畢業(yè)論文-hermite插值的若干問(wèn)題研究

1、<p><b>　　煙 臺(tái) 大 學(xué)</b></p><p>　　畢 業(yè) 論 文（設(shè) 計(jì)）</p><p>　　Hermite插值的若干問(wèn)題研究</p><p>　　Study of Hermite interpolation problems</p><p>　　申請(qǐng)學(xué)位： 學(xué)士 &l

2、t;/p><p>　　院 系： 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院</p><p>　　專(zhuān) 業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)</p><p>　　姓 名： </p><p>　　學(xué) 號(hào)： 2xxxxxxxx6 </p><p>　　指導(dǎo)老師： xxxx（副教授） <

3、/p><p>　　2013年05月25日</p><p><b>　　完成地點(diǎn)：煙臺(tái)大學(xué)</b></p><p>　　[摘要] 本文主要是具體討論Hermite插值的若干問(wèn)題，主要介紹了二重Hermite插值在具體應(yīng)用中出現(xiàn)的實(shí)際問(wèn)題，并通過(guò)幾個(gè)例子說(shuō)明建立Hermite插值多項(xiàng)式的方法、兩點(diǎn)三次Hermite插值及其余項(xiàng)、Hermite插值公式

4、的相關(guān)問(wèn)題。并編程計(jì)算來(lái)比較幾種方法。通過(guò)推導(dǎo)和證明得知三次Hermite插值已經(jīng)較高，再高可能發(fā)生Runge現(xiàn)象。</p><p>　　關(guān)鍵詞: 二重Hermite插值多項(xiàng)式，唯一性定理，誤差定理</p><p>　　[Abstract] This paper is detailed to discuss some problems of the Hermite interpolatio

5、n, mainly introduced the double Hermite interpolation in the specific application of practical problems, and through several examples establish Hermite interpolation polynomial method, two point three times of Hermite in

6、terpolation and its remainder term, Hermite interpolation formula of the related problems. And the program calculation to compare several methods. By derivation and proof that cubic Hermite inte</p><p>　　Key

7、words: Double Hermite interpolation polynomial, the uniqueness theorem, the theorem of the error</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　1、Hermite插值概述</p><p>　　1.1 Hermite插值定義

8、………………………………………………………….1</p><p>　　1.2 Hermite插值公式的推導(dǎo).......................................2</p><p>　　1.3 幾個(gè)重要的定理……………………………………………………………4</p><p>　　2、兩點(diǎn)三次插值及其余項(xiàng)</p><p>

9、;　　2.1 兩點(diǎn)三次插值 …………………………………………………………….3</p><p>　　2.2 兩點(diǎn)三次插值的余項(xiàng)………………………………………………………4</p><p>　　2.3 三次埃爾米特插值多項(xiàng)式…………………………………………………6</p><p>　　2.4 二重Hermite插值多式……………………………………………………7

10、</p><p>　　3、重節(jié)點(diǎn)插商與Hermmite插值</p><p>　　3.1 重節(jié)點(diǎn)插商……………………………………………………………….10</p><p>　　4、例題及其解答……………………………………………………………………12</p><p>　　5、參考文獻(xiàn)…………………………………………………………………………17&

11、lt;/p><p>　　6、附錄………………………………………………………………………………18</p><p>　　7、謝辭………………………………………………………………………………20</p><p>　　1 Hermite插值概述</p><p>　　Hermite插值的定義</p><p>　　理論背景：許多實(shí)

12、際插值問(wèn)題中，為使插值函數(shù)能更好地和原來(lái)的函數(shù)重合，不但要求二者在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而且還要求相切，對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)也相等。這類(lèi)插值稱(chēng)作切觸插值，或埃爾米特(Hermite)插值。滿(mǎn)足這種要求的插值多項(xiàng)式就是埃爾米特插值多項(xiàng)式。埃爾米特插值是另一類(lèi)插值問(wèn)題，這類(lèi)插值在給定的節(jié)點(diǎn)處，不但要求插值多項(xiàng)式的函數(shù)值與被插函數(shù)的函數(shù)值相同。同時(shí)還要求在節(jié)點(diǎn)處，插值多項(xiàng)式的一階直至指定階的導(dǎo)數(shù)值，也與被插函數(shù)的相應(yīng)階導(dǎo)數(shù)值相等。

