第6講函數(shù)的奇偶性與周期性

1、 第 6 講 函數(shù)的奇偶性與周期性 函數(shù)的奇偶性與周期性 項目一 項目一 知識概要 知識概要 1． 奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念 圖像關于原點對稱的函數(shù)叫作奇函數(shù)． 圖像關于 y 軸對稱的函數(shù)叫作偶函數(shù)． 2． 判斷函數(shù)的奇偶性 判斷函數(shù)的奇偶性，一般都按照定義嚴格進行，一般步驟是： (1)考查定義域是否關于原點對稱． (2)考查表達式 f(－x)是否等于 f(x)或－f(x)： 若 f(－x)＝－f(x)，則 f(x)為奇函數(shù)； 若 f(－

2、x)＝f(x)，則 f(x)為偶函數(shù)； 若 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)，則 f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)； 若 f(－x)≠－f(x)且 f(－x)≠f(x)，則 f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，既非奇非偶函數(shù)． 3． 周期性 (1)周期函數(shù)：對于函數(shù) y＝f(x)，如果存在非零實數(shù) T，對定義域內(nèi)的任意一個 x 值時，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù) y＝f(x)稱為周期函數(shù)，稱 T 為這個函數(shù)的周期．

3、 (2)最小正周期：如果在周期函數(shù) f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作 f(x)的最小正周期． 項目二 項目二 例題精講 例題精講 任務 任務一 函數(shù) 函數(shù)定義域的應用問題 定義域的應用問題 【例 1】(1)若函數(shù) f(x)＝ k－2x1＋k· 2x在定義域上為奇函數(shù)，則實數(shù) k＝________. (2)已知函數(shù) f(x)＝? ? ? ? ?x2＋1，x≥0，1，xf(2x)的 x 的取值范圍是

4、________． 分析 分析 (1)解題中忽視函數(shù) f(x)的定義域，直接通過計算 f(0)＝0 得 k＝1. (2)本題易出現(xiàn)以下錯誤：由 f(1－x2)>f(2x)得 1－x2>2x，忽視了 1－x2>0 導致解答失誤． 解析 解析 (1)∵f(－x)＝ k－2－x1＋k· 2－x＝k· 2x－12x＋k ， ∴f(－x)＋f(x)＝?k－2x??2x＋k?＋?k· 2x－1?

5、83; ?1＋k· 2x??1＋k· 2x??2x＋k?(3)由? ? ? ? ?4－x2≥0|x＋3|－3≠0 ，得－2≤x≤2 且 x≠0. ∴f(x)的定義域為[－2,0)∪(0,2]，關于原點對稱． ∴f(x)＝ 4－x2?x＋3?－3＝ 4－x2x . ∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函數(shù)． 評注 評注 在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或

6、 f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立． 任務 任務三 函數(shù)周期性的 函數(shù)周期性的綜合 綜合應用 應用問題 問題 【例 3】 (1)定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足 f(x＋6)＝f(x)，當－3≤x<－1 時，f(x)＝－(x＋2)2； 當－1≤x<3 時，f(x)＝x.則 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)等于 ( ) A．335 B．336 C．1 678 D．2 012 (2

7、)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)， 并且f(x＋2)＝－ 1f?x?， 當2≤x≤3時， f(x)＝x， 則f(105.5)＝________. 分析 分析 (1)f(x)的周期性已知，可以通過一個周期內(nèi)函數(shù)值的變化情況求和．(2)通過題意先確定函數(shù)的周期性． 答案 答案 (1)B (2)2.5 解析 解析 (1)利用函數(shù)的周期性和函數(shù)值的求法求解． ∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6. ∵當－3≤x<－1 時，f(x)＝－(x

8、＋2)2； 當－1≤x<3 時，f(x)＝x， ∴f(1)＝1， f(2)＝2， f(3)＝f(－3)＝－1， f(4)＝f(－2)＝0， f(5)＝f(－1)＝－1， f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 005)＋f(2 006)＋…＋f(2 010)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝1×2

9、 0106 ＝335. 而 f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015) ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝1＋2－1＋0－1＝1. ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝335＋1＝336. (2)由已知，可得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2] ＝－ 1f?x＋2?＝－ 1－ 1f?x?＝f(x)． 故函數(shù)的周期為 4. ∴f(105.5)＝f(4×27－