第1章矩陣與線性方程組

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文檔簡介

1、　　第1 章矩陣與線性方程組　　矩陣是描述和求解線性方程組最基本和最有用的工具。本章涉及向量和矩陣的基本　　概念，歸納了向量和矩陣的基本運算。　　1.1 主要理論與方法　　1.1.1 矩陣的基本運算<b&g

2、t;　　一、矩陣與向量　　a11x1 + a12x2 + ¢ ¢ ¢ + a1nxn = b1　　a21x1 + a22x2 + ¢ ¢ ¢ + a2nxn = b2　　...

3、　　am1x1 + am2x2 + ¢ ¢ ¢ + amnxn = bm　　9>　　>>>=>>>>;　　(1.1)&l

4、t;/b>　　它使用m個方程描述n個未知量之間的線性關系。這一線性方程組很容易用矩陣||向量　　形式簡記為　　Ax = b (1.2)　　式中<

5、;b>　　A =26664　　a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n　　a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n　　...　　...<

6、/b>　　...　　am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn　　37775　　(1.3)

7、;　　稱為m £ n矩陣，是一個按照長方陣列排列的復數或實數集合；而　　x =26664　　x1　　x2　　...</b&g

8、t;　　xn　　37775　　; b =26664　　b1　　b2</p

9、>　　...　　bm　　37775　　(1.4)　　分別為n £ 1向量和m

10、63; 1向量，是按照列方式排列的復數或實數集合，統(tǒng)稱列向量。類似　　地，按照行方式排列的復數或實數集合稱為行向量，例如　　a = [a1; a2; ¢ ¢ ¢ ; an] (1.5)　　是1 £ n向量。<

11、;p>　　二、矩陣的基本運算　　1. 共軛轉置：若A = [aij ]是一個m£ n矩陣，則A的轉置記作AT，是一個n £m矩陣，　　定義為[AT]ij = aji；矩陣A的復數共軛A¤ 定義為[A¤]ij = a¤ji；復共軛轉置記作AH，定義</p&g

12、t;　　為　　AH =26664　　a¤11 a¤21 ¢ ¢ ¢ a¤m1　　a¤12 a¤22 ¢ ¢

13、2; a¤m2　　...　　...　　...　　a¤1n a¤2n ¢ ¢ ¢ a¤mn

14、　　37775　　(1.6)　　共軛轉置又叫Hermitian伴隨、Hermitian轉置或Hermitian共軛。滿足AH = A的正方復矩　　陣稱為Hermitian矩陣或共軛對稱矩陣。<

15、;/p>　　2. 矩陣求和：兩個m£n矩陣A = [aij ]和B = [bij ]之和記作A+B，定義為[A+B]ij =　　aij + bij。　　3. 標量與矩陣相乘：令A = [aij ]是一個m £ n矩陣，且®是一個標量。乘積®A是一

16、　　個m £ n矩陣，定義為[®A]ij = ®aij。　　4. 矩陣與向量相乘：m £ n矩陣A = [aij ]與r £ 1向量x = [x1; x2; ¢ ¢ ¢ ; xr]T的乘積Ax　　只有當n = r時才存在，它是一個m £ 1向量，定義為</p&

17、gt;　　[Ax]i =　　n Xj=1　　aijxj ; i = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ;m　　5. 矩陣與矩陣相乘：m £ n矩陣A = [aij ]與r £

18、s矩陣B = [bij ]的乘積AB只有當n =　　r時才存在，它是一個m £ s矩陣，定義為　　[AB]ij =　　n Xk=1　　aikbkj ; i = 1; 2; ¢

19、¢ ¢ ;m; j = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ; s　　根據定義，容易驗證矩陣的加法服從下面的運算規(guī)則。　　² 加法交換律(commutative law of addition)：A + B = B + A　　² 加法結合律(associa

20、tive law of addition)：(A + B) + C = A + (B + C)　　定理1.1 矩陣的乘積服從下面的運算法則。　　(1) 乘法結合律(associative law of multiplication): 若A 2 Cm£n;B 2 Cn£p;C 2　　Cp

