線性方程組在線性代數學習中的基礎地位探究二稿

1、<p>　　線性方程組在線性代數學習中的基礎地位探究</p><p>　　摘 要：線性方程組是線性代數這門學科中的重要組成部分，在線性代數這門學中起到一條主線的作用，它把行列式、知陣和向量組以合理的方式聯(lián)系起來，它在線性代數中起到貫穿始終的作用,在實際應用中經常遇到將問題歸結為解線性方程組,因此要想學好線性代數這門學科，對線性方程組這一點必須要了解透徹，我們必須要充分認識到線性方程組在線性代數這門學

2、科中的基礎地位.</p><p>　　關鍵詞：線性方程組，線性代數，基礎地位</p><p>　　The fundamental position of system of linear equations in linear algebra</p><p>　　Abstract:with the popularity of computer application

3、s, linear algebra is widely applied to the field of science and technology and economic management. Linear algebra the subject is a combination of several independent development of mathematics achievement. Often encount

4、ered in practice will be problem for the solution of linear equations, linear equations is linear algebra, an important part of the subject, the system of linear equations in linear algebra plays a main role in this stud

5、y, it pu</p><p>　　Keywords: linear equations, linear algebra, basic status</p><p><b>　　引 言</b></p><p>　　線性代數課程的內容包含五塊：行列式、矩陣、線性方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型（線性空間和線性變換在大部分教材中作為

6、選修內容）線性代數有三個基本計算單元：矩陣，行列式，向量(組)，線性代數課程有一個主要特點：內容呈塊狀結構，各部分沒有必然的先后關系。不同教材可從行列式開始，也可從矩陣或線性方程組開始，主要原因是線性代數學科的形成過程本身就沒有一條明確的主線，它是綜合了若干項獨立發(fā)展的數學成果而形成的。分散的塊狀結構給學習這門課帶來了困難，學生普遍反映線性代數知識點多，前后內容不連貫。事實上，如果我們仔細分析線性代數課程各部分的內容，可發(fā)現存在一條主線

7、能把這些塊串起來。線性方程組就是這條主線，它把行列式、矩陣和向量組以合理的方式聯(lián)系起來。線性方程組在線性代數這門學科中起著舉足輕重的作用，當前大家對線性方程組的解法以及應用都作了大量的研究，但對線性方程組在線性代數這門學科中起著什么作用，它處于什么地位，我們應該怎樣重視它并沒有過多的探究。本文從線性方程組與線性代數這門學科中的各個知識點之間的緊密聯(lián)系來探討一下線性方程組在線性代數課程中的基礎地位和所發(fā)揮的重要作用。</p>

8、<p><b>　　1.備用知識： </b></p><p>　　1.線性方程組的三種表達形式線性方程組形式如下：一般形式的表示</p><p><b>　　向量形式的表示</b></p><p><b>　　，其中，.</b></p><p><b>　

9、　矩陣形式的表示</b></p><p><b>　　，其中， .</b></p><p>　　特別地，當時，稱為齊次線性方程組，而當時，稱為非齊次線性方程組.</p><p>　　2. 設α是數域P 上線性空間v 的一個線性變換，如果對于數域P 中的一數存在一個非零向量ξ，使得αξ=ξ，那么稱為α的一個特征值，而ξ稱為α的屬于特征

10、值的一個特征向量。</p><p>　　結論1 若ξ1和ξ2是線性變換α的屬于特征值的兩個不同特征向量，則ξ1+ξ2也是α的屬于的特征向量（αξ1=ξ1，αξ2=ξ2→α（ξ1+ξ2 ）=αξ1+αξ2=ξ1+ξ2=（ξ1+ξ2 ））</p><p>　　結論2 若ξ是線性變換α的屬于特征值的特征向量，則ξ的任意非零倍</p><p>　　Kξ（K≠0)也是α的屬

