畢業(yè)設(shè)計(jì)---基于matlab的卷積碼的分析與應(yīng)用

1、<p>　　基于MATLAB的卷積碼的分析與應(yīng)用</p><p>　　畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書</p><p>　畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）題目：基于MATLAB的卷積碼的分析與應(yīng)用</p><p>　設(shè)計(jì)(論文)的基本內(nèi)容：介紹糾錯(cuò)控制編碼的相關(guān)理論，重點(diǎn)分析卷積碼的相關(guān)編碼和解碼理論。在MATLAB中編寫卷積碼的編碼和解碼程序，模擬通信系統(tǒng)，針對(duì)TD-SCDMA系

2、統(tǒng)中的卷積碼進(jìn)行仿真。(3) 進(jìn)行糾錯(cuò)譯碼驗(yàn)證，糾錯(cuò)比較及誤碼率相關(guān)因素分析。</p><p>　畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）專題部分：題目：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　設(shè)計(jì)或論文專題的基本內(nèi)容：</p><p>　學(xué)生接受畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）題目日期第2周指導(dǎo)教師簽字：2010年3月8日</p><p>　　基于MATLAB的卷積碼的分析與應(yīng)

3、用</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　隨著現(xiàn)代通信的發(fā)展，特別是在未來(lái)4G通信網(wǎng)絡(luò)中，高速信息傳輸和高可靠性傳輸成為信息傳輸?shù)膬蓚€(gè)主要方面，而可靠性尤其重要。因?yàn)樾诺罓顩r的惡劣，信號(hào)不可避免會(huì)受到干擾而出錯(cuò)。為實(shí)現(xiàn)可靠性通信，主要有兩種途徑：一種是增加發(fā)送信號(hào)的功率，提高接收端的信號(hào)噪聲比；另一種是采用編碼的方法對(duì)信道差錯(cuò)進(jìn)行控制。前者

4、常常受條件限制，不是所有情況都能采用。因此差錯(cuò)控制編碼得到了廣泛應(yīng)用。</p><p>　　介紹了多種信道編碼方式，著重介紹了卷積碼的編碼方法和解碼方式。介紹了MATLAB的使用方法、編程方法、語(yǔ)句、變量、函數(shù)、矩陣等。介紹了TD-SCDMA通信系統(tǒng)和該系統(tǒng)下的卷積碼，搭建了系統(tǒng)通信模型。編寫卷積碼的編碼和解碼程序。用MATLAB仿真軟件對(duì)TD-SCDMA系統(tǒng)的卷積碼編解碼進(jìn)行仿真。對(duì)其糾正錯(cuò)碼性能進(jìn)行驗(yàn)證，并且

5、對(duì)誤碼率進(jìn)行仿真和分析。卷積碼的編碼解碼方式有很多，重點(diǎn)仿真Viterbi算法。Viterbi算法就是利用卷積碼編碼器的格圖來(lái)計(jì)算路徑度量，選擇從起始時(shí)刻到終止時(shí)刻的惟一幸存路徑作為最大似然路徑。沿著最大似然路徑回溯到開(kāi)始時(shí)刻，所走過(guò)的路徑對(duì)應(yīng)的編碼輸出就是最大似然譯碼輸出序列。它是一種最大似然譯碼方法，當(dāng)編碼約束長(zhǎng)度不大、或者誤碼率要求不是很高的情況下，Viterbi譯碼器設(shè)備比較簡(jiǎn)單，計(jì)算速度快，因而Viterbi譯碼器被廣泛應(yīng)用于

6、各種領(lǐng)域。</p><p>　　關(guān)鍵詞：卷積碼；信道編碼；TD-SCDMA；MATLAB</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書I</p><p><b>　　摘 要II</b></p><p>　　AbstractI

7、II</p><p>　　第1章 緒 論1</p><p>　　1.1 課題研究的背景和來(lái)源1</p><p>　　1.2 主要內(nèi)容2</p><p>　　第2章 相關(guān)理論介紹3</p><p>　　2.1 信道編碼3</p><p>　　2.1.1 信道編碼的分類3</p&

8、gt;<p>　　2.1.2 編碼效率3</p><p>　　2.2 線性分組碼3</p><p><b>　　2.3 循環(huán)碼5</b></p><p><b>　　2.4 卷積碼6</b></p><p>　　2.4.1 卷積碼簡(jiǎn)介7</p><p>

9、;　　2.4.2 卷積碼的編碼7</p><p>　　2.4.3 卷積碼的解碼13</p><p>　　第3章 MATLAB應(yīng)用21</p><p>　　3.1 數(shù)和算術(shù)的表示方法21</p><p>　　3.2 向量與矩陣運(yùn)算21</p><p>　　3.2.1 通過(guò)語(yǔ)句和函數(shù)產(chǎn)生21</p>

10、<p>　　3.2.2 矩陣操作22</p><p>　　3.3 矩陣的基本運(yùn)算22</p><p>　　3.3.1 矩陣乘法22</p><p>　　3.3.2 矩陣除法23</p><p>　　3.4 MATLAB編程23</p><p>　　3.4.1 關(guān)系運(yùn)算23</p>

11、<p>　　3.4.2 控制流25</p><p>　　第4章 卷積碼的設(shè)計(jì)與仿真27</p><p>　　4.1 TD-SCDMA系統(tǒng)27</p><p>　　4.1.1 系統(tǒng)簡(jiǎn)介27</p><p>　　4.1.2 仿真通信系統(tǒng)模型27</p><p>　　4.2 卷積編碼設(shè)計(jì)28</

12、p><p>　　4.3 編解碼程序?qū)崿F(xiàn)29</p><p>　　4.3.1 卷積碼編解碼設(shè)計(jì)29</p><p>　　4.3.2 卷積碼編解碼程序設(shè)計(jì)32</p><p>　　4.4 卷積碼實(shí)現(xiàn)34</p><p>　　4.4.1 (2,1)卷積碼的仿真研究34</p><p>　　4.4

13、.2 (3,1)卷積碼的仿真研究36</p><p>　　4.5 卷積碼誤碼率38</p><p>　　第5章 結(jié) 論41</p><p><b>　　5.1 總結(jié)41</b></p><p><b>　　5.2 展望41</b></p><p><b>

14、;　　參考文獻(xiàn)43</b></p><p><b>　　致 謝45</b></p><p><b>　　緒 論</b></p><p>　　課題研究的背景和來(lái)源</p><p>　　糾錯(cuò)編碼己有五十幾年歷史，早在1948年，香農(nóng)(Shannon)在他的開(kāi)創(chuàng)性論文“通信的數(shù)學(xué)理論”

15、中，首次闡明了在有擾信道中實(shí)現(xiàn)可靠通信的方法，提出了著名的有擾信道編碼定理，奠定了糾錯(cuò)碼的基石。以后，糾錯(cuò)碼受到了越來(lái)越多的通信和數(shù)學(xué)工作者，特別是數(shù)學(xué)家的重視，使糾錯(cuò)碼無(wú)論在理論上還是在實(shí)際中都得到了飛速發(fā)展[1]。</p><p>　　隨著現(xiàn)代通信的發(fā)展，特別是在未來(lái)4G通信網(wǎng)絡(luò)中，高速信息傳輸和高可靠性傳輸成為信息傳輸?shù)膬蓚€(gè)主要方面，而可靠性尤其重要。因?yàn)樾诺罓顩r的惡劣，信號(hào)不可避免會(huì)受到干擾而出錯(cuò)。為實(shí)現(xiàn)