21、63;q，則A(BC) = (AB)C。　　(2) 乘法左分配律(left distributive law of multiplication)：若A和B是兩個m£n 矩陣，　　且C是一個n £ p矩陣，則(A + B)C = AC + BC。　　(3) 乘法右分配律(right distr

22、ibutive law of multiplication)：若A是一個m£n 矩陣，并　　且B和C是兩個n £ p矩陣，則A(B + C) = AB + AC。　　(4) 若®是一個標量，并且A和B是兩個m £ n矩陣，則®(A + B) = ®A + ®B。

23、　　6. 逆矩陣：令A是一個n£n矩陣，若可以找到一個n£n矩陣A¡1滿足AA¡1 = A¡1A =　　I，稱矩陣A可逆，并稱A¡1是矩陣A的逆矩陣。　　下面是共軛、轉置、共軛轉置和逆矩陣的性質。　　(1) 矩陣的共軛、轉置和共軛轉置滿

24、足分配律：　　(A + B)¤ = A¤ + B¤　　(A + B)T = AT + BT　　(A + B)H = AH + BH　　(2) 矩陣乘積的轉置、共軛轉置和逆矩陣滿足關系式　　(AB)T

25、= BTAT　　(AB)H = BHAH　　(AB)¡1 = B¡1A¡1 (A;B 為可逆的正方矩陣)　　(3) 共軛、轉置和共軛轉置等符號均可與求逆符號交換，即有　　(A¤)¡1 = (A¡1)¤;

26、 (AT)¡1 = (A¡1)T; (AH)¡1 = (A¡1)H　　因此，常常分別采用緊湊的數學符號A¡¤;A¡T和A¡H。　　(4) 對于任意矩陣A，矩陣B = AHA都是Hermitian 矩陣。若A可逆，則對于Hermitian矩<p&g

27、t;　　陣B = AHA，有A¡HBA¡1 = A¡HAHAA¡1 = I。　　7. 冪等矩陣：矩陣An£n稱為冪等矩陣(idempotent matrix)，若A2 = AA = A。　　8. 對合矩陣：矩陣An£n稱為對合矩陣(involutory matrix)，若A2 = AA = I。

28、　　三、向量的線性無關性與非奇異矩陣　　1. 向量組線性相關/無關：一組m維向量fu1;u2; ¢ ¢ ¢ ;ung稱為線性無關，若方程　　c1u1 + c2u2 + ¢ ¢ ¢ + cnun = 0　　只有零解

29、c1 = c2 = ¢ ¢ ¢ = cn = 0。若能夠找到一組不全部為零的系數c1; c2; ¢ ¢ ¢ ; cn使得上　　述方程成立，則稱m維向量組fu1;u2; ¢ ¢ ¢ ;ung線性相關。　　2. 奇異/非奇異矩陣：一個n £ n矩陣A是非奇異的

30、，當且僅當矩陣方程Ax = 0只有　　零解x = 0。若A不是非奇異的，則稱A 奇異。　　四、初等行變換與階梯型矩陣　　1. 矩陣的初等行變換：令矩陣A 2 Cm£n的m個行向量分別為r1; r2; ¢ ¢ ¢ ; rm。下列運

31、算稱為矩陣A的初等行運算(elementary row operation)或初等行變換：　　(1) 互換矩陣的任意兩行，如rp $ rq，稱為Ⅰ型初等行變換。　　(2) 一行元素同乘一個非零常數®，如®rp ! rp，稱為Ⅱ型初等行變換。　　(3) 將第p行元素同乘一個非零常數¯后

32、，加給第q行，即¯rp + rq ! rq，稱為Ⅲ型初　　等行變換。　　2. 階梯型矩陣：一個m £ n矩陣稱為階梯型(echelon form)矩陣，若　　(1) 全部由零組成的所有行都位于矩陣的底部。　　(2)

33、每一個非零行的首項元素總是出現在上一個非零行的首項元素的右邊。　　(3) 首項元素下面的同列元素全部為零。　　1.1.2 向量空間、內積空間與線性映射　　一、向量空間　　以向量為元素的集合V 稱為向量空間，若加法運算定義為兩個向量之