11、于的特征向量。</p><p>　　結論3 若ξ1，ξ2，……ξs都是線性變換α的屬于特征值 的特征向量，則他們的任 意非零線性組合 Σ Kiξi(≠0)也是α的屬于 的特征向量。</p><p>　　3. 若λ為A 的特征值，且A 可逆，則，則為的特征值。</p><p>　　4. 若線性相關，則其中至少有一個向量可由其余個向量線性表示。</p>&

12、lt;p>　　證明 若這個向量線性相關，那么</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中不全為0，不妨設，那么可解得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以該結論是成立的。</p><p>　　如果其中一個向量可由其余向

13、量線性表示，那么這個向量是線性相關的.這是因為如果設</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　那么移項得</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　顯然，的系數為-1，那么由線性相關的定義知，這個向量是線性相關的.</

14、p><p>　　5. 若向量組線性無關，線性相關，那么可由線性表示。 </p><p>　　6. 如果向量組的部分組</p><p>　　線性相關，那么也一定是線性相關的.即部分組線性相關，則整體線性相關。</p><p>　　1.1線性方程組在矩陣中的應用</p><p>　　矩陣行秩等于列秩的證明</p&g

15、t;<p>　　求證：設A為m*n階矩陣，則A的行秩=A的列秩。</p><p>　　證明：考慮線性方程組AX=0。首先證明如果未知數的個數超過A的行秩，那么它有非零解。</p><p>　　設m*n階矩陣A的行秩為 r，考慮方程組</p><p><b>　　AX=0</b></p><p>　　它由m

16、個方程n個未知數組成。從A的行向量中選取r個線性無關的行向量重新組合成矩陣B，那么方程組</p><p><b>　　AX=0</b></p><p><b>　　BX=0</b></p><p><b>　　同解。 </b></p><p>　　這時，如果B的列數大于行數，

17、那么方程組</p><p><b>　　BX=0</b></p><p><b>　　必有非零解，從而</b></p><p><b>　　AX=0</b></p><p><b>　　也有非零解。 </b></p><p>　　接

18、著證明行秩等于列秩。</p><p>　　設m*n階矩陣A的行秩為r，列秩為s。考慮A的任意r+1個列向量組成的矩陣C，因為C的行秩不大于r，因為C的行向量都是A的行向量的一部分分量組成的，所以</p><p><b>　　CX=0</b></p><p>　　有非零解。這說明這r+1個列向量線性相關。所以A的列秩最大為r，即s≤r。</

19、p><p>　　1.2線性方程組在向量（組）中的應用</p><p>　　利用齊次線性方程組的解進行判定向量組的線性相關性</p><p>　　在應用定義法解一個齊次線性方程組時，需由該方程組的解去判定這個向量組的相關性.即用定義法的同時也應用了齊次線性方程組的解進行了判定.</p><p>　　一般地，要判斷一個向量組</p>&

20、lt;p>　　是否線性相關就是看方程</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　有無非零解.從這里可以看出，如果向量組線性無關，那么在每一個向量上添加一個分量得到的維的向量組也是線性無關的.</p><p><b>　　把（1）寫出來就是</b></p><p><

21、b>　?。?）,</b></p><p>　　因之，（1）線性相關的充要條件是（2）有非零解.</p><p>　　因此具體判斷一個向量組是線性還是線性無關的問題可以歸結為解方程組的問題.</p><p>　　例1 設,試判斷它們是否線性相關.</p><p><b>　　解 令</b></p&

22、gt;<p><b>　　.</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　解得</b></p><p><b>　　故是線性無關的.</b></p><p>　　1.3線性方程組在求特征值與特征向量中的應用&l

23、t;/p><p>　　定義：設α是數域P 上線性空間v 的一個線性變換，如果對于數域P 中的一數存在一個非零向量ξ，使得αξ=ξ，那么稱為α的一個特征值，而ξ稱為α的屬于特征值的一個特征向量。 </p><p>　　現在我們給出線性變換的特征值與特征向量的方法.設是數域上維線性空間，是它的一組基，線性變換α在這組基下的矩陣為.設是特征值，它的一個特征向量在下的坐標是.則αξ得坐標是</p