16、可靠性通信，主要有兩種途徑：一種是增加發(fā)送信號(hào)的功率，提高接收端的信號(hào)噪聲比；另一種是采用編碼的方法對(duì)信道差錯(cuò)進(jìn)行控制。前者常常受條件限制，不是所有情況都能采用。例如衛(wèi)星通信系統(tǒng)以很遠(yuǎn)的距離傳送數(shù)據(jù)，由于衰落、噪聲和干擾等的影響，信號(hào)在傳輸過(guò)程中將產(chǎn)生嚴(yán)重的畸變。如果要求信號(hào)具有盡可能大的能量，衛(wèi)星體積和載重就會(huì)大大增加，使成本相對(duì)于原來(lái)大大增加，所以不可能給信號(hào)提供太大的能量，而建立在香農(nóng)基礎(chǔ)上的編碼理論正可以解決這個(gè)問(wèn)題，使得成本降

17、低，實(shí)用性增強(qiáng)。前向糾錯(cuò)技術(shù)(FEC)特別是卷積編碼是當(dāng)今無(wú)線數(shù)字通信系統(tǒng)的一個(gè)十分重要的組成部分。它是一種有效的信道編碼方法，在實(shí)際中廣泛應(yīng)用。目前無(wú)線數(shù)字通信系統(tǒng)都采用某一形式的卷積編碼如在W-CDMA、DVB-S、DVB-T、IEE802.11系統(tǒng)中都使用了卷積編碼。由于其出色的糾錯(cuò)性能，一般在級(jí)聯(lián)碼中作為內(nèi)碼使用，從而保證外碼有效地工作，大大提高了整個(gè)系統(tǒng)的糾錯(cuò)能力。而Vi</p><p>　　CDMA系

18、統(tǒng)以其容量大、抗干擾能力強(qiáng)的特點(diǎn)成為第三代移動(dòng)通信系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)。CDMA系統(tǒng)的信道編碼大多采用卷積編碼，這是因?yàn)榫矸e碼的糾錯(cuò)能力強(qiáng)，不僅能糾隨機(jī)差錯(cuò)，還可以糾突發(fā)差錯(cuò)。在CDMA系統(tǒng)中，對(duì)卷積碼的譯碼采用Viterbi算法，它是一種最大似然譯碼方法，當(dāng)編碼約束長(zhǎng)度不大、或者誤碼率要求不是很高的情況下，Viterbi譯碼器設(shè)備比較簡(jiǎn)單，計(jì)算速度快，因而Viterbi譯碼器被廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域。</p><p>　　現(xiàn)

19、代通信中，隨著信號(hào)序列的傳輸速率的不斷提高，要求卷積碼譯碼的速度也要不斷提高，Viterbi譯碼由于充分利用信號(hào)序列統(tǒng)計(jì)概率的特性而具有最佳性能。信道編碼的應(yīng)用領(lǐng)域主要包括深空通信、衛(wèi)星通信、數(shù)據(jù)傳輸、移動(dòng)通信、文件傳輸和數(shù)字音頻/視頻傳輸?shù)取＞矸e編碼作為信道編碼方式中最重要一種，被廣泛使用于衛(wèi)星通信、無(wú)人機(jī)測(cè)控、深空通信、移動(dòng)通信、水聲通信等數(shù)字通信系統(tǒng)，甚至被采納到某些無(wú)線通信的標(biāo)準(zhǔn)之中，如GSM、IS.95和CDMA2000的標(biāo)準(zhǔn)

20、。在衛(wèi)星通信中，碼率為1/2和1/3的卷積碼己經(jīng)成為商業(yè)衛(wèi)星通信系統(tǒng)中的標(biāo)準(zhǔn)編碼方法。在無(wú)人機(jī)測(cè)控中，與傳統(tǒng)的信道改善控制指令傳輸誤碼的方式比較，利用卷積碼對(duì)無(wú)人機(jī)遙控信道進(jìn)行編碼，在一定信道條件下，其控制指令傳輸誤碼有明顯下降。在碼速率不增加的條件下，無(wú)人機(jī)系統(tǒng)控制指令傳輸可靠性得到明顯改善[3]。</p><p>　　隨著數(shù)字通信系統(tǒng)業(yè)務(wù)的不斷拓展，隨著卷積編碼理論的不斷發(fā)展和完善，卷積碼的應(yīng)用必將越來(lái)越廣泛

21、，卷積碼在現(xiàn)在通信系統(tǒng)中的作用必將越來(lái)越大。</p><p><b>　　主要內(nèi)容</b></p><p>　　論文框架：第一章介紹了卷積碼的研究背景，第二章介紹了卷積碼的相關(guān)理論，信道編碼、線性分組碼、循環(huán)碼及卷積碼的表示方式、編碼方式、解碼方式，第三章介紹了實(shí)現(xiàn)卷積碼仿真所需要的軟件方式，第四章進(jìn)行卷積碼設(shè)計(jì)與仿真，介紹了TD-SCDMA系統(tǒng)下的卷積碼，對(duì)卷積碼性

22、能進(jìn)行了研究。</p><p>　　主要內(nèi)容：介紹了信道編碼方式。著重研究列舉了卷積碼的編碼方法和解碼方式，介紹了MATLAB的使用方法和TD-SCDMA系統(tǒng)。編寫卷積碼的編碼和解碼程序。并且用MATLAB仿真軟件對(duì)TD-SCDMA系統(tǒng)的卷積碼編解碼進(jìn)行仿真，Viterbi算法就是利用卷積碼編碼器的格圖來(lái)計(jì)算路徑度量，選擇從起始時(shí)刻到終止時(shí)刻的惟一幸存路徑作為最大似然路徑。沿著最大似然路徑回溯到開(kāi)始時(shí)刻，所走過(guò)的

23、路徑對(duì)應(yīng)的編碼輸出就是最大似然譯碼輸出序列。它是一種最大似然譯碼方法，當(dāng)編碼約束長(zhǎng)度不大、或者誤碼率要求不是很高的情況下，Viterbi譯碼器設(shè)備比較簡(jiǎn)單，計(jì)算速度快，因而Viterbi譯碼器被廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域。</p><p><b>　　相關(guān)理論介紹</b></p><p><b>　　信道編碼</b></p><p&g

24、t;　　在數(shù)字通信中，根據(jù)不同的目的，編碼可分為信源編碼和信道編碼。信源編碼是為了提高數(shù)字信號(hào)的有效性以及為了使模擬信號(hào)數(shù)字化而采取的編碼。信道編碼是為了降低誤碼率，提高數(shù)字通信的可靠性而采取的編碼。信道編碼現(xiàn)在已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用。</p><p><b>　　信道編碼的分類 </b></p><p>　　信道編碼有多種分類方式，主要有按照關(guān)系、范圍及用途三種。<

25、;/p><p>　　(1)根據(jù)糾錯(cuò)碼各碼組信息元和監(jiān)督元的函數(shù)關(guān)系，可分為線性碼和非線性碼。如果函數(shù)關(guān)系是線性的，即滿足一組線性方程式，則稱為線性碼，否則為非線性碼。</p><p>　　(2)根據(jù)上述關(guān)系涉及的范圍，可分為分組碼和卷積碼。分組碼的各碼元僅與本組的信息元有關(guān)；卷積碼中的碼元不僅與本組的信息元有關(guān)，而且還與前面若干組的信息元有關(guān)。 </p><p>

