淺談數(shù)學教學中的數(shù)型結(jié)合

1、<p>　　淺談數(shù)學教學中的數(shù)型結(jié)合</p><p>　　諸暨市楓橋鎮(zhèn)中 汪慧蓮</p><p>　　數(shù)和形是數(shù)學知識體系中兩大基礎概念,數(shù)型結(jié)合，簡單的講就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系通過圖形直觀地表現(xiàn)出來，然后引入一定的幾何知識，在簡單分析的基礎上迅速找到解題的方向，再通過簡單的計算得到答案。這種將抽象思維與形象思維有機結(jié)合在一起的方法有時在快速方便地解選擇題和填空題的時候

2、尤為管用。數(shù)學家華羅庚先生曾說過：“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”?？梢姅?shù)型結(jié)合的重要性。因此，我們在平時的教學中應重視數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化，以探求事半功倍的教學效果。</p><p>　　一．利用數(shù)形結(jié)合，幫助理解公式</p><p>　　數(shù)學公式很重要，但死記硬背也容易忘記，若能學會公式的推導，問題就能迎刃而解。比如完全平方和公式和平方差公式就可利用下圖

3、的面積形象地反映出來</p><p>　　如圖1，在邊長為a的正方形中，剪去一個邊長為b的小正方形（a>b）。把剩下的部分拼成一個梯形，就可以推導出平方差公式：a2 － b2 =(a＋b)(a－b)</p><p>　　如圖2，可利用幾何圖形的面積推導出完全平方公式：（a＋b）2 = a2 ＋2ab＋ b2</p><p>　　這樣的例子還有很多。</p

4、><p>　　二．利用數(shù)型結(jié)合，方便快速解題</p><p>　　例1：計算 ＋＋＋＋…… ＋=？ 可設計圖3求出</p><p>　　例2：小華和小王在一條長100米的直跑道上來回跑步，小華的速度是每秒跑10米，小王的速度是每秒15米。在小華跑完兩個來回的過程中，可以和小王相遇 次?</p><p>　　對于此題，可設計圖4快速得到

5、答案，交點的個數(shù)即為相遇的次數(shù)。</p><p>　　例3：觀察下面的圖形（每個正方形的邊長均為1）和相應的等式，探究其中的規(guī)律：</p><p>　?、?×=1- </p><p>　　②2×=2- </p><p><b>　?、?×=3-<

6、;/b></p><p><b>　?、?×=4-</b></p><p><b>　　……</b></p><p>　　寫出第五個等式，并在下面給出的五個正方形上畫出與之對應的圖形：</p><p>　　猜想并寫出與第n個圖形相對應的等式。</p><p>

7、　　三．利用數(shù)形結(jié)合，進行知識串聯(lián)</p><p>　　在數(shù)學教學中利用數(shù)形結(jié)合將知識點進行串聯(lián)，有利于學生對各知識點的掌握和應用，更有利于掌握它們的共性及內(nèi)在聯(lián)系。</p><p>　　1.二次三項式ax2+bx+c(a≠0)與其他知識點之間的串聯(lián)</p><p>　　變量x與其對應的代數(shù)式的值，作為一對有序?qū)崝?shù)，在直角坐標系中，得到二次函數(shù)y= ax2+bx+c

8、(a≠0)的圖象。二次函數(shù)y= ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標就是方程ax2 + bx +c = 0(a≠0)的兩個根。而在x軸上方或下方的對應的x的值，即為不等式ax2 + bx +c > 0（或ax2 + bx +c <0）的解。掌握了以下的圖表，（以a> 0為例）也就掌握了四個二次的關(guān)系和二次函數(shù)的性質(zhì)。</p><p>　　例4：二次函數(shù)y=ax2 + bx +c (

9、a≠0)的部分對應值如下表，請你通過學過的處理數(shù)的辦法，探究不等式ax2 + bx +c>0的x的取值范圍是 </p><p>　　分析：由表可知，拋物線的對稱軸為直線x=1,而拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，即方程ax2 + bx +c = 0(a≠0)的兩個根為x1=-1，x2=3。因為在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大。所以拋物線開口向上，

10、所以ax2 + bx +c > 0的x的取值范圍是x<-1 或x>3。</p><p>　　2．函數(shù)圖像與解方程和方程組之間的串聯(lián)</p><p>　　例5.解方程x2=2 x+3</p><p>　　可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y= x2-2 x -3 的圖像與x軸的交點橫坐標，橫坐標的值即為方程的解。</p><p>　　例2.解方程

11、組 </p><p>　　可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y= x2-3和函數(shù)y=2 x 的圖像的交點坐標，交點坐標即為方程組的解。</p><p>　　例6.判斷方程 的實數(shù)根的個數(shù)</p><p>　　此方程不是我們熟悉的一元二次方程，所以用判別式無法判斷其根的個數(shù)，但我們可以將此題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)和反比例函數(shù)圖像的交點個數(shù)，有幾個交點就意味著方程

12、有幾個實數(shù)解。。</p><p>　　四．利用數(shù)型結(jié)合，解三角問題</p><p>　　比如，15角的三角函數(shù)值，可以通過構(gòu)造幾何圖形，再用代數(shù)的方法，求出直角三角形的邊長，或直角三角形的兩邊的比，達到由數(shù)到形，再由形到數(shù)的巧妙結(jié)合。</p><p>　　例7、求sin150 和cos150</p><p>　　解：如圖6，延長300的直角三

13、角形的一邊CB至D，使AB=BD， </p><p>　　則∠D=∠DAB=∠ABC=150，設AC=1，則DB=AB=2，BC=，由勾股定理得：AD=＋，</p><p>　　sin150=== cos150===</p><p>&