34、間的加法，乘法　　運算定義為向量與標量域S中的標量之間的乘法，并且對于向量集合V 中的向量x; y;w和　　標量域S中的標量a1; a2，以下兩個閉合性和關于加法及乘法的八個公理(axiom) [也稱公　　設(postulate)或定律(law)]滿足：　　閉合性(clo

35、sure properties)　　(c1) 若x 2 V 和y 2 V ，則x + y 2 V ，即V 在加法下是閉合的，簡稱加法的閉合　　性(closure for addition)；　　(c2) 若a1是一個標量，y 2 V ，則a1y 2 V ，即V 在標量乘法下是閉合的，簡稱標量乘

36、　　法的閉合性(closure for scalar multiplication)。　　加法的公理　　(a1) x + y = y + x; 8 x; y 2 V ，稱為加法的交換律(commutative law for addition)；　　(a

37、2) x+(y +w) = (x+y)+w; 8 x; y;w 2 V ，稱為加法的結合律(associative law for　　addition)；　　(a3) 在V 中存在一個零向量0，使得對于任意向量y 2 V ，恒有y +0 = y (零向量的存　　在性)；<

38、;/p>　　(a4) 給定一個向量y 2 V ，存在另一個向量¡y 2 V 使得y + (¡y) = (¡y) + y = 0 (負　　向量的存在性)。　　標量乘法的公理　　(s1

39、) a(by) = (ab)y對所有向量y和所有標量a; b 成立，稱為標量乘法的結合律(associative　　law for scalar multiplication)；　　(s2) a(x + y) = ax + ay對所有向量x; y 2 V 和標量a 成立，稱為標量乘法的分配　　律(distribu

40、tive law for scalar multiplication)；　　(s3) (a + b)y = ay + by對所有向量y和所有標量a; b成立(標量乘法的分配律)；　　(s4) 1y = y 對所有y 2 V 成立，稱為標量乘法的單位律(unity law for scalar multipli-&

41、lt;b>　　cation)。　　二、實內積空間　　實內積空間(real inner product space)是滿足下列條件的實向量空間E：對E中每一對　　向量x; y，存在向量x和y的內積hx; yi 服從以下公理：&l

42、t;p>　　(1) hx; xi > 0; 8 x 6= 0，稱為內積的嚴格正性(strict positivity)或稱內積是正定　　的(positive de¯nite)，并且hx; xi = 0 , x = 0；　　(2) hx; yi = hy; xi，稱為內積的對稱性(symmetry)；<p

43、>　　(3) hx; y + zi = hx; yi + hx; zi; 8 x; y; z；　　(4) h®x; yi = ®hx; yi對所有實向量x; y及所有實標量®成立。　　三、復內積空間　　復內積空間(complex inner

44、 product space)是滿足下列條件的復向量空間C：對C中每　　一對向量x; y，存在復向量x和y之間的內積hx; yi 服從以下公理：　　(1) x 6= 0 ) hx; xi > 0，稱為內積的嚴格正性或稱內積是正定的；　　(2) hx; yi¤ = hy; xi，稱為內積的共軛對稱性

45、(conjugate symmetry)或Hermitian性；　　(3) hx; y + zi = hx; yi + hx; zi，對所有向量x; y; z成立；　　(4) hcx; yi = c¤hx; yi對所有復向量x; y 及所有復標量c成立。　　四、線性映射</b&g

46、t;　　令V 和W分別是Rm和Rn 的子空間，并且T : V 7! W是一映射。稱T為線性映射或線　　性變換，若對于v 2 V; w 2 W和所有標量c，映射T滿足線性關系式　　T(v + w) = T(v) + T(w) (1.7)　　和</b&

47、gt;　　T(cv) = cT (v) (1.8)　　1.1.3 隨機向量　　一、隨機向量的統(tǒng)計描述　　1. 均值向量：考查m£1隨機向量x(») = [x1(»); x2(»); ¢ ¢ ¢ ; xm

48、(»)]T。令隨機變量xi(»)的　　均值Efxi(»)g = ¹i，則隨機向量的數學期望稱為均值向量，記作¹x，定義為　　¹x = Efx(»)g =26664　　Efx1(»)g Efx2(»)g ...</p&g

49、t;　　Efxm(»)g　　37775　　=26664　　¹1

50、;　　¹2　　...　　¹m　　37775　　(1.9)