26、　　(3)根據(jù)碼的用途，可分為檢錯(cuò)碼和糾錯(cuò)碼。檢錯(cuò)碼以檢錯(cuò)為目的，不一定能糾錯(cuò)；而糾錯(cuò)碼以糾錯(cuò)為目的，一定能檢錯(cuò)[4,5]。</p><p><b>　　編碼效率 </b></p><p>　　用差錯(cuò)控制編碼提高通信系統(tǒng)的可靠性，是以降低有效性為代價(jià)換來(lái)的。定義編碼效率尺來(lái)衡量有效性：R=k/n，其中，k是信息元的個(gè)數(shù)，n為碼長(zhǎng)。對(duì)糾錯(cuò)碼的基本要求是：檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力盡

27、量強(qiáng)；編碼效率盡量高；編碼規(guī)律盡量簡(jiǎn)單。</p><p><b>　　線性分組碼</b></p><p>　　線性分組碼中的線性是指碼組中碼元間的約束關(guān)系是線性的，而分組則是對(duì)編碼方法而言，即編碼時(shí)將每k個(gè)信息位分為一組進(jìn)行獨(dú)立處理，變換成長(zhǎng)度為n(n>k)的二進(jìn)制碼組。</p><p>　　線性分組碼的編碼過(guò)程可以簡(jiǎn)單描述成一個(gè)矢量和一

28、個(gè)矩陣相乘的結(jié)果，即C=mG,其中C是經(jīng)過(guò)編碼后得到的n維編碼輸出{c0,c1,…,cn-1}，m是信息序列分組{m0,m1,…,mk-1}，G是由k個(gè)n維矢量{g0,g1,…,gk-1}構(gòu)成的矩陣。 </p><p>　　線性分組碼編碼問(wèn)題的核心就是如何在n維線性空間Vn中找出滿足一定要求的、由2k個(gè)矢量組成的k維線性子空間，也就是說(shuō)，在滿足給定碼字最小距離或編碼速率的前提下，如何根據(jù)已知的k個(gè)信息比特求得r=

29、n-k個(gè)校驗(yàn)比特。 </p><p>　　通過(guò)對(duì)碼字生成矩陣G的初等變換，可以得到惟一的行簡(jiǎn)化梯形矩陣，再經(jīng)過(guò)列交換可以得到如下形式的生成矩陣。 </p><p><b>　　(2.1)</b></p><p>　　其中P是k×(n-k)的矩陣。 </p><p>　　這種形式的生成矩陣G稱為標(biāo)準(zhǔn)生成矩陣，按照

30、標(biāo)準(zhǔn)矩陣生成的碼字為</p><p><b>　　(2.2)</b></p><p>　　其中前n-k-1個(gè)比特為校驗(yàn)比特，其值為</p><p><b>　　(2.3)</b></p><p>　　后面k個(gè)比特就是信息比特。這種在生成碼字中包含信息序列的編碼碼字稱為線性系統(tǒng)分組碼，簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)碼。

31、</p><p>　　系統(tǒng)碼的編碼結(jié)構(gòu)相當(dāng)簡(jiǎn)單，以系統(tǒng)(7，4)為例，其生成矩陣為： </p><p><b>　　(2.4)</b></p><p>　　系統(tǒng)碼的編碼結(jié)構(gòu)非常簡(jiǎn)單，比如對(duì)系統(tǒng)(7，4)碼，根據(jù)上面的生成矩陣G,只要在輸入編碼器的每組k個(gè)數(shù)字的后面，附加上(n-k)個(gè)監(jiān)督碼元就可得到所編出的n個(gè)碼字。</p>&l

32、t;p>　　系統(tǒng)(7，4)碼對(duì)應(yīng)的監(jiān)督矩陣為 </p><p><b>　　(2.5)</b></p><p>　　假如發(fā)送的碼字為c=(1001011)，而接收到的碼字為Y=(1001001)，信道傳輸中產(chǎn)生的錯(cuò)誤為e=(0000010)。</p><p>　　由S=y·HT可求出S=(1,1,1)。</p>&

33、lt;p><b>　　循環(huán)碼 </b></p><p>　　循環(huán)碼是線性分組碼中最重要的一類，循環(huán)碼是指碼集合中的任一碼字經(jīng)過(guò)循環(huán)移位后得到的碼字仍然是碼集合中的碼字。循環(huán)碼的碼字可以用矢量的形式表示，即：</p><p><b>　　(2.6)</b></p><p>　　也可用碼多項(xiàng)式表示，即：</p>

34、;<p><b>　　(2.7)</b></p><p>　　循環(huán)碼c向右移一位的碼字可由下式得出 </p><p><b>　　(2.8)</b></p><p>　　循環(huán)碼可由它的生成多項(xiàng)式</p><p><b>　　(2.9)</b></p>

35、<p>　　唯一確定。信息序列也可以表示成多項(xiàng)式</p><p><b>　　(2.10)</b></p><p>　　那么生成碼字可表示成 </p><p><b>　　(2.11)</b></p><p>　　由于多項(xiàng)式乘法等價(jià)于多項(xiàng)式系數(shù)的卷積，故</p><p

36、><b>　　(2.12)</b></p><p>　　循環(huán)碼編碼則可以通過(guò)移位寄存器組成的乘法電路結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。由數(shù)論知識(shí)可知， (n，k)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式g(x)一定是xn-1的n-k次因式：</p><p><b>　　(2.13)</b></p><p>　　反之，若g(x)為n-k次多項(xiàng)式，且xn-1能被g(

37、x)整除，則g(x)一定能生成一個(gè)(n，k)循環(huán)碼。以g(x)為生成多項(xiàng)式所構(gòu)成的(n，k)循環(huán)碼中</p><p>　　g(x),x g(x),…,xk-1 g(x) (2.14)</p><p>　　等七個(gè)多項(xiàng)式必定是線性無(wú)關(guān)，則循環(huán)碼的生成矩陣G為</p><p><b>　　(2.15)</b>

38、</p><p>　　循環(huán)碼的編碼也可以通過(guò)移位寄存器組成的除法電路結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。以(7，4)循</p><p>　　環(huán)碼為例，選(7，4)碼生成矩陣</p><p>　　g(x)= g3(x)=1+x+x3 (2.16)</p><p>　　它除盡1+x7，若輸入信息碼元為m(

39、x)=1+x3</p><p><b>　　則由</b></p><p><b>　　(2.17)</b></p><p><b>　　因此，碼多項(xiàng)式為</b></p><p><b>　　(2.18)</b></p><p>　　

40、對(duì)應(yīng)的碼字為C=(0 1 1 1 0 0 1) 其中最右邊的4位是信息元，詳細(xì)的編碼過(guò)程如下： </p><p>　　三級(jí)移位寄存器初始狀態(tài)為000，此時(shí)門打開(kāi)，信息組以</p><p><b>　　(2.19)</b></p><p>　　即1001次序分兩路進(jìn)入編碼器：一路直接輸出；另一路送入g(x)除法電路。 </p>&

41、lt;p>　　經(jīng)4次移位后，信息組1001全部輸出，它就是系統(tǒng)碼的4個(gè)信息元；另一路則將全部信息元送入g(x)除法電路，并完成除法運(yùn)算，這時(shí)移位寄存器中的狀態(tài)就是余式r(x)系數(shù)，即為碼的監(jiān)督元(c0 c1 c2)。 </p><p>　　輸出開(kāi)關(guān)倒向上面2，經(jīng)3次移位，移位器由監(jiān)督元(c0 c1 c2)，跟在信息元 (c3 c4 c5 c6)后面依次輸出為C=( c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6)

42、 =(0111001)。 </p><p>　　送入第二組信息元，重復(fù)上述過(guò)程。 </p><p>　　該碼最小距離為3，它能糾正7個(gè)碼元一組中任何單個(gè)錯(cuò)誤，這7種錯(cuò)誤圖樣和全零矢量一起組成譯碼表的陪集首，它組成了所有可能糾正的圖樣?，F(xiàn)假設(shè)接收的多項(xiàng)式為</p><p><b>　　(2.20)</b></p><p>

