第三章 矩陣的初等變換與線性方程

1、13.13.1基本內(nèi)容基本內(nèi)容3.23.2典型例題典型例題分析第三章第三章矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組3.13.1基本內(nèi)容基本內(nèi)容3.1.1矩陣的初等變換矩陣的初等變換是一種十分重要的運算方法，它在解先行方程組、求逆矩陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸加兄匾淖饔孟旅嫒N變換稱為矩陣的初等行變換：(1)對調(diào)兩行（對調(diào)兩行，記著）；jijirr?(2)以數(shù)乘某一行中的所有元素（第行乘，記著）0?kikkri?(3)把某一行所有

2、元素的倍加到另一行對應(yīng)的元素上去（第行的倍加到第行，kjki記著）jikrr?把定義中矩陣的行換成列，即得矩陣的初等列變換的定義（所用記號把換成），rc矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱初等變換。初等變換都是可逆的，且其逆變換仍是同一類的初等變換。如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與矩陣B等價，記著BA~矩陣之間的等價關(guān)系滿足下列性質(zhì)：(1)反身性；AA~(2)對稱性若，則；BA~AB~(3)傳遞性若，，則.BA~CB~C

3、A~3.1.2初等矩陣由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換后所得的矩陣稱為初等矩陣。三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣?)(jiE????????????????????????????????110111011?????第列第列ij3)()(111211?????AEEAPPPl???即對階矩陣施行初等行變換，把A變成E時，原來的E就變成nn2?)(EA?1?A3.1.3矩陣的秩在矩陣A中，任取行列（）位于這些行列處交叉處的個元nm?kknkmk

4、??2k素，不改變它們在A中所處的位置秩序而得的階行列式，稱為A的階子式。kk設(shè)在矩陣A中有一個不等于0的階子式D，且所有階子式（如果存在的話）全r1?r等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)稱為矩陣A的秩，記著r)(AR注零矩陣的秩規(guī)定為03.1.4線性方程組的解利用方程組的系數(shù)矩陣A和增廣矩陣B的秩，可以方便的討論線性方程組的解bAx?元齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩。n0??xAnmnAR?)(元非齊次線性方

5、程組有解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增nbxAnm??)(AR廣矩陣B=的秩，即??bA)(BR)()(bARAR?3.23.2典型例題分析典型例題分析返回例1求解方程組???????????????????????979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解對應(yīng)的增廣矩陣為????bAB?????????????????????97963422644121121112=??????23