51、　　式(1.9)表明，均值向量的元素是隨機向量各個元素的均值。　　2. 自相關矩陣：隨機向量的自相關矩陣定義為　　Rx　　def = Efx(»)xH(»)g =26664　　r11 r12 &#

52、162; ¢ ¢ r1m　　r21 r22 ¢ ¢ ¢ r2m　　...　　...　　...</p&g

53、t;　　rm1 rm2 ¢ ¢ ¢ rmm　　37775　　(1.10)　　式中，rii; i = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ;m表示隨機變量xi(»

54、;)的自相關函數，定義為　　rii　　def = Efjxi(»)j2g; i = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ;m (1.11)　　而rij表示隨機變量xi(»)和xj(»)之間的互相關函數，定義為

55、　　rij　　def = Efxi(»)x¤j (»)g; i; j = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ; m; i 6= j (1.12)　　顯然，自相關矩陣是共軛對稱的，即為Hermitian矩陣。

56、;　　3. 自協方差矩陣：隨機向量x(»)的自協方差矩陣定義為　　Cx　　def = Ef[x(») ¡ ¹x][x(») ¡ ¹x]Hg =26664　　c11 c12 ¢ ¢

57、62; c1m　　c21 c22 ¢ ¢ ¢ c2m　　...　　...　　...

58、cm1 cm2 ¢ ¢ ¢ cmm　　37775　　(1.13)　　式中，主對角線的元素　　cii<

59、;p>　　def = Efjxi(») ¡ ¹ij2g; i = 1; 2; ¢ ¢ ¢ ;m (1.14)　　表示隨機變量xi(»)的方差¾2　　i ，即cii = ¾2　　i ，而非主對角線元素

60、　　cij　　def = Ef[xi(») ¡ ¹i][xj(») ¡ ¹j ]¤g = Efxi(»)x¤j (»)g ¡ ¹i¹¤j = c¤j i (1.15)

61、　　表示隨機變量xi(»)和xj(»)之間的協方差。自協方差矩陣也是Hermitian矩陣。　　隨機向量間的互相關矩陣與互協方差矩陣很容易由自相關矩陣與自協方差矩陣推廣　　得到。　　4. 統(tǒng)計不相關：兩個隨機向量x(»)與y(

62、»)統(tǒng)計不相關，若它們的互協方差矩陣等于零　　矩陣，即Cxy = O。　　5. 正交：兩個隨機向量x(»)和y(»)稱為正交，若它們的互相關矩陣為零矩陣，即　　Rxy = Efx(»)yH(»)g = O (1.16)&l

63、t;b>　　二、正態(tài)隨機向量　　若隨機向量x(») = [x1(»); x2(»); ¢ ¢ ¢ ; xm(»)]T的各分量為聯合正態(tài)分布的隨機變量，　　則稱x(»)為正態(tài)隨機向量。　　1.1.4 內積與范數

64、　　一、向量的內積與范數　　1. 常數向量的內積與范數　　(1) 內積：兩個m £ 1維常數向量x = [x1; x2; ¢ ¢ ¢ ; xm]T 和y = [y1; y2; ¢ ¢ ¢ ; ym]T的內

65、;　　積(或叫點積)定義為　　hx; yi = xHy =　　m Xi=1　　x¤i yi (1.17)　　(2) 范數：

66、(a) l1范數　　kxk1　　def =　　m Xi=1　　jxij = jx1j + jx2j + ¢ ¢

67、62; + jxmj (1.18)　　上述范數有時也叫和范數或1范數。　　(b) l2范數　　kxk2 = (jx1j2 + jx2j2 + ¢ ¢ ¢ + jxmj2)1=2 (1.19)　　這一范數常

68、稱Euclidean范數，有時也稱Frobenius范數。　　(c) l1　　范數　　kxk1 = max(jx1j; jx2j; ¢ ¢ ¢ ; jxmj) (1.20)<p&

69、gt;　　也稱無窮范數或極大范數。　　(d) lp范數　　kxkp = Ã m Xi=1　　jxijp!1=p　　; p > 1 (1.21)<p&g

70、t;　　lp范數也叫HÄolder范數[20]。　　2. 隨機向量的內積與范數　　(1) 內積：若x(»)和y(») 分別是樣本變量»的隨機向量，則它們的內積定義為　　hx(»); y(»)i def = EfxH(»)y(»)g (