43、　　即Y=(1 1 1 1 0 0 1)。</p><p>　　譯碼器工作步驟如下：</p><p>　　將移位寄存器清零。 </p><p>　　(2) 輸入Y分兩路進(jìn)入譯碼器：一路進(jìn)入緩存器；另一路經(jīng)門1進(jìn)入伴隨式計(jì)算電路與寄存器，并分別計(jì)算S0、S1、S2值。 </p><p>　　(3) 在輸出Y的同時(shí)，S0、S1、S2依次循環(huán)移位。

44、無(wú)錯(cuò)誤時(shí)，錯(cuò)誤檢測(cè)電路無(wú)輸出，最后輸出的碼字C的碼元與Y相對(duì)應(yīng)碼元一致，有錯(cuò)誤時(shí)，S0= S2=1，S1=0，錯(cuò)誤檢測(cè)電路輸出為“1”，它正好與Y中錯(cuò)誤位在輸出端的模2加中相遇，并予以糾正后再輸出。 </p><p><b>　　卷積碼</b></p><p>　　相對(duì)于分組碼而言，分組碼的編碼和譯碼都是各分組獨(dú)立的進(jìn)行，彼此不相關(guān)聯(lián)。而卷積碼的每一組不僅與本組的k

45、位信息位有關(guān)，還和這以前各組的信息位有關(guān)。卷積碼的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，但n和k的值相對(duì)于分組碼來(lái)說(shuō)比較小。譯碼也相對(duì)比較容易些。</p><p><b>　　卷積碼簡(jiǎn)介</b></p><p>　　非分組碼的卷積碼的編碼器是在任一段規(guī)定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生n個(gè)碼元，但它不僅取決于這段時(shí)間中的k個(gè)信息位，還取決于前(K-1)段規(guī)定時(shí)間內(nèi)的信息位，這K段時(shí)間內(nèi)的碼元數(shù)目為K·k

46、，稱參數(shù)K為卷積碼的約束長(zhǎng)度，每k個(gè)比特輸入，得到n比特輸出，編碼效率為k/n，約束長(zhǎng)度為K。在k=1的條件下，移位寄存器級(jí)數(shù)m=K-1。</p><p>　　卷積碼一般可用(n，k，K)來(lái)表示，其中k為輸入碼元數(shù)，n為輸出碼元數(shù)，而K則為編碼器的約束長(zhǎng)度。典型的卷積碼一般選n和k ( k< n ) 值較小，但約束長(zhǎng)度K可取較大值(K<10)，以獲得既簡(jiǎn)單又高性能的信道編碼[6]。</p>

47、<p>　　卷積碼是1955年Elias最早提出，1957年Wozencraft提出了序列譯碼。1963年Massey提出了一種性能稍差，但比較實(shí)用的門限譯碼方法。1967年維特比(Viterbi)提出了最大似然譯碼。它對(duì)存儲(chǔ)器級(jí)數(shù)較小的卷積碼的譯碼很容易實(shí)現(xiàn)，稱為維特比算法或維特比譯碼。</p><p><b>　　卷積碼的編碼</b></p><p>

48、;　　卷積碼的編碼器是由一個(gè)有k個(gè)輸入位(端)、n個(gè)輸出位(端)，且具有m級(jí)移位寄存器所構(gòu)成的有限狀態(tài)的有記憶系統(tǒng)，通常稱它為時(shí)序網(wǎng)絡(luò)。</p><p><b>　　卷積碼的解析表示法</b></p><p>　　一個(gè)二元(2,1,4)卷積碼的編碼器，它是由k=1，即一個(gè)輸入位(端)，n=2，即兩個(gè)輸出位(端)，K=4,m=3即三級(jí)移位寄存器所組成的有限狀態(tài)的有記憶系

49、統(tǒng)。</p><p><b>　　(1) 離散卷積</b></p><p>　　若輸入信息序列為(這里的卷積碼是u0首先輸入)</p><p><b>　　(2.21)</b></p><p>　　則對(duì)應(yīng)輸出為兩個(gè)碼字序列　　　　</p><p><b>　　(2.

50、22)</b></p><p>　　其相應(yīng)編碼方程可寫為</p><p><b>　　(2.23)</b></p><p>　　其中“﹡”表示卷積運(yùn)算，g① g②表示編碼器的兩個(gè)脈沖沖擊響應(yīng)，即編碼可由輸入信息序列u和編碼器的兩個(gè)沖擊響應(yīng)的卷積得到，故稱為卷積碼[7]。這里的脈沖沖擊響應(yīng)是指，當(dāng)輸入信息為u=(100…)時(shí)，所觀察

51、到的兩個(gè)輸出序列值。由于編碼器有m=3級(jí)寄存器，故沖激響應(yīng)至多可持續(xù)到K=m+1=3+1=4位，且可寫成：</p><p><b>　　(2.24)</b></p><p><b>　　在一般情況下有：</b></p><p><b>　　(2.25)</b></p><p>

52、　　經(jīng)編碼器后，兩個(gè)輸出序列合并為一個(gè)輸出碼字序列為：</p><p><b>　　(2.26)</b></p><p><b>　　若輸入信息序列為：</b></p><p><b>　　(2.27)</b></p><p><b>　　則有：</b>&

53、lt;/p><p><b>　　(2.28)</b></p><p><b>　　(2.29)</b></p><p><b>　　最后輸出的碼字為：</b></p><p><b>　　(2.30)</b></p><p><b

54、>　　(2) 生成矩陣</b></p><p>　　上述沖激響應(yīng)g① g②又稱為生成序列，若將該生成序列g(shù)① g②按如下方法排列，構(gòu)成如下生成矩陣(當(dāng)K=4,m=3時(shí))：</p><p><b>　　(2.31)</b></p><p>　　上述矩陣中，其中空白部分均為0。則上述編碼方程可改為矩陣形式</p>

55、<p><b>　　(2.32)</b></p><p>　　G為卷積碼的生成矩陣,若輸入信息序列為一無(wú)限序列時(shí)，即u=(10111…)，生成矩陣則為一個(gè)半無(wú)限矩陣，即有起點(diǎn)無(wú)終點(diǎn)，因此稱它為半無(wú)限。</p><p><b>　　若：</b></p><p><b>　　(2.33)</b>

56、;</p><p><b>　　則：</b></p><p><b>　　(2.34)</b></p><p><b>　　(3) 碼多項(xiàng)式</b></p><p>　　若將生成序列表達(dá)成多項(xiàng)式形式，有</p><p><b>　　(2.35)

57、</b></p><p>　　輸入信息序列也可表達(dá)為多項(xiàng)式形式</p><p><b>　　(2.36)</b></p><p>　　則卷積碼可以用下列碼多項(xiàng)式形式表達(dá)</p><p><b>　　(2.37)</b></p><p><b>　　(2.

