函數(shù)奇偶性推廣的教學(xué)

1、第1頁(yè)，共5頁(yè)函數(shù)奇偶性推廣的教學(xué)位育中學(xué)周宇高一數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)了函數(shù)奇偶性后，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)行函數(shù)奇偶性推廣的教學(xué)，即函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性的研究，是非常有益的。通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性的數(shù)量特征的探討，加深對(duì)數(shù)量特征與圖象特征之間關(guān)系的理解。函數(shù)解析式與函數(shù)的圖象，是函數(shù)的兩種表現(xiàn)形式，解析表示精確但抽象，圖象表示直觀(guān)而易于理解。這兩者有機(jī)結(jié)合，相輔相成，就函數(shù)解析式與其對(duì)應(yīng)的圖象來(lái)說(shuō)，解析式具有的特點(diǎn)，圖象上必有所表現(xiàn)；圖象上具有的特點(diǎn)，解析

2、式中也必有所反映。因此，我認(rèn)為，對(duì)函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性的研究的教學(xué)，能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高學(xué)生理性思維的能力。下面設(shè)計(jì)如何進(jìn)行函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性的教學(xué)。一、函數(shù)奇偶性推廣到函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性一、函數(shù)奇偶性推廣到函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性我們知道，偶函數(shù)f(x)的圖象是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)圖形，f(x)是偶函數(shù)?f(?x)=f(x)；奇函數(shù)的圖象是關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)圖形，f(x)是奇函數(shù)?f(?x)=?f(x)如果函數(shù)f(x)既不是偶函數(shù)，又不是奇函數(shù)，f(x)的圖

3、象是否可能是對(duì)稱(chēng)圖形？我們先來(lái)看幾個(gè)熟悉的函數(shù)例1、判斷下列函數(shù)的圖象是否是對(duì)稱(chēng)圖形，如果是，請(qǐng)指出對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心(1)y=2x?1(2)y=x22x?3(3)(4)12xyx???211xyx???(5)y=|x?1|解：(1)函數(shù)y=2x?1的圖象是直線(xiàn)，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是與直線(xiàn)垂直的任意一條直線(xiàn)，直線(xiàn)上任意一點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)中心例如點(diǎn)(11)注：我們主要研究對(duì)稱(chēng)軸平行于y軸的情況(2)函數(shù)y=x22x?3的圖象是拋

4、物線(xiàn)，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸為x=?1(3)函數(shù)的圖象是雙曲線(xiàn)，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是點(diǎn)(21)12xyx???注：雙曲線(xiàn)也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，此雙曲線(xiàn)的兩條對(duì)稱(chēng)軸方程分別是x?y?1?0和x?y?3?0，我們以后將在解析幾何中作進(jìn)一步的研究。(4)函數(shù)的圖象是雙曲線(xiàn)，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是點(diǎn)(12)211xyx???(5)函數(shù)y=|x?1|的圖象是折線(xiàn)，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是x=1就函數(shù)解析式與其對(duì)應(yīng)的圖象來(lái)說(shuō)，解析式具有的特點(diǎn)，圖象

5、上必有所表現(xiàn)；圖象上第3頁(yè)，共5頁(yè)f(x)=f(2a?x)，也可寫(xiě)成f(ax)=f(a?x)這也就證明了函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)的必要條件是f(ax)=f(a?x)是否是充分條件呢？在函數(shù)y=f(x)的圖象上任取一點(diǎn)M(axf(ax))，則點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)x=a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(a?xf(ax))，因?yàn)閒(ax)=f(a?x)，所以N的坐標(biāo)(a?xf(a?x))也是函數(shù)y=f(x)的一組對(duì)應(yīng)值，因此點(diǎn)N也在函數(shù)y=f(x)的圖

6、象上，從而函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)這也就證明了函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)的充分條件是f(ax)=f(a?x)例2、(1)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)的充要條件是f(ax)=f(a?x)；(2)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(ab)對(duì)稱(chēng)的充要條件是什么？請(qǐng)加以證明答：函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(ab)對(duì)稱(chēng)的充要條件是f(ax)f(a?x)=2b請(qǐng)同學(xué)們作為練習(xí)加以證明評(píng)析：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于點(diǎn)(a0)對(duì)稱(chēng)，從

7、函數(shù)的奇偶性來(lái)理解：f(ax)=f(a?x)?函數(shù)f(ax)是偶函數(shù)，再通過(guò)平移圖象，知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)；f(ax)f(a?x)=2b?函數(shù)f(ax)?b是奇函數(shù)，再通過(guò)平移圖象，知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(ab)對(duì)稱(chēng)三、應(yīng)用三、應(yīng)用例3、函數(shù)是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是，請(qǐng)寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)軸方程24()23fxxx???解：假設(shè)函數(shù)f(x)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸方程是x=a，則f(ax)=f(a?x)即恒成立2244()

8、2()3()2()3axaxaxax?????????化簡(jiǎn)得，4(a1)x=0恒成立，所以a=?1f(x)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸方程為x=?1評(píng)析：存在性問(wèn)題，一般先假設(shè)存在，然后在存在的條件下推導(dǎo)，如果得出矛盾，說(shuō)明不存在此題也可通過(guò)圖象變換來(lái)探索，是偶函數(shù)24()(1)2gxfxx????下面我們探索三次函數(shù)y=ax3?bx2cx?d(a≠0)圖象的對(duì)稱(chēng)性先看一個(gè)具體的三次函數(shù)：例4、三次函數(shù)y=x3?3x2?2的圖象是對(duì)稱(chēng)圖形嗎？解