2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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1、1抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體的函數(shù)表達(dá)式,只是給出一些特殊關(guān)系式的函數(shù)。它是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn),因?yàn)槌橄?,解題時(shí)思維常常受阻,思路難以展開,而高考中會(huì)出現(xiàn)這一題型,本文對(duì)抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性問題進(jìn)行了整理、歸類,大概有以下幾種題型:一、判斷單調(diào)性和奇偶性1.判斷單調(diào)性根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì),畫出函數(shù)的示意圖,以形助數(shù),問題迅速獲解。例1如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且有最小值為5,那fx()[]3

2、7,么在區(qū)間上是fx()[]??73,A.增函數(shù)且最小值為B.增函數(shù)且最大值為?5?5C.減函數(shù)且最小值為D.減函數(shù)且最大值為?5?5分析:畫出滿足題意的示意圖,易知選B。例2偶函數(shù)在上是減函數(shù),問在上fx()(0),??fx()()??,0是增函數(shù)還是減函數(shù),并證明你的結(jié)論。分析:如圖所示,易知在上是增函數(shù),證明如下:fx()()??,0任取xxxx121200???????因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù),所以fx()(0),??。fxfx()()

3、???12又是偶函數(shù),所以fx(),fxfxfxfx()()()()????1122,從而,故在上是增函數(shù)。fxfx()()12?fx()()??,02.判斷奇偶性根據(jù)已知條件,通過恰當(dāng)?shù)馁x值代換,尋求與的關(guān)系。fx()fx()?例3若函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,判斷:函數(shù)yfxfx??()(())0yfx??()是什么函數(shù)。yfx?()解:設(shè)圖象上任意一點(diǎn)為P()yfx?()xy00,y5O7337x5yOx3例5已知對(duì)一切,滿足,且當(dāng)

4、時(shí),fx()xy,ffxyfxfy()()()()00????,x?0,求證:(1)時(shí),(2)在R上為減函數(shù)。fx()?1x?001??fx();fx()證明:對(duì)一切有。?xyR,?fxyfxfy()()()???且,令,得,f()00?xy??0f()01?現(xiàn)設(shè),則,,x?0??x0fx()??1而ffxfx()()()01????????fxfx()()11,???01fx()設(shè)且,xxR12,?xx12?則0121???fxx()

5、,fxfxxx()[()]2211???????fxxfxfx()()()2111,??fxfx()()12即為減函數(shù)。fx()2.證明奇偶性例6已知的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y滿足,求證:fx()fxyfxfy()()()??是偶函數(shù)。fx()分析:在中,令,fxyfxfy()()()??xy??1得ffff()()()()11110????令,得xy???1ffff()()()()11110???????于是fxfxffxfx(

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