58、38)</b></p><p><b>　　卷積碼的圖形表示法</b></p><p>　　卷積碼的圖形表示法有很多種，在此介紹最常用的三種，狀態(tài)圖表示法、樹(shù)圖表示法、網(wǎng)格圖表示法。</p><p><b>　　狀態(tài)圖表示法</b></p><p>　　卷積編碼器在下一時(shí)刻的輸出取決于編

59、碼器當(dāng)前的狀態(tài)及下一時(shí)刻的輸入。當(dāng)前狀態(tài)取決于編碼器在當(dāng)時(shí)各移位寄存器所存儲(chǔ)的內(nèi)容，稱編碼器的各移位寄存器在任一時(shí)刻的存數(shù)(0或1)為編碼器在該時(shí)刻的一個(gè)狀態(tài)。編碼器的總可能狀態(tài)數(shù)是2mk個(gè)。對(duì)于n=2，k=1，K=3，m=2的(2，1，3)卷積編碼器，則其總的可能狀態(tài)數(shù)是4個(gè)。設(shè)以Si表示某狀態(tài)，i =0，1，2，3,在某tj時(shí)刻，此 (2,1,3)卷積編碼器的輸出表述為</p><p><b>　　

60、(2.39)</b></p><p>　　它取決于uj,uj-1及uj-2三個(gè)值，其中uj是當(dāng)前的輸入值，uj-1及uj-2是以前輸入的兩個(gè)值。若要求出下一個(gè)tj+1時(shí)刻的輸出值，則要知道當(dāng)前的uj及uj-1值。當(dāng)輸入下一時(shí)刻的uj+1值時(shí)，就可以求出下一個(gè)tj+1時(shí)刻的c①j+1及c②j+1值。所以，為決定下一個(gè)tj+1時(shí)刻編碼器的輸出，此(2，1，3)卷積編碼器在當(dāng)前tj時(shí)刻的狀態(tài)用Si=(uj,

61、uj-1) (i=0,1,2,3)表示即可。如表2.1所示。</p><p>　　表2.1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移表</p><p><b>　　設(shè)輸入信息序列為:</b></p><p><b>　　(2.40)</b></p><p>　　1) 首先，對(duì)移位寄存器清洗、復(fù)0，移存器狀態(tài)為00；</p&

62、gt;<p>　　2) 輸入:u0=1，輸出，，故，移位寄存器狀態(tài)改為10；</p><p>　　3) 輸入:u1=0，則根據(jù)(010)，可算出：，故，移位寄存器狀態(tài)改為01；</p><p>　　4) 輸入:u2=1，則根據(jù)(101)，可算出：，故，移位寄存器狀態(tài)改為10；</p><p>　　5) 輸入:u3=1，則根據(jù)(110)，可算出：，故，移

63、位寄存器狀態(tài)改為11；</p><p>　　6) 輸入:u4=1，則根據(jù)(111)，可算出：，故，移位寄存器狀態(tài)改為11；</p><p>　　7) 輸入:u5=0，則根據(jù)(011)，可算出：，故，移位寄存器狀態(tài)改為01；</p><p>　　8) 輸入:u6=0，則根據(jù)(001)，可算出：，故，移位寄存器狀態(tài)改為00；</p><p>　　

64、9) 輸入:u7=0，則根據(jù)(000)，可算出：，故，移位寄存器狀態(tài)改為00；</p><p>　　按照上述步驟，可畫出狀態(tài)圖如圖2.1所示。</p><p>　　圖2.1 (2,1,3)卷積碼狀態(tài)圖</p><p>　　圖2.1中，4個(gè)圓圈中的數(shù)字表示狀態(tài)，狀態(tài)之間的連線與箭頭表示轉(zhuǎn)移方向，稱作分支，分支上的數(shù)字表示由一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移時(shí)的輸出碼字，而括號(hào)

65、中數(shù)字表示相應(yīng)的輸入信息數(shù)字。例如若當(dāng)前狀態(tài)為11，即S3=11，則當(dāng)下一時(shí)刻的輸入信息位為u1=0時(shí)，輸出碼字c1=01，下一刻的狀態(tài)為S2=01。若輸入信息位u1=1，則輸出碼字為c1=10，下一時(shí)刻的狀態(tài)仍為S3=11。</p><p><b>　　樹(shù)圖表示法</b></p><p>　　如果要展示出編碼器的輸入、輸出所有可能情況，則可采用樹(shù)圖來(lái)描述，它是將上述

66、編碼器的狀態(tài)圖按時(shí)間展開(kāi)而成的，如圖2.2所示。</p><p>　　由圖2.2可見(jiàn)，若設(shè)初始狀態(tài)S0=00作為樹(shù)根，對(duì)每個(gè)時(shí)刻可能的輸入進(jìn)行分支，若分支的節(jié)點(diǎn)級(jí)數(shù)用表示，則當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)可能分支。若u0=0，則向上，即0分支向上，若u0=1則向下，即1分支向下，它們都達(dá)到下一個(gè)一級(jí)節(jié)點(diǎn)()。當(dāng)時(shí)，對(duì)每個(gè)一級(jí)節(jié)點(diǎn)根據(jù)u1的取值也將產(chǎn)生上、下兩個(gè)分支，并推進(jìn)到相應(yīng)的二級(jí)節(jié)點(diǎn)()。依此類推，就可以得到一個(gè)無(wú)限延伸的樹(shù)狀

67、結(jié)構(gòu)圖。圖2.2中各分支上的數(shù)字表示相應(yīng)輸出的碼字。字段表示編碼器所處的狀態(tài)。</p><p>　　對(duì)于特定輸入信息序列:</p><p>　　u=(10111000) (2.41)</p><p><b>　　相應(yīng)的輸出:</b></p><p>　　c=(11 10 0

68、0 01 10 01 11 00…) (2.42)</p><p>　　圖2.2 (2,1,3)卷積碼樹(shù)圖表示</p><p><b>　　網(wǎng)格圖表示法</b></p><p>　　網(wǎng)格圖的縱坐標(biāo)表示所有狀態(tài)，橫坐標(biāo)表示時(shí)間。這類網(wǎng)格圖描述法在卷積碼的概率譯碼中，特別在維特比譯碼中特別有用，它綜合了狀態(tài)圖與樹(shù)

69、圖的優(yōu)點(diǎn)，即網(wǎng)格圖既具有狀態(tài)圖結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，又具有樹(shù)圖的時(shí)序關(guān)系清晰特點(diǎn)。</p><p>　　以(2,1,3)卷積碼為例，當(dāng)節(jié)點(diǎn)級(jí)數(shù)大于時(shí)，狀態(tài)呈現(xiàn)重復(fù)。利用這種重復(fù)，即如果將圖2.2中以后，碼樹(shù)上處于同一狀態(tài)的同一節(jié)點(diǎn)折疊起來(lái)加以合并，就可以得到縱深寬度(或稱高度)為2km=22=4的網(wǎng)格圖，如圖2.3所示。</p><p>　　圖2.3中實(shí)線表示輸入為0時(shí)所走的分支，虛線表示輸入為1時(shí)所

70、走的分支。由圖2.3可見(jiàn)這個(gè)圖實(shí)質(zhì)上是將圖2.2的樹(shù)圖重復(fù)部分合并而成的。它自即第二級(jí)節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，從同一狀態(tài)出發(fā)所延伸的樹(shù)結(jié)構(gòu)完全一樣。因此網(wǎng)格圖能更為簡(jiǎn)潔地表示卷積碼[8]。</p><p>　　如果任意給定一個(gè)輸入信息序列，則它在網(wǎng)格圖中就必將存在一條特定的路徑，比如u=(1011100)，其輸出編碼為c=(11 10 00 01 10 01 11)，即為上述網(wǎng)格圖2.3中粗黑線所表示的路徑。網(wǎng)格圖是研究卷積碼

71、最大似然譯碼維特比算法的重要工具。</p><p>　　圖2.3 (2,1,3)卷積碼網(wǎng)格圖表示法</p><p><b>　　卷積碼的解碼</b></p><p>　　卷積碼的解碼方式可以分為兩類：代數(shù)解碼和概率解碼。代數(shù)解碼是利用編碼本身的代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行解碼，不考慮信道的統(tǒng)計(jì)特性。大數(shù)邏輯解碼，又稱門限解碼，是卷積碼代數(shù)解碼的最主要一種方法