13、 Hermite插值在不同的節(jié)點(diǎn)，提出的差值條件個(gè)數(shù)可以不同，若在某節(jié)點(diǎn)xi，要求插值函數(shù)多項(xiàng)式的函數(shù)值，一階導(dǎo)數(shù)值，直至m1-1階導(dǎo)數(shù)值均與被插函數(shù)的函數(shù)值相同及相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值相等。我們稱(chēng)xi為mi重插值點(diǎn)節(jié),因此，Hermite插值應(yīng)給出兩組數(shù)，一組為插值點(diǎn)節(jié)點(diǎn)，另一組為相應(yīng)的重?cái)?shù)標(biāo)號(hào)。若，這就說(shuō)明了給出的插值條件有N+1個(gè)，為了保證插值多項(xiàng)式的存在唯一性，這時(shí)的Hermite插值多項(xiàng)式應(yīng)在上求得，于是可作如下定義：</p>

14、;<p>　　為，上充分光滑函數(shù)，對(duì)給定的插值定節(jié)，及相應(yīng)的重?cái)?shù)標(biāo)號(hào)和時(shí)，若有滿(mǎn)足</p><p>　　則稱(chēng)為關(guān)于節(jié)點(diǎn)及重?cái)?shù)標(biāo)號(hào)的Hermite插值多項(xiàng)式。</p><p>　　Hermite插值公式的推導(dǎo)</p><p>　　1、Hermite插值問(wèn)題</p><p>　　求一個(gè)次數(shù)不大于n+r+1的代數(shù)多項(xiàng)式,滿(mǎn)足：<

15、;/p><p><b>　　------(1)</b></p><p>　　稱(chēng)以上的插值問(wèn)題為Hermite插值問(wèn)題</p><p><b>　　注意：</b></p><p>　　式(1)包含個(gè)條件，所以能夠確定次數(shù)不大于的代數(shù)多項(xiàng)</p><p>　　2、Hermite插值公

16、式的推導(dǎo)(建立Hermite插值多項(xiàng)式的方法)</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　------(2)</b></p><p>　　其中和都是次待定多項(xiàng)式，并且它們滿(mǎn)足一下條件：</p><p><b>　　------(3)</b></p

17、><p>　　------(4) </p><p>　　顯然滿(mǎn)足條件(3),(4)的多項(xiàng)式(2)的次數(shù)不大于次，且滿(mǎn)足插值條件(1)。</p><p>　　1.求解 </p><p>　　由條件(3)知是的二重零點(diǎn) </p><p>　　且由條件(3)知

18、是的零點(diǎn) </p><p>　?。?）當(dāng)時(shí)具有如下形式：</p><p>　　------(5) 其中，是待定系數(shù)</p><p><b>　　由條件（3）知</b></p><p>　　即 </p><p>　　由上述兩式解得： </p>

19、;<p>　　將A,B代入式(5)，得 ------(6)</p><p><b>　　其中，</b></p><p>　?。?）當(dāng)時(shí)，具有如下形式：</p><p><b>　　------(7)</b></p><p><b>　　由條件（3）知</b><

20、;/p><p>　　將C代入式(7)，得</p><p><b>　　------(8)</b></p><p>　　其中， </p><p>　　綜合(1)(2)得到即式(6),(8)</p><p>　　2.求解

21、 </p><p>　　由條件(4)知是的二重零點(diǎn)，且由條件(4)知 </p><p><b>　　是的零點(diǎn)。</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，具有如下形式：</p><p><b>　　-----(9)</b></p>

22、;<p><b>　　由條件（4）知</b></p><p>　　將D代入式(9)，得 -----(10)</p><p>　　其中， </p><p>　　由式(2)(6)(8)(10)所表示的多項(xiàng)式稱(chēng)為Hermite插值多項(xiàng)式其中由式(6)(8)(10)所表示

23、的多項(xiàng)式稱(chēng)為Hermite插值基函數(shù)</p><p>　　Hermite插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為：</p><p>　　1.3幾個(gè)重要的定理</p><p>　　定理 1（誤差定理）</p><p>　　若，則為關(guān)于上節(jié)點(diǎn)的二重Hermite插值多項(xiàng)式誤差為</p><p><b>　　這里</b>&l