24、><p><b>　　ξ的坐標是</b></p><p>　　由特征值和特征向量定義有</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　或</b></p><p>　　這說明特征向量的坐標滿足齊次方程組</p><p&

25、gt;<b>　　即</b></p><p>　　由于，所以它的坐標不全為零，即齊次方程組有非零解。</p><p>　　1.4齊次線性方程組解空間理論在解題上的應用</p><p>　　例1設為矩陣, 為矩陣, 且, 則.</p><p>　　證明:把矩陣分塊為: , 則</p><p><

26、;b>　　, .</b></p><p><b>　　從而,其中是</b></p><p>　　的解空間. 得. 于是.</p><p>　　例2 若是階方陣，且, 則.</p><p><b>　　證明 ：因為</b></p><p>　　，

27、 </p><p>　　又因即, 由上題知 </p><p>　　. </p><p><b>　　則得.</b></p><p>　　分析以上二個例題, 很容易想到利用齊次線性程組解的理論來解決, 特別是例，由, 容易聯(lián)想到把的列向量作為齊次線性方程組的解向量

28、, 從而獲得解決. 下面討論幾個例子, 看起來似乎與齊次線性方程組無關系, 但經過仔細分析，我們將會發(fā)現, 仍然可以通過齊次線性程組的理論加以解決.</p><p>　　例3 設為矩陣, 為矩陣, 則.</p><p>　　證明：設為齊次線性方程組</p><p>　　的解空間, 其中我們令. </p><p><b>　　則有.

29、又因</b></p><p><b>　　由例6于是我們知</b></p><p>　　.即.同理可得, 于是結論成立.</p><p>　　例4 設為階方陣, 則.</p><p>　　證明 ：若為滿秩矩陣, 則結論顯然成立. </p><p>　　現設, 則存在自然數使得&

30、lt;/p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　設為齊次線性方程組</b></p><p>　　的解空間, 則對任意, 有, 于是有, ，因, 則有</p><p><b>　　.</b></p><p><

31、;b>　　又因, 從而.</b></p><p>　　現設, 則. 由此得, 故. 于是. 從而, 由得. 同理可得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　在一般教材或習題指導書中, 上面幾個例題均不是以這種方法證明的, 例如, 例3常用的方法是利用向量的相互線性表出, 例4一般用到線性變換的方法.這些方

32、法彼此都不同, 學生難以在短時間內掌握, 而我們這里介紹的方法最重要的優(yōu)點是方法統(tǒng)一. 涉及知識較少, 便于掌握, 且解題范圍比較全面. 因此, 對齊次線性方程組解空間的理論加以靈活運用, 對提高學生解題信心, 積累解題技巧, 是十分有幫助的.</p><p><b>　　結束語</b></p><p>　　線性代數是理工科院校量大面廣的三門數學基礎課之一，而且在現實

33、中很多問題都需要用到這門學科的相關知識，其重要性不言而喻，我們一定要充分認識到線性方程組在線性代數這門學科中的基礎地位，牢牢掌握線性方程組這一知識點，以線性方程組為主線來學習行列式、矩陣、線性方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型這五大塊知識，進而學好線性代數這門學科。</p><p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　[1] 陳亞波. 線性代

34、數[M].北京：中國農業(yè)出版社，2007，（8）.</p><p>　　[2] 鄧澤請. 線性代數及其應用[M].北京：中國高等教育出版社，2007，（1）.</p><p>　　[3] 何立國，施武杰．以線性方程組為中心展開線性代數課程的教學[J】．大學數學，2009，25(6)：203—206</p><p>　　[4] 陳鳳娟．線性代數的教學研究[J】_高師理

35、科學刊，2012，32(1)：74—76．</p><p>　　[5] 黨艷霞 . 線性方程組的解及其應用《北京電力高等?？茖W校學報》[J]，2009.第4</p><p>　　[6] 張藝. 線性方程組求解的一個迭代算法[J].寧波大學學報(理工版),2001,14(1):51-55</p><p>　　[7] 北京大學數學系. 高等代數[M]. 北京: 高等教