72、，也可以應(yīng)用于循環(huán)碼的解碼。大數(shù)邏輯解碼對(duì)于約束長(zhǎng)度較短的卷積碼最為有效，而且設(shè)備較簡(jiǎn)單。概率解碼(又稱最大似然解碼)則是基于信道的統(tǒng)計(jì)特性和卷積碼的特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。首先由沃曾克拉夫特針對(duì)無(wú)記憶信道提出的序貫解碼就是概率解碼方法之一；另一種概率解碼方法是維特比(Viterbi)算法。當(dāng)碼的約束長(zhǎng)度較短時(shí)，它比序貫解碼算法的效率更高、速度更快，目前得到廣泛的應(yīng)用[9,10]。</p><p><b>　　大

73、數(shù)邏輯解碼</b></p><p>　　卷積碼的大數(shù)邏輯解碼是基于卷積碼的代數(shù)表述運(yùn)算的，其一般工作原理如圖2.4所示。</p><p>　　首先將接受信息位暫存于移存器中，并從接收碼元的信息位和監(jiān)督位計(jì)算校正子。然后，將計(jì)算得出的校正子暫存，并用它來(lái)檢測(cè)錯(cuò)碼的位置。在信息位移存器輸出端，接有一個(gè)模2加電路；當(dāng)檢測(cè)到輸出的信息位有錯(cuò)時(shí)，在輸出的信息為上加“1”，從而糾正之[11

74、]。</p><p>　　在圖2.5中畫出了一個(gè)(2,1,6)卷積碼編碼器。</p><p>　　圖2.4 大數(shù)邏輯解碼一般工作原理</p><p>　　圖2.5 (2,1,6)卷積碼編碼器原理方框圖</p><p>　　圖2.5中編碼器的監(jiān)督位和信息位的關(guān)系如下，當(dāng)輸入序列為b1b2b3b4時(shí)，監(jiān)督位為：</p><

75、p><b>　　(2.43)</b></p><p><b>　　其監(jiān)督關(guān)系式如下：</b></p><p><b>　　(2.44)</b></p><p>　　Si (i=1~6) 稱為校正子，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單線性變換，可以得出如下正交校驗(yàn)方程組：</p><p><b

76、>　　(2.45)</b></p><p>　　只有信息位b1出現(xiàn)在每個(gè)方程中，監(jiān)督位和其他信息位均最多只出現(xiàn)一次。因此，在接收端解碼時(shí)，考察b1 c1至b6 c6等12個(gè)碼元，僅當(dāng)b1出錯(cuò)時(shí)，才可能有3個(gè)或3個(gè)以上方程等于“1”。從而能夠糾正b1的錯(cuò)誤。按照這一原理畫出的此(2,1,6)卷積碼解碼器原理方框圖示于圖2.6中。</p><p>　　由圖2.6可見(jiàn)，當(dāng)信息位

77、出現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)碼時(shí)，僅當(dāng)它位于信息位移存器的第6、3、2和1級(jí)時(shí)，才使校正子等于“1”。因此，這時(shí)的校正子序列為100111；反之，當(dāng)監(jiān)督位出現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)碼時(shí)，校正子序列將為100000。由此可見(jiàn)，當(dāng)校正子序列中出現(xiàn)第一個(gè)“1”時(shí)，表示已經(jīng)檢出一個(gè)錯(cuò)碼。后面的幾位校正子則指出是信息位錯(cuò)了，還是監(jiān)督位錯(cuò)了。門限電路將這4個(gè)電壓(非模2)相加。當(dāng)相加結(jié)果大</p><p>　　于或等于3時(shí)，門限電路輸出“1”，它除了送到輸出

78、端的模2加法器糾正輸出碼元b1的錯(cuò)碼外，還送到校正子移存器糾正其中錯(cuò)誤[19,21]。</p><p>　　圖2.6 (2,1,6)卷積碼解碼器原理方框圖</p><p>　　此卷積碼除了能夠糾正兩位在約束長(zhǎng)度中的隨機(jī)錯(cuò)誤外，還能糾正部分多于兩位的錯(cuò)誤。為了克服突發(fā)錯(cuò)誤，可以采用更長(zhǎng)的約束長(zhǎng)度和在約束長(zhǎng)度中能糾正更多錯(cuò)誤的碼。</p><p><b>　

79、　維特比解碼算法</b></p><p>　　維特比解碼算法是維特比于1967年提出的。這種算法的基本原理是將接收到的信號(hào)序列和所有可能的發(fā)送信號(hào)序列比較，選擇其中漢明距離最小的序列認(rèn)為是當(dāng)前發(fā)送信號(hào)序列。若發(fā)送一個(gè)k位序列，則有2k種可能的發(fā)送序列。當(dāng)K較大時(shí)，存儲(chǔ)量太大，使實(shí)用受到限制。維特比算法對(duì)此作了簡(jiǎn)化，使之能夠?qū)嵱谩?lt;/p><p>　　一種(3,1,3)卷積碼編碼

80、器方框圖如圖2.7。</p><p>　　圖2.7 一種(3,1,3)卷積碼編碼器方框圖</p><p>　　該(3,1,3)卷積碼的狀態(tài)圖如圖2.8。</p><p>　　圖2.8 (3,1,3)卷積碼狀態(tài)圖</p><p>　　設(shè)發(fā)送信息位為：1101，為了使圖2.7中移存器的信息位全部移出，需要在信息位后面加入三個(gè)“0”，故經(jīng)過(guò)編碼

81、后的發(fā)送序列為111 110 010 100 001 011 000，并且假設(shè)接收序列為111 010 010 110 001 011 000，其中第4和第11個(gè)碼元為錯(cuò)碼。由于這是一個(gè)(n,k,N)=(3,1,3)卷積碼，發(fā)送序列的約束度N=3，所以首先需要考察nN=9。</p><p>　　該(3,1,3)卷積碼網(wǎng)格圖如圖2.9。</p><p>　　圖2.9 (3,1,3)卷積碼網(wǎng)

82、格圖</p><p>　　該(3,1,3)卷積碼編碼舉例如圖2.10。</p><p>　　圖2.10 (3,1,3)卷積碼編碼路徑舉例</p><p>　　第一步考察接收序列前9位“111 010 010”。由此碼的網(wǎng)格圖2.10可見(jiàn)，沿路徑每一級(jí)有4種狀態(tài)a,b,c,d。每種狀態(tài)只有兩條路徑可以到達(dá)。故4種狀態(tài)有8條到達(dá)路徑。現(xiàn)在比較網(wǎng)格圖中的這8條路徑和接收

83、序列之間的漢明距離。</p><p>　　例如，由出發(fā)點(diǎn)狀態(tài)a經(jīng)過(guò)三級(jí)路徑后到達(dá)狀態(tài)a的兩條路徑中上面一條為“000 000 000”。它和接收序列“111 010 010”的漢明距離等于5；下面一條為“111 001 011”，它和接收序列的漢明距離等于3。同樣，由出發(fā)點(diǎn)狀態(tài)a經(jīng)過(guò)三級(jí)路徑后到達(dá)狀態(tài)b,c,d的路徑分別都有兩條，故總共有8條路徑。在表2.2中列出了這8條路徑和漢明距離。</p>&

84、lt;p>　　表2.2 維特比算法解碼第一步計(jì)算結(jié)果</p><p>　　該(3,1,3)卷積碼的樹(shù)圖如圖2.11所示。</p><p>　　圖2.11 (3,1,3)卷積碼編碼樹(shù)圖</p><p>　　現(xiàn)在將到達(dá)每個(gè)狀態(tài)的兩條路徑的漢明距離作比較，將距離小的一條路徑保留，稱為幸存路徑。若兩條路徑的漢明距離相同，則可以任意保存一條。這樣就剩下4條路徑了，即表中

