第三章矩陣的初等變換與線性方程組-mingjnu

1、第三章矩陣的初等變換與線性方程組,2024/2/29,1,§1 矩陣的初等變換,2024/2/29,2,引例 求解線性方程組,2024/2/29,3,,,用消元法,2024/2/29,4,,,2024/2/29,6,令,代入方程組，得解,,2024/2/29,7,消元法的三類變換：,（1）對(duì)調(diào)二個(gè)方程的次序；,（2）以非零的數(shù) k 乘某個(gè)方程；,（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的 k 倍．,由于三類變換都是可逆的，因此變

2、換前的方程組與變換后是同解的．,2024/2/29,8,定義1：,下面三類變換稱為矩陣的初等行變換:,同樣可定義矩陣的初等列變換 (把“r”換成“c”)．,初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱初等變換。,2024/2/29,9,三類初等變換都是可逆的，并且其逆變換是同一類的初等變換。,2024/2/29,10,若矩陣 A 經(jīng)過有限次初等變換變成 B，則稱 A 與B 等價(jià)，記作 A ～ B .,矩陣的等價(jià)關(guān)系滿足：,反身性 A ～ A ；

3、 對(duì)稱性 若A ～ B ，則B ～ A ； 傳遞性 若A ～ B ， B ～ C ，則A ～ C 。,2024/2/29,11,(1)的增廣矩陣,線性方程組,,2024/2/29,12,,,,,,2024/2/29,13,,,行階梯形,,,,2024/2/29,14,行最簡(jiǎn)形,令,,,,2024/2/29,15,等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形,,,2024/2/29,16,任一 m×n 矩陣 A 都等價(jià)于一個(gè)如下的矩陣,稱為A的等價(jià)

4、標(biāo)準(zhǔn)形。,§2 初等矩陣,2024/2/29,17,定義2：,由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得矩陣稱為初等矩陣。,三類初等變換與三類初等方陣相對(duì)應(yīng),2024/2/29,18,,,其中,2024/2/29,19,,2024/2/29,20,,,2024/2/29,21,三類初等矩陣：,其中,2024/2/29,22,三類初等矩陣都是可逆的，并且其逆矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣都是同一類的初等矩陣。,2024/2/29,23,性質(zhì)1：,設(shè)

5、 A 為m×n 矩陣，則,2024/2/29,24,,A,,B,,P,小結(jié)1：矩陣A可通過若干個(gè)初等矩陣變成矩陣B小結(jié)2：初等行變換?左乘；初等列變換?右乘,,,,小結(jié)1：矩陣A可通過若干個(gè)初等矩陣變成矩陣B小結(jié)2：初等行變換?左乘；初等列變換?右乘,,P可逆,Q可逆,推論1：若B=E，即 (A可逆),存在可逆矩陣P，使得PA=E推論2：,2024/2/29,27,方陣A可逆的充要條件是A可以表示為若干

6、個(gè)初等矩陣的乘積。,定理2：,證明：,充分性.,必要性.,,2024/2/29,28,方陣 A可逆的充要條件是 A ~ E,推論1：,推論2：,m×n陣 A與 B等價(jià)的充要條件是存在 m階可逆陣 P和 n階可逆陣 Q，使得 PAQ = B,注意到可逆陣可表示為若干個(gè)初等陣的乘積。,2024/2/29,29,例.,2024/2/29,30,即,2024/2/29,31,解：,例：,,2024/2/29,32,,,,2024/2

7、/29,33,,2024/2/29,34,例：,解：,初等行變換,2024/2/29,35,2024/2/29,36,,設(shè)矩陣A可逆, 則求解矩陣方程AX=B等價(jià)于求矩陣X=A-1B, 為此, 根據(jù)A-1(A,B)=(E,A-1B); 可采用類似于用初等行變換求矩陣的逆的方法, 構(gòu)造矩陣(A,B), 對(duì)其施行初等行變換將矩陣A化為E, 則上述的初等行變換同時(shí)也將其中的矩陣B化為A-1B, 即,同理, 求解矩陣方程XA=B, 等價(jià)于求矩陣

