)且最小值為D.減函數(shù)且最大值為?5?5分析：畫出滿足題意的示意圖，易知選B。例2偶函數(shù)在上是減函數(shù)，問在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并fx()(0)，??fx()()??，0證明你的結論。分析：

4、如圖所示，易知在上是增函數(shù)，證明如下：fx()()??，0任取xxxx121200???????因為在上是減函數(shù)，所以。fx()(0)，??fxfx()()???12又是偶函數(shù)，所以，fx()fxfxfxfx()()()()????1122，從而，故在上是增函數(shù)。fxfx()()12?fx()()??，02.判斷奇偶性根據(jù)已知條件，通過恰當?shù)馁x值代換，尋求與的關系。fx()fx()?例3若函數(shù)與的圖象關于原點對稱，判斷：函數(shù)yfxfx?

5、?()(())0yfx??()是什么函數(shù)。yfx?()解：設圖象上任意一點為P（）與的圖象關于原點對yfx?()xy00，?yfx?()yfx??()稱，關于原點的對稱點在的圖象上，?Pxy()00，()??xy00，yfx??()????????yfxyfx0000()()又yfx00?()???fxfx()()00即對于函數(shù)定義域上的任意x都有，所以是偶函數(shù)。fxfx()()??yfx?()二、證明單調性和奇偶性y5O7337x5y

6、Ox例7已知函數(shù)對任意有，當時，fx()xyR，?fxfyfxy()()()????2x?0，，求不等式的解集。fx()?2f()35?faa()2223???解：設且則，xxR12、?xx12?xx210?????fxx()212即，fxx()2120??????????????fxfxxxfxxfxfxfxfx()[()]()()()()()22112111212故為增函數(shù)，fx()又fffff()()()()()321212314

7、5????????31122)1(3)22(3)1(22??????????????aaafaaff即，因此不等式的解集為。faa()2223?????aa|???132.討論不等式的解求解這類問題利用函數(shù)的單調性進行轉化，脫去函數(shù)符號。例8，.已知是定義在上的奇函數(shù)，若，且時，恒有)(xf??11???11??ba0??ba.（1）判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結論；0)()(???babfaf)(xf??11?（2）解不等式

8、)6()15(2xfxf??五、比較函數(shù)值大小利用函數(shù)的奇偶性、對稱性等性質將自變量轉化到函數(shù)的單調區(qū)間內，然后利用其單調性使問題獲解。例9，已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，時，是增函數(shù)，若，fx()x?0fx()x10?，且，則的大小關系是_______。x20?||||xx12?fxfx()()??12，分析：且，?xx1200??，||||xx12?????????001221xxxx又時，是增函數(shù)，x?0fx()是偶函數(shù)???fx

9、fx()()21?fx()???fxfx()()11故1.對于定義在上的函數(shù)，給出三個命題：fxfx()()???12R)(xf（1）若，則是偶函數(shù)；（2）若，則不是偶函數(shù)；)2()2(ff?)(xf)2()2(ff?)(xf（3）若，則一定不是奇函數(shù).其中正確命題的序號為________________)2()2(ff?)(xf2.下列命題中，說法正確的是____________（1）若定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)是上的單調增函數(shù)；R)

10、(xf)1()2(ff?)(xfR（2）若定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)不是上的單調減函數(shù)；R)(xf)1()2(ff?)(xfR（3）若定義在上的函數(shù)在區(qū)間上是單調增函數(shù)，在區(qū)間上也是單R)(xf??0??????0調增函數(shù)，則函數(shù)是上的單調增函數(shù)；)(xfR（4）若定義在上的函數(shù)在區(qū)間上是單調增函數(shù)，在區(qū)間上也是單R)(xf??0??????0調增函數(shù)，則函數(shù)是上的單調增函數(shù)；)(xfR變式：若定義在上的函數(shù)對任意的都有成立，RRxx?