24、t;/p><p>　　定理 2（唯一性定理） Hermite插值問(wèn)題式（1）的解H(x) 存在而且唯一</p><p>　　證明：存在性已由上面推導(dǎo)，下證唯一性.反證法，設(shè)插值問(wèn)題式(1)有兩個(gè)不同的解 令，并且其次為次數(shù)不大于的多項(xiàng)式，且滿(mǎn)足</p><p><b>　　于是必含有因式和</b></p><p

25、>　　故的次數(shù)至少為，矛盾。證畢</p><p>　　定理 3（Hermite插值余項(xiàng)定理）Hermite插值公式的余項(xiàng)為</p><p>　　其中， 是插值區(qū)間內(nèi)的某一點(diǎn)</p><p><b>　　證明：引進(jìn)輔助函數(shù)</b></p><p><b>　　由條件（1）知</b></p&

26、gt;<p>　　即有個(gè)單根和r+1個(gè)二重根</p><p>　　由Rolle定理知，</p><p>　　在內(nèi)至少有n+r+2個(gè)零點(diǎn)，至少有n+r+1個(gè)零點(diǎn)</p><p>　　依此類(lèi)推可知：在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)</p><p><b>　　因此</b></p><p>　　即得

27、 </p><p>　　若，則響應(yīng)的Hermite差值多項(xiàng)式為</p><p><b>　　-----(11)</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　余項(xiàng)公式為：</b></p><p&

28、gt;　　特別當(dāng)時(shí)，插值條件為：</p><p>　　由此得三次Hermite插值多項(xiàng)式：</p><p><b>　　-----(12)</b></p><p>　　多項(xiàng)式（12）常用作分段低次插值，稱(chēng)為分段三次Hermite插值</p><p>　　2 兩點(diǎn)三次Hermite插值及其余項(xiàng)</p>&l

29、t;p>　　2.1 兩點(diǎn)三次Hermite插值</p><p>　　先考慮只有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值問(wèn)題：</p><p>　　設(shè)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為，在節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值為，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)最高可以用3次Hermite多項(xiàng)式，作為插值函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足插值條件：</p><p>　　應(yīng)用四個(gè)插值基函數(shù)表示，設(shè)的插值基函數(shù)為</p><p>　　希望插值系數(shù)與L

30、agrange插值一樣簡(jiǎn)單重新假設(shè)</p><p><b>　　其中</b></p><p>　　可知 是的二重零點(diǎn)，即可假設(shè)</p><p>　　由 </p><p>　　可得 </p><p>

31、　　………. Lagrange插值基函數(shù)</p><p>　　即 </p><p>　　類(lèi)似可得 </p><p><b>　　將以上結(jié)果代入</b></p><p>　　得兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次Hermite插值公式</p><p>　　2.2兩點(diǎn)三次He

32、rmite插值的余項(xiàng)</p><p>　　兩點(diǎn)三次Hermite插值的誤差為</p><p>　　均為的二重零點(diǎn)，因此可設(shè)：</p><p><b>　　其中待定</b></p><p>　　構(gòu)造輔助函數(shù) </p><p>　　均是二重根

33、 </p><p><b>　　因此至少有5個(gè)零點(diǎn)</b></p><p>　　連續(xù)使用4次Rolle定理，可得，至少存在一點(diǎn)，使得 </p><p><b>　　即</b></p><p>　　所以,兩點(diǎn)三次Hermite插值的余項(xiàng)為</p>

34、<p>　　以上分析都能成立嗎？</p><p>　　當(dāng)在上存在時(shí)，上述余項(xiàng)公式成立</p><p>　　三次埃爾米特插值多項(xiàng)式</p><p>　　設(shè)是區(qū)間[a, b]上的實(shí)函數(shù), 是[a, b]上相異兩點(diǎn), 且 x0＜x1, </p><p>　　在xi上的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)值分別為和, 求三次多項(xiàng)式, 使其滿(mǎn)足：</p&g