85、第2,4,6和8條路徑。</p><p>　　第二步將繼續(xù)考察接收序列中的后繼3位“110”?，F(xiàn)在計(jì)算4條幸存路徑上增加一級(jí)后的8條可能路徑的漢明距離。計(jì)算結(jié)果列于表2.3中。</p><p>　　表2.3 維特比算法解碼第二步計(jì)算結(jié)果</p><p>　　表2.3中最小的總距離等于2，其路徑是abdc+b，相應(yīng)序列為111 110 010 100。它和發(fā)送序列相同

86、，故對(duì)應(yīng)發(fā)送信息位1101。按照表2.3中的幸存路徑畫出的網(wǎng)格圖示于圖2.12中。圖中粗線路徑是漢明距離最小(等于2)的路徑。</p><p>　　圖2.12 對(duì)應(yīng)信息位“1101”的幸存路徑網(wǎng)格圖</p><p>　　為了使輸入的信息位全部通過(guò)編碼器的移存器，使移存器回到初始狀態(tài)，在信息位1101后面加了三個(gè)“0”。若把這三個(gè)“0”仍看作是信息位，則可以按照上述算法繼續(xù)解碼。這樣得到的

87、幸存路徑網(wǎng)格圖示于圖2.13中，圖中的粗線仍然是漢明距離最小的路徑，但是，若已知這三個(gè)碼元是(為結(jié)尾而補(bǔ)充的)“0”。則在解碼計(jì)算時(shí)就預(yù)先知道在接收這三個(gè)“0”碼元后，路徑必然應(yīng)該回到狀態(tài)a。而由圖可見(jiàn)，只有兩條路徑可以回到a狀態(tài)。所以，這時(shí)圖2.13可以簡(jiǎn)化成圖2.14。</p><p>　　圖2.13 對(duì)應(yīng)信息位“1101000”的幸存路徑網(wǎng)格圖</p><p>　　圖2.14 對(duì)

88、應(yīng)信息位“1101”及以“000”結(jié)束的幸存路徑網(wǎng)格圖</p><p><b>　　MATLAB應(yīng)用</b></p><p><b>　　數(shù)和算術(shù)的表示方法</b></p><p>　　Matlab中數(shù)的表示方法和一般的編程語(yǔ)言沒(méi)有區(qū)別。如：</p><p>　　3-990.0001&

89、lt;/p><p>　　9.639721.6021E-206.02252e23</p><p><b>　　數(shù)學(xué)運(yùn)算符有：</b></p><p><b>　　+加</b></p><p><b>　　-減</b></p><p><b

90、>　　*乘</b></p><p><b>　　/右除</b></p><p><b>　　\左除</b></p><p><b>　　^冪</b></p><p>　　這里1/4和4\1有相同的值都等于0.25(注意比較：1\4=4)。只有在

91、矩陣的除法時(shí)左除和右除才有區(qū)別。</p><p><b>　　向量與矩陣運(yùn)算</b></p><p><b>　　通過(guò)語(yǔ)句和函數(shù)產(chǎn)生</b></p><p><b>　　(1) 向量的產(chǎn)生</b></p><p>　　除了直接列出向量元素(即所謂的“窮舉法”)外，最常用的用來(lái)產(chǎn)

92、生相同增量的向量的方法是利用“:”算符(即所謂的“描述法”)。在Matlab中，它是一個(gè)很重要的字符。如：</p><p><b>　　z=1:5 </b></p><p><b>　　z =</b></p><p>　　1 2 3 4 5</p><p>　　即產(chǎn)生

93、一個(gè)1~5的單位增量是1的行向量，此為默認(rèn)情況。</p><p>　　用“:”號(hào)也可以產(chǎn)生單位增量不等于1的行向量，語(yǔ)法是把增量放在起始量和結(jié)尾量的中間。如：</p><p>　　x=0:pi/4:pi </p><p>　　即產(chǎn)生一個(gè)由0~pi的行向量，單位增量是pi/4=3.1416/4=0.7854。</p><p><b>

94、　　x =</b></p><p>　　00.78541.57082.35623.1416</p><p>　　也可以產(chǎn)生單位增量為負(fù)數(shù)的行向量。如：</p><p><b>　　y=6:-1:1</b></p><p><b>　　y =</b></p>&

95、lt;p>　　6 5 4 3 2 1</p><p><b>　　(2) 矩陣的產(chǎn)生</b></p><p>　　Matlab提供了一批產(chǎn)生矩陣的函數(shù)，如表3.1所示。

96、

97、 </p><p><b>　　表3.1 矩陣函數(shù)</b></p><p>　　函數(shù)名 功能 函數(shù)名 功能</p><p>　　除了以上產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)矩陣的函數(shù)外，Matlab還提供了產(chǎn)生隨機(jī)(向量)矩陣的函數(shù)rand和randn，及產(chǎn)生均勻級(jí)數(shù)的函數(shù)linspace、產(chǎn)生對(duì)數(shù)

98、級(jí)數(shù)的函數(shù)logspace和產(chǎn)生網(wǎng)格的函數(shù)meshgrid等等。詳細(xì)使用請(qǐng)查閱隨機(jī)文檔?！?: ”冒號(hào)可以用來(lái)產(chǎn)生簡(jiǎn)易的表格，為了產(chǎn)生縱向表格形式，首先用冒號(hào)“ : ”產(chǎn)生行向量，再進(jìn)行轉(zhuǎn)置，計(jì)算函數(shù)值的列，然后形成有二列的矩陣。</p><p><b>　　矩陣操作</b></p><p>　　在Matlab中可以對(duì)矩陣進(jìn)行任意操作，包括改變它的形式，取出子矩陣，擴(kuò)

99、充矩陣，旋轉(zhuǎn)矩陣等。其中最重要的操作符為“:”， 它的作用是取出選定的行與列。例如：</p><p>　　A(:,:) 代表A的所有元素；</p><p>　　A(:,J) 代表A的第J列；</p><p>　　A(J:K) 代表 A(J)，A(J+1)， …， A(K)，如同A(:)的第J到第K個(gè)元素；</p><p>　　A(:,J:K)

100、 代表A(:,J)，A(:,J+1)， …， A(:,K)。</p><p>　　Matlab中有內(nèi)部函數(shù)fliplr ( Flip matrix in the left/right direction)，它對(duì)矩陣進(jìn)行左右旋轉(zhuǎn)。</p><p><b>　　矩陣的基本運(yùn)算</b></p><p><b>　　矩陣乘法</b>

101、;</p><p>　　矩陣乘法用“ * ”符號(hào)表示，當(dāng)A矩陣列數(shù)與B矩陣的行數(shù)相等時(shí)，二者可以進(jìn)行乘法運(yùn)算，否則是錯(cuò)誤的。計(jì)算方法和線性代數(shù)中所介紹的完全相同。</p><p><b>　　如：</b></p><p>　　A=[1 2 ； 3 4]；B=[5 6 ； 7 8]； C=A*B，</p><p>

102、<b>　　結(jié)果為</b></p><p><b>　　C=×==</b></p><p>　　即Matlab返回：</p><p><b>　　C =</b></p><p><b>　　19 22</b></p><

103、p><b>　　43 50</b></p><p>　　如果A或B是標(biāo)量，則A*B返回標(biāo)量A(或B)乘上矩陣B(或A)的每一個(gè)元素所得的矩陣。</p><p><b>　　矩陣除法</b></p><p>　　在Matlab中有兩種矩陣除法符號(hào)：“＼”即左除和“／”即右除。如果A矩陣是非奇異方陣，則A\B是A的