71、1.22)　　其中，樣本變量»可以是時間t、圓頻率f、角頻率!和空間變量s等。　　(2) 范數：隨機向量x(»)的范數定義為　　kx(»)k2 def = EfxH(»)x(»)g (1.23)　　二、矩

72、陣的范數　　1. Frobenius范數　　kAkF　　def =0@　　m Xi=1<b

73、>　　n Xj=1　　jaij j21A　　1=2　　(1.24)　　這一定義可以視為向量的Euclidean范數對按照矩陣各行排列

74、\長向量"　　x = [a11; ¢ ¢ ¢ ; a1n; a21; ¢ ¢ ¢ ; a2n; ¢ ¢ ¢ ; am1; ¢ ¢ ¢ ; amn]T　　的推廣。矩陣的Frobenius范數也被稱為Euclidean范數、Sch

75、ur范數、Hilbert-Schmidt范數　　或者l2范數。　　2. lp范數　　kAkp　　def = max<

76、;/p>　　x6=0　　kAxkp　　kxkp　　(1.25)　　式中，kxkp是向量x的l

77、p范數，由式(1.21)定義。lp范數也稱為Minkowski p 范數，或者簡　　稱p范數。　　3. 行和范數(row-sum norm)　　kAkrow = max　　16i6m8<:&

78、lt;/p>　　n Xj=1　　jaij j9=;　　(1.26)　　4. 列和范數(column-sum norm)　　kAkc

79、ol = max　　16j6n( m Xi=1　　jaij j) (1.27)　　5. 譜范數(spectrum norm)　　kAkspec = ¾max = p¸max (1.28)　　1.1.5 基與Gr

80、am-Schmidt正交化　　一、向量子空間的基　　生成子空間W的線性無關的向量fu1;u2; ¢ ¢ ¢ ;udg稱為子空間W的基向量(basis vec-　　tors) 或簡稱為基。生成子空間W的基向量的個數稱為子空間W 的維數，即有<

81、/p>　　d = dim(Spanfu1;u2; ¢ ¢ ¢ ;udg) (1.29)　　二、Gram-Schmidt正交化　　令fx1; x2; ¢ ¢ ¢ ; xng 是p維向量子空間W的任意一組基(即線性無關的向量)。于是，子<p&

82、gt;　　空間W的標準正交基fu1;u2; ¢ ¢ ¢ ;ung可以通過Gram-Schmidt正交化構造如下：　　p1 = x1; u1 = p1　　kp1k　　= x1<p&

83、gt;　　kx1k　　pk = xk ¡　　k¡1 Xi=1　　(uH　　i xk)ui; uk =

84、 pk　　kpkk　　(1.30)　　式中，2 6 k 6 n。　　1.1.6 矩陣的標量函數　　一、矩陣的二次型&

85、lt;/p>　　任意一個正方矩陣A的二次型xHAx是一實標量。以實矩陣為例，考查二次型　　xTAx = [x1; x2; x3]24　　1 4 2　　¡1 7 5<p&g

86、t;　　¡1 6 335　　24　　x1　　x2　　x3</p&g

87、t;　　35　　= x2　　1 ¡ x2x1 ¡ x3x1 + 4x1x2 + 7x2　　2 + 6x3x2 + 2x1x3 + 5x2x3 + 3x2&

88、lt;b>　　3　　= x2　　1 + 7x2　　2 + 3x2　　3 + 3x1x2 + x1x3 + 11x2x3</p&

89、gt;　　這是變元x的二次型函數，故稱xTAx為矩陣A的二次型。　　一個復共軛對稱矩陣A稱為　　正定矩陣，若二次型xHAx > 0; 8 x 6= 0；　　半正定矩陣，若二次型xHAx > 0; 8 x 6= 0 (也稱非負定的)；　　負

90、定矩陣，若二次型xHAx < 0; 8 x 6= 0；　　半負定矩陣，若二次型xHAx 6 0; 8 x 6= 0 (也稱非正定的)；　　不定矩陣，若二次型xHAx既可能取正值，也可能取負值。　　二、矩陣的跡　　1. 定義：n

