“數(shù)形結(jié)合”在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

1、1“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合”在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用一、以數(shù)助形一、以數(shù)助形“數(shù)（代數(shù)）”與“形（幾何）”是中學(xué)數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對(duì)象，而這兩個(gè)方面是緊密聯(lián)系的體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中，包括“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”兩個(gè)方面“數(shù)”與“形”好比數(shù)學(xué)的“左右腿”全面理解數(shù)與形的關(guān)系，就要從“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”這兩個(gè)方面來(lái)體會(huì)此外還應(yīng)該注意體會(huì)“數(shù)”與“形”各自的優(yōu)勢(shì)與局限性，相互補(bǔ)充“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離

2、分家萬(wàn)事非”華羅庚的這四句詩(shī)很好地總結(jié)了“數(shù)形結(jié)合、優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)”的精要，“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要的地位要在解題中有效地實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”，最好能夠明確“數(shù)”與“形”常見(jiàn)的結(jié)合點(diǎn)，，從“以數(shù)助形”角度來(lái)看，主要有以下兩個(gè)結(jié)合點(diǎn)：（1）利用數(shù)軸、坐標(biāo)系把幾何問(wèn)題代數(shù)化（在高中我們還將學(xué)到用“向量”把幾何問(wèn)題代數(shù)化）；（2）利用面積、距離、角度等幾何量來(lái)解決幾何問(wèn)題，例如：利用勾股定理

3、證明直角、利用三角函數(shù)研究角的大小、利用線段比例證明相似等例1已知平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)和之間的距離可以用公式11()Axy小22()Bxy小計(jì)算利用這個(gè)公式計(jì)算原點(diǎn)到直線的距離221212()()ABxxyy????210yx??解：設(shè)是直線上的任意一點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離是(210)Pxx?小210yx??222(0)(2100)5(4)20OPxxx????????當(dāng)時(shí)，4x??25OP?小小所以原點(diǎn)到直線的距離為210yx??25

4、【說(shuō)明】建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)及相關(guān)公式處理一些幾何問(wèn)題，有時(shí)可以避免添加輔助線（這是平面幾何的一大難點(diǎn)）在高中“解析幾何”里，我們將專(zhuān)門(mén)學(xué)習(xí)利用坐標(biāo)將幾何問(wèn)題代數(shù)化例2已知的三邊長(zhǎng)分別為、和（m、n為正整數(shù)，且）求ABC?22mn?2mn22mn?mn?的面積（用含m、n的代數(shù)式表示）ABC?【分析分析】已知三角形三邊求面積一般稱(chēng)為“三斜求積”問(wèn)題，可用“海倫公式”計(jì)算，但運(yùn)用“海倫公式”一般計(jì)算比較繁，能避免最好不用本題能不能避免用“

5、海倫公式”，這要看所給的三角形有沒(méi)有特殊之處代數(shù)運(yùn)算比較過(guò)硬的人可能利用平方差公式就可以心算出來(lái)：，也就是說(shuō)，的三邊滿(mǎn)足勾股定理，即222222222()()(2)(2)(2)mnmnmnmn?????ABC?是一個(gè)直角三角形ABC?“海倫公式”：三角形三邊長(zhǎng)為a、b、c，p為周長(zhǎng)的一半，則三角形的面積S為：()()()Sppapbpc????解：由三邊的關(guān)系：2222222()(2)()mnmnmn????所以是直角三角形ABC?所以

6、的面積ABC?22221()(2)()2mnmnmnmn?????【說(shuō)明】利用勾股定理證明垂直關(guān)系是比較常用的“以數(shù)助形”的手法另外，熟練的代數(shù)運(yùn)3種數(shù)學(xué)思想的一種具體體現(xiàn)二、以形助數(shù)二、以形助數(shù)幾何圖形具有直觀易懂的特點(diǎn)，所以在談到“數(shù)形結(jié)合”時(shí)，更多的老師和學(xué)生更偏好于“以形助數(shù)”，利用幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題，常常會(huì)產(chǎn)生“出奇制勝”的效果，使人愉悅幾何直觀運(yùn)用于代數(shù)主要有以下幾個(gè)方面：（1）利用幾何圖形幫助記憶代數(shù)公式，例如：正方形的

7、分割圖可以用來(lái)記憶完全平方公式；將兩個(gè)全等的梯形拼成一個(gè)平行四邊形可以用來(lái)記憶梯形面積公式；等等（2）利用數(shù)軸或坐標(biāo)系將一些代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義，通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，依靠直觀幫助解決代數(shù)問(wèn)題，或者簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算比如：絕對(duì)值的幾何意義就是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離；數(shù)的大小關(guān)系就是數(shù)軸上點(diǎn)的左右關(guān)系，可以用數(shù)軸上的線段表示實(shí)數(shù)的取值范圍；互為相反數(shù)在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（更一般地：實(shí)數(shù)與在數(shù)軸上關(guān)于對(duì)稱(chēng)，換句話說(shuō)，ab2ab?數(shù)軸上實(shí)數(shù)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

8、為）；ab2ba?利用函數(shù)圖像的特點(diǎn)把握函數(shù)的性質(zhì)：一次函數(shù)的斜率（傾斜程度）、截距，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口、判別式、兩根之間的距離，等等；一元二次方程的根的幾何意義是二次函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)；x函數(shù)解析式中常數(shù)項(xiàng)的幾何意義是函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)（函數(shù)在時(shí)有意義）；y0x?銳角三角函數(shù)的意義就是直角三角形中的線段比例例5已知正實(shí)數(shù)，求的最小值x224(2)1yxx?????分析分析：可以把整理為，224(2)1xx????2222(0)(0

9、2)(2)(01)xx???????即看作是坐標(biāo)系中一動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)（0，2）和（2，1）的距(0)x小離之和，于是本問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最短距離問(wèn)題解：，2222(0)(02)(2)(01)yxx????????令、A（0，2）和B（2，1），則(0)Px小yPAPB??作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則y的最小值為(21)B?小223213AB???例6已知，，求證：1tan2??1tan3??45?????【分析分析】根據(jù)正切函數(shù)的意義不難構(gòu)造出滿(mǎn)足