函數(shù)的奇偶性知識點(diǎn)及習(xí)題

1、1函數(shù)的奇偶性一、關(guān)于函數(shù)的奇偶性的定義一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函)(xfx)()(xfxf??數(shù)就稱偶函數(shù)；)(xf一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么)(xfx)()(xfxf???函數(shù)就稱奇函數(shù)；)(xf二、函數(shù)的奇偶性的幾個性質(zhì)1、對稱性：奇（偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；2、整體性：奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對定義域內(nèi)任意一個都必須成立；x3、可逆性：是偶函數(shù)；奇函數(shù)；)()(xfxf??

2、?)(xf)()(xfxf????)(xf4、等價性：)()(xfxf???0)()(???xfxf(||)()fxfx??????1???xfxf；；)()(xfxf????0)()(???xfxf????1????xfxf5、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱；y6、可分性：根據(jù)函數(shù)奇偶性可將函數(shù)分類為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。7、設(shè)()fx，()gx的定義域分別是12DD，那么在它們的

3、公共定義域上：奇奇＝奇（函數(shù)）偶偶＝偶（函數(shù)）奇奇＝偶（函數(shù)）偶偶＝偶（函數(shù)）奇偶＝奇（函數(shù)）8、多項(xiàng)式函數(shù)的奇偶性110()nnnnPxaxaxa???????多項(xiàng)式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.()Px?()Px多項(xiàng)式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.()Px?()Px9、復(fù)合函數(shù)的奇偶性??)(xgfy?若函數(shù)的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對稱的那么由??)()()(xgfxgxf的奇偶性得到的奇偶性的規(guī)律是:)

4、()(ufyxgu????)(xgfy?函數(shù)奇偶性)(xgu?奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù))(ufy?奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)??)(xgfy?奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)即當(dāng)且僅當(dāng)和都是奇函數(shù)時復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù).)(xgu?)(ufy???)(xgfy?三、函數(shù)的奇偶性的判斷3此命題正確。由函數(shù)奇偶性易證。命題6：已知函數(shù)是奇函數(shù)，且有定義，則。()fx(0)f??00f?此命題正確。由奇函數(shù)的定義易證。命題7：已知是奇函數(shù)或偶函數(shù)，方程有實(shí)

5、根，那么方程的所()fx()0fx?()0fx?有實(shí)根之和為零；若是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，則方程有奇數(shù)個實(shí)根。()fx()0fx?此命題正確。方程的實(shí)數(shù)根即為函數(shù)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由奇偶性()0fx?()fxx的定義可知：若，則。對于定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)來說，必有0()0fx?0()0fx??。故原命題成立。??00f?五、關(guān)于函數(shù)按奇偶性的分類全體實(shí)函數(shù)可按奇偶性分為四類：①奇偶數(shù)、②偶函數(shù)、③既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)、④非奇非偶函

6、數(shù)。六、關(guān)于奇偶函數(shù)的圖像特征一般地：奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)。y圖象法：如二次函數(shù)成為偶函數(shù)，必須要使對稱軸，2yaxbxc???02bxa???即；若二次函數(shù)成為奇函數(shù)，必須要使；當(dāng)時，0b?2yaxbxc???0ac??0b?二次函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。奇函數(shù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)

7、對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。七、關(guān)于函數(shù)奇偶性的簡單應(yīng)用函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，也是每年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容之一，利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值、比較大小，求函數(shù)的解析式，討論函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的值等?，F(xiàn)分別舉例說明如下：1、利用奇偶性求函數(shù)值【例1】已知且，那么。8)(35????bxaxxxf10)2(??f?)2(f【例2】設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，若當(dāng)x≥0時，f（x）=log3（1x），則f（－2）=_____。【例