91、£ n矩陣A的對角元素之和稱為A的跡(trace)，記作tr(A)，即　　tr(A) = a11 + a22 + ¢ ¢ ¢ + ann =　　n Xi=1　　aii (1.31)<b&g

92、t;　　2. 性質：　　(1) 關于跡的等式[27]　　(a) 若A和B 均為n £ n矩陣，則tr(A § B) = tr(A) § tr(B)。　　(b) 若c是一個復或者實的常數，則tr(cA) = c tr(A)。

93、　　(c) 若A和B 均為n£n矩陣，并且c1和c2為常數，則tr(c1A§c2B) = c1tr(A)§c2tr(B)。　　(d) 矩陣A的轉置、復數共軛和復共軛轉置的跡分別為　　tr(AT) = tr(A)　　tr(A¤) = [tr(A)]¤</p&g

94、t;　　tr(AH) = [tr(A)]¤　　(e) 跡是相似不變量：若A為m £ n 矩陣，且B為n £ m矩陣，則　　tr(AB) = tr(BA)　　(f) 若矩陣A和B均為m £ m矩陣，并且B非奇異，則

95、;　　tr(BAB¡1) = tr(B¡1AB) = tr(A)　　(g) 若A是一個m £ n矩陣，則tr(AHA) = 0 , A = Om£n (零矩陣)。　　(h) xHAx = tr(AxxH)和yHx = tr(xyH)。　　(i) 分塊矩陣的跡滿足</p

96、>　　tr ·A B　　C D¸= tr(A) + tr(D)　　式中，A 2 Cm£m;B 2 Cm£n;C 2 Cn£m;D 2 Cn£n。　　(j) 矩陣AHA 和AAH的跡相等，且

97、有　　tr(AHA) = tr(AAH) =　　n Xi=1　　n Xj=1　　jaij j2 (1.32)　　(k) 跡等于特征值之和，即</p&

98、gt;　　tr(A) = ¸1 + ¸2 + ¢ ¢ ¢ + ¸n (1.33)　　(l) 對于任何正整數k，有　　tr(Ak) =　　n Xi=1<

99、/p>　　¸k　　i (1.34)　　式右的和稱為A的諸特征值的k次矩。　　(2) 關于跡的不等式[27]　　(a) 對一個復矩陣A 2 Cm£n，

100、有tr(AHA) = tr(AAH) > 0。　　(b) 若A;B均為m £ n矩陣，則　　tr[(ATB)2] 6 tr(ATA)tr(BTB) (Cauchy-Schwartz不等式)　　tr[(ATB)2] 6 tr(ATABTB)　　tr[(ATB

101、)2] 6 tr(AATBBT)　　(c) Schur不等式：tr(A2) 6 tr(ATA)。　　(d) tr[(A + B)(A + B)T] 6 2[tr(AAT) + tr(BBT)]。　　(e) 若A和B為m £ m對稱矩陣，則tr(AB) 6 1

102、2 tr(A2 + B2)。　　三、行列式　　1. 定義：一個n £ n正方矩陣A的行列式記作det(A)或jAj　　det(A) = jAj =¯¯¯¯¯¯¯¯¯</p

103、>　　a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n　　a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n　　...　　...<b

104、>　　... a　　n　　1　　a　　n<b&

105、gt;　　2　　¢　　¢　　¢　　a<p

106、>　　n　　n　　¯¯¯¯¯¯¯¯¯　　(1.35)</p&

107、gt;　　若A = fag 2 C1£1，則它的行列式由det(A) = a給出。　　2. 性質：　　(1) 關于行列式的等式關系[27]　　(a) 如果矩陣的兩行(或列)互換位置，則行列式數值保持不變，但符號改變。&l

108、t;p>　　(b) 若矩陣的某行(或列)是其他行(或列)的線性組合，則det(A) = 0。特別地，若某　　行(或列)與另一行(或列) 成正比或相等，或者某行(或列)的元素均等于零，則det(A) = 0。　　(c) 任何一個正方矩陣A和它的轉置矩陣AT具有相同的行列式，即　　det(A) = det(AT

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第1章矩陣與線性方程組

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