8、X=BA-1, 便可利用初等列變換求解矩陣BA-1, 即,注：初等行變換只能行變換??！初等列變換只能列變換！！,§3 矩陣的秩,2024/2/29,39,定義3：在矩陣 A中，任取 k 行、k 列所得的 k2個(gè) 元素不改變它們的相對(duì)位置而得的 k 階行列式， 稱為 A的一個(gè) k 階子式。,,,,,A的一個(gè)2階子式：,2024/2/29,40,定義4：矩陣 A的 最高階非零子式的階數(shù)

9、 稱為 A的秩，記作 R(A) 。,例4. 求矩陣A 和B 的秩, 其中,2024/2/29,41,,,,2 階子式,3 階子式 | A|=0,,,,,3 階子式,4 階子式都 = 0,∴ R(A) = 2,∴ R(B) = 3,（1） R(A)=R(AT );（2） R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0≤R(A) ≤min{m, n};（3） 設(shè)A為一n階方陣, 且|A|≠0. 則R(A)=n; 反之, 如果R(A)=n,

10、則|A|≠0.,因此有：n階方陣A可逆的充分必要條件是R(A)=n.,若A=An×n且R(A)=n, 則稱方陣是滿秩的.,注1: 利用定義計(jì)算矩陣的秩, 需要由高階到低階考慮矩陣的子式, 當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時(shí), 按定義求秩是非常麻煩的.,注2: 由于任意矩陣都可以經(jīng)過有限次初等行變換化為階梯形矩陣, 所以考慮利用初等變換來幫助求矩陣的秩—這種方法稱之為初等變換法.,矩陣的秩具有下列性質(zhì),,2024/2/29,43,定理 3

11、 若A ~ B, 則 R(A) = R(B) .,事實(shí)上，若 A 經(jīng)過一次初等變換變?yōu)?B，A的 k 階子式全等于零, 則 B的 k 階子式也全等于零。,2024/2/29,44,性質(zhì) 1. 若A的所有 r 階子式(如果有)全等于零， 則階數(shù)大于r 的所有子式全等于零。,若A的所有 k 階子式全等于零, 則 R(A) < k,2. 若A有一個(gè) k 階子式非零, 則 R(A) ≥ k,3.

12、 若A為m×n矩陣, 則 0 ≤ R(A) ≤ min{m, n},4.,2024/2/29,45,5. R(PAQ) ＝ R(A), 其中P, Q為可逆矩陣。,6.,7.,8.,2024/2/29,46,故,證明（8）,2024/2/29,47,注意到，從一個(gè)矩陣中劃去一行或一列，它的秩至多減少一。 將 C1看成一個(gè) n 階矩陣劃去了n-r1行, n-r2列，于是有,當(dāng)k ≠ 1,k ≠ -4/5時(shí),

13、R(A) = 3. 當(dāng)k = -4/5時(shí), R(A)=2; 當(dāng)k = 1時(shí), R(A) = 2.,可見, 階梯形矩陣B的非零行有3行. 因此R(A) = 3, A的一個(gè)非零最高階子式為,§3 線性方程組的解,2024/2/29,51,2024/2/29,52,例10：求解線性方程組,解：,2024/2/29,53,可知方程組無(wú)解。,2024/2/29,54,例11：求解線性方程組,解：,2024/2/29,55,2024/2

14、/29,56,得,令,故,2024/2/29,57,2024/2/29,58,化為行最簡(jiǎn)形矩陣,不妨假定,,2024/2/29,59,,,( # ),2024/2/29,60,(1) 若 ，則 (#)無(wú)解。,2024/2/29,61,例9：求解齊次線性方程組,解：,2024/2/29,62,2024/2/29,63,2024/2/29,64,非齊次性線性方程組解的條件,2024/2/29,65,齊次性線性