104、逆矩陣乘B，即inv(A)*B；而B(niǎo)/A是B乘A的逆矩陣，即B*inv(A)。具體計(jì)算時(shí)可不用逆矩陣而直接計(jì)算。</p><p>　　x=A\B就是A*x=B的解；</p><p>　　x=B/A就是x*A=B的解。 </p><p>　　當(dāng)B與A矩陣行數(shù)相等可進(jìn)行左除。如果A是方陣，用高斯消元法分解因數(shù)。解方程：A*x(:, j)=B(:, j)，式中的(:, j

105、)表示B矩陣的第j列，返回的結(jié)果x具有與B矩陣相同的階數(shù)，如果A是奇異矩陣將給出警告信息。</p><p>　　右除B/A可由B/A=(A'\B')'左除來(lái)實(shí)現(xiàn)。</p><p><b>　　Matlab編程</b></p><p><b>　　關(guān)系運(yùn)算</b></p><p&g

106、t;<b>　　比較運(yùn)算</b></p><p>　　比較兩個(gè)同階矩陣有下面六種相關(guān)操作符，如表3.2所示。</p><p>　　表3.2 比較運(yùn)算符</p><p>　　比較兩個(gè)元素的大小，結(jié)果是“1”表明為真，結(jié)果是“0”表明為假。</p><p>　　例如2+2~=4，結(jié)果是“0”，表明為假。</p>

107、<p>　　例如一個(gè)6階魔術(shù)方陣，矩陣元素計(jì)算滿足各種條件：</p><p>　　A=magic(6)</p><p><b>　　ans =</b></p><p>　　35 1 6 26 19 24</p><p>　　3 32 7 21 23

108、 25</p><p>　　31 9 2 22 27 20</p><p>　　8 28 33 17 10 15</p><p>　　30 5 34 12 14 16</p><p>　　4 36 29 13 18

109、 11</p><p>　　階數(shù)為n的魔術(shù)方陣，即n×n矩陣，是由1～n2的整數(shù)組成(n=6)。仔細(xì)觀察這個(gè)矩陣，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)任何行和、任何列和都相等。另外，每個(gè)3×3子行列式的對(duì)角線元素和，都可被3整除。為了顯示這一特性，鍵入：</p><p>　　p=(rem(A,3)==0)</p><p><b>　　p =</b>&

110、lt;/p><p>　　0 0 1 0 0 1</p><p>　　1 0 0 1 0 0</p><p>　　0 1 0 0 1 0</p><p>　　0 0 1 0 0 1</

111、p><p>　　1 0 0 1 0 0</p><p>　　0 1 0 0 1 0</p><p>　　為了再仔細(xì)地觀察這個(gè)模式，可以用format+格式畫出矩陣的壓縮格式。此格式用“+”代表正元素，“-”代表負(fù)元素，空格代表0。</p><p><b>　

112、　format +</b></p><p><b>　　p =</b></p><p><b>　　+ +</b></p><p><b>　　+ + </b></p><p><b>　　+ + </b></p><

113、;p><b>　　+ +</b></p><p><b>　　+ + </b></p><p><b>　　+ +</b></p><p>　　find 函數(shù)在關(guān)系運(yùn)算中很有用，它可以在0-1矩陣中找非零元素的下標(biāo)。</p><p>　　若y是一個(gè)向量，例如：y=

114、[1 3 2 4 3.5 2.9]，則find(y<3.0)，將指出y的分量在哪些位置上小于3.0。</p><p>　　ans = 1 3 6</p><p>　　即：向量y的第1、3、6位置上的元素小于3.0。</p><p>　　當(dāng)輸入x==NaN時(shí)結(jié)果為NaN，因?yàn)榘凑誌EEE算法規(guī)定任何具有NaN的操作，結(jié)

115、果都是NaN。調(diào)試NaN很有用，例如測(cè)試x，輸入isnan(x)函數(shù)，如果x元素是不定值則得1，否則得0。isfinite(x)更有用，如-<x<時(shí)則得1。</p><p><b>　　邏輯運(yùn)算</b></p><p>　　邏輯運(yùn)算共三種：“&”— 與，“|”— 或，“~”— 非。</p><p>　　“＆”和“|”操作符可

116、比較兩個(gè)標(biāo)量或兩個(gè)同階矩陣。對(duì)于矩陣來(lái)說(shuō)必須符合規(guī)則，如果A和B都是0-1矩陣，則A＆B或A|B也都是0-1矩陣，這個(gè)0-1矩陣的元素是A和B對(duì)應(yīng)元素之間邏輯運(yùn)算的結(jié)果，邏輯操作符認(rèn)定任何非零元素都為真，給出“1”，任何零元素都為假，給出“0”。</p><p>　　非(或邏輯非)是一元操作符，即~A：當(dāng)A是非零時(shí)結(jié)果為“0”；當(dāng)A為“0”時(shí)，結(jié)果為“1”。因此下列兩種表示：</p><p&g

117、t;　　p | (~p) 結(jié)果為1。</p><p>　　p ＆ (~p) 結(jié)果為0。</p><p>　　any和all函數(shù)在連接操作時(shí)很有用，設(shè)x是0-1向量，如果x中任意有一元素非零時(shí)，any(x)返回“1”，否則返回“0”；all(x)函數(shù)當(dāng)x的所有元素非零時(shí)，返回“1”，否則也返回“0”。這些函數(shù)在if語(yǔ)句中經(jīng)常被用到。</p>

118、;<p><b>　　控制流</b></p><p>　　Matlab與其它計(jì)算機(jī)語(yǔ)言一樣，也有控制流語(yǔ)句?？刂屏髡Z(yǔ)句可使原本簡(jiǎn)單地在命令行中運(yùn)行的一系列命令或函數(shù)，組合成為一個(gè)整體，程序，從而提高工作效率。</p><p><b>　　for 循環(huán)</b></p><p>　　Matlab與其它計(jì)算機(jī)語(yǔ)言一

119、樣有do或for循環(huán)，完成一個(gè)語(yǔ)句或一組語(yǔ)句在一定時(shí)間內(nèi)反復(fù)運(yùn)行的功能。例如：</p><p>　　for i = 1:n ,</p><p>　　x( i )=0, </p><p><b>　　end</b></p><p>　　x的第一個(gè)元素賦0值，如果n<1，結(jié)構(gòu)上合法，但內(nèi)部語(yǔ)句不運(yùn)行，如果x不存在或比

120、n元素小，額外的空間將會(huì)自動(dòng)分配。</p><p>　　多重循環(huán)寫成鋸齒形是為了增加可讀性。例如：</p><p><b>　　m=9;n=9;</b></p><p>　　for i = 1:m</p><p><b>　　for j=1:n</b></p><p>　　A

121、( i, j ) = 1/( i + j - 1);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　A</b></p><p><b>　　程序的說(shuō)明：</b></p>&

122、lt;p>　　(1)事實(shí)上，上述程序給出了Hilbert矩陣的構(gòu)造過(guò)程，可參見(jiàn)函數(shù)hilb(n)。</p><p>　　(2)語(yǔ)句內(nèi)部使用分號(hào)，表示計(jì)算過(guò)程不輸出中間結(jié)果。</p><p>　　(3)循環(huán)后的A命令表示顯示矩陣A的結(jié)果。</p><p>　　(4)每個(gè)for語(yǔ)句必須以end語(yǔ)句結(jié)束，否則是錯(cuò)誤的。</p><p>　　f