35、t;<p>　　稱(chēng)為三次埃爾米特插值多項(xiàng)式。</p><p><b>　　誤差估計(jì)</b></p><p>　　定理4 設(shè)f(x)在包含x0、x1的區(qū)間[a,b]內(nèi)存在四階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x∈[a,b]時(shí)有余項(xiàng)</p><p><b>　?。ㄇ遗cx有關(guān)） </b></p><p>&

36、lt;b>　　設(shè) 則當(dāng)時(shí),</b></p><p>　　余項(xiàng)有如下估計(jì)式（誤差限） </p><p>　　二重Hermite插值多項(xiàng)式</p><p>　　常用的Hermite插值為mi=2 的情況，即給定的插值節(jié)點(diǎn)均為二重節(jié)點(diǎn)，更具體些 ，及插值節(jié)點(diǎn)，若有 滿(mǎn)足</p><p>　　，就稱(chēng)為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的

37、二重Hermite插值多項(xiàng)式。</p><p>　　上存在且連續(xù)時(shí)，上述余項(xiàng)公式成立</p><p>　　Hermite插值優(yōu)點(diǎn)：</p><p>　　分段線(xiàn)性插值的算法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，然而從整體上看，逼近函數(shù)不夠光滑，在節(jié)點(diǎn)處，逼近函數(shù)的左右導(dǎo)數(shù)不相等。</p><p>　　Hermite插值的逼近函數(shù)與被逼近函數(shù)不僅在插值節(jié)點(diǎn)上取相同的函

38、數(shù)值，而且逼近函數(shù)與被逼近函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)上去相同的若干階導(dǎo)數(shù)值。</p><p>　　Hermite插值法結(jié)合了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，使得插值的精度更為提高。</p><p>　　Hermite插值具有少節(jié)點(diǎn)得到高次插值多項(xiàng)式的特點(diǎn)</p><p>　　Hermite插值插值多項(xiàng)式靈活多樣</p><p>　　Hermite插值在節(jié)點(diǎn)一定的條件下，可

39、以多種構(gòu)造插值條件</p><p>　　3 重節(jié)點(diǎn)插商與Hermite插值</p><p><b>　　4 例題及解答</b></p><p>　　例題 1 （兩點(diǎn)三次插值多項(xiàng)式） 已知在節(jié)點(diǎn)1,2處的函數(shù)值為 ，在節(jié)點(diǎn)1,2處的導(dǎo)數(shù)值為</p><p>　　求的兩點(diǎn)三次插值多項(xiàng)式，及在處的函數(shù)值</p>

40、<p><b>　　解：</b></p><p>　　作為多項(xiàng)式插值,三次已是較高的次數(shù)，次數(shù)再高就有可能發(fā)生Runge現(xiàn)象,因此，對(duì)有n+1</p><p>　　節(jié)點(diǎn)的插值問(wèn)題，我們可以使用分段兩點(diǎn)三次Hermite插值</p><p>　　例2 （誤差估計(jì)）已知及其一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)據(jù)見(jiàn)下表,用埃爾米特插值公式計(jì)算的近似值,并估計(jì)其截?cái)?/p>

41、誤差.</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　得</b></p><p>　　由 </p><p><b>　　可求得 </b></p><p><b>　　5 參考文獻(xiàn)

42、</b></p><p>　　[1] 蔣爾雄、趙風(fēng)光、蘇仰峰, 數(shù)值逼近(第二版),，復(fù)旦大學(xué)出版社, 2008.</p><p>　　[2] 陳傳璋、金福臨、朱學(xué)炎、歐陽(yáng)光中,，數(shù)學(xué)分析(上、下冊(cè)), 高等教育出版社出版, 1983.</p><p>　　[3] 徐樹(shù)方、高立、張平方, 數(shù)值線(xiàn)性代數(shù)， 北京大學(xué)出版社, 2000.</p&g

43、t;<p>　　[4] 蕭樹(shù)鐵、姜啟源、張立平、何青、高立,，大學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn), 高等教育出版社, 2006.</p><p>　　[5] 張德豐,，Matlab數(shù)值分析與應(yīng)用,，國(guó)防工業(yè)出版社, 2007.</p><p>　　[6] 周品、何正風(fēng)， Matlab數(shù)值分析,，機(jī)械工業(yè)出版社, 2009.</p><p>　　[7] 韓丹夫、吳慶

44、標(biāo)，數(shù)值計(jì)算方法，浙江大學(xué)出版社，2006.6.</p><p>　　[8] 歐陽(yáng)潔，數(shù)值分析，高等教育出版社</p><p><b>　　6 附錄</b></p><p><b>　　7 致謝</b></p><p>　　四年的努力學(xué)習(xí)，三個(gè)月的精心準(zhǔn)備，畢業(yè)論文終于到了劃句號(hào)的時(shí)候，在此之

45、際，我首先要向在論文協(xié)作中給予我悉心關(guān)懷、鼓勵(lì)和指導(dǎo)的陳傳軍老師致以深深的敬意和謝意。在大學(xué)期間陳老師教授過(guò)我《數(shù)值逼近》和《微分方程數(shù)值解法》兩門(mén)課程，共四個(gè)學(xué)期。無(wú)論是在授課指導(dǎo)我寫(xiě)論文過(guò)程中，陳老師教學(xué)態(tài)度認(rèn)真，為人和藹可親，在設(shè)計(jì)思想方面，更有著獨(dú)特的見(jiàn)解，給我的設(shè)計(jì)注入了許多專(zhuān)業(yè)的思想，激發(fā)了我的靈感。這些都使我受益匪淺，并終身難忘。十分慶幸在即將離開(kāi)煙臺(tái)大學(xué)之際，又能跟隨陳老師學(xué)習(xí)。畢業(yè)設(shè)計(jì)和畢業(yè)論文寫(xiě)作的經(jīng)歷和收獲，值得一

46、生回味。</p><p>　　同時(shí)，我還要感謝煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院的曾經(jīng)給我授課的各位老師，這是他們的傳道、授業(yè)、解惑，讓我學(xué)到了專(zhuān)業(yè)知識(shí)，為這次畢業(yè)設(shè)計(jì)和畢業(yè)論文的完成打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，并且我從他們身上學(xué)到了如何求知治學(xué)、如何為人處世。各位老師對(duì)我的教育和影響，將使我終身受益。</p><p>　　我還要感謝同學(xué)和朋友的關(guān)心和幫助，煙臺(tái)大學(xué)對(duì)我多年的培養(yǎng)，這些都是我這次完成畢業(yè)設(shè)計(jì)

47、和畢業(yè)論文的不可或缺的因素。</p><p>　　謹(jǐn)向我的父母和家人表示誠(chéng)摯的謝意，使他們不變的支持、無(wú)微不至的關(guān)懷，促使了我的前進(jìn)。沒(méi)有他們就沒(méi)有我，我的點(diǎn)滴成就來(lái)自于他們。</p><p>　　我知道，這篇論文還存在缺點(diǎn)和不足之處，但是它是一個(gè)起點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，我會(huì)更加努力，在以后的研究生學(xué)習(xí)中，不斷提高自己。由于涉及知識(shí)范圍廣且本人水平有限，本文不免有錯(cuò)漏和不妥之處，望大家批評(píng)指正，

48、不吝賜教</p><p>　　最后，衷心感謝在百忙之中評(píng)閱論文的各位老師、專(zhuān)家、教授！</p><p>　　煙臺(tái)大學(xué)畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì))評(píng)審表（指導(dǎo)教師用）</p><p>　　煙臺(tái)大學(xué)畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))評(píng)審表(評(píng)閱人用)</p><p>　　Hermite插值的若干問(wèn)題研究</p><p>　　姓 名： xxx

49、</p><p>　　導(dǎo) 師： 陳xx </p><p>　　2013年05月25 日</p><p><b>　　完成地點(diǎn)：煙臺(tái)大學(xué)</b></p><p>　　煙臺(tái)大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)書(shū) </p><p>　　院（系）：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院</p><p

50、>　　您好，為你提供優(yōu)秀的畢業(yè)論文參考資料，請(qǐng)您刪除以下內(nèi)容，O(∩_∩)O謝謝！??！A large group of tea merchants on camels and horses from Northwest China's Shaanxi province pass through a stop on the ancient Silk Road, Gansu's Zhangye city during

51、their journey to Kazakhstan, May 5, 2015. The caravan, consisting of more than 100 camels, three horse-drawn carriages and four support vehicles, started the trip from Jingyang county in Shaanxi on Sept 19, 2014. It will