考察非線性方程求根的試位法課程設(shè)計

1、<p>　　《數(shù)值分析》課程設(shè)計</p><p>　　題 目 考察非線性方程求根的試位法 </p><p>　　學(xué) 生 </p><p>　　指導(dǎo)教師 </p><p>　　課 程 設(shè) 計 任 務(wù) 書</p

2、><p>　　數(shù)理 系 數(shù)學(xué)0701 班 學(xué)生 王宇 秦海霞 樸日華 </p><p><b>　　課程設(shè)計課題：</b></p><p>　　考察非線性方程求根的試位法</p><p>　　一、課程設(shè)計工作日自 2009 年 6 月 22 日至 20

3、09 年 6 月 28 日</p><p>　　二、同組學(xué)生： 王宇 秦海霞 樸日華 </p><p>　　三、課程設(shè)計任務(wù)要求（包括課題來源、類型、目的和意義、基本要求、完成時間、主要參考資料等）：</p><p><b>　　【來源與意義】</b&

4、gt;</p><p>　　本課題來源于教材第七章非線性方程求根，目的是通過實例，考察非線性方程求根的試位法及其收斂速度。另一方面重在考查學(xué)生對用計算機(jī)與Matlab解決實際問題的能力。</p><p><b>　　【基本要求】</b></p><p>　　要求自編程序；掌握編程思想，學(xué)會一門編程語言；報告要有較強(qiáng)的理論分析；有較強(qiáng)說服力的數(shù)據(jù)

5、表或圖像；對結(jié)果進(jìn)行分析；給出相應(yīng)結(jié)論；鼓勵創(chuàng)新；</p><p><b>　　【參考資料】</b></p><p>　　數(shù)值分析，李慶揚(yáng)，王能超，易大義，2001，清華大學(xué)出版社（第四版）。</p><p>　　數(shù)值方法，關(guān)治，陸金甫，2006，清華大學(xué)出版社。</p><p>　　數(shù)值分析與實驗學(xué)習(xí)指導(dǎo)，蔡大用，20

6、01，清華大學(xué)出版社。</p><p>　　數(shù)值分析與實驗，薛毅，2005，北京工業(yè)大學(xué)出版社.</p><p>　　指導(dǎo)教師簽字： 教研室主任簽字： </p><p><b>　　天津工程師范學(xué)院</b></p><p>　　課 程 設(shè) 計 評 審 表</p><

7、p>　　數(shù)理 系 數(shù)學(xué)0701 班 學(xué)生 王宇 秦海霞 樸日華 </p><p><b>　　一、問題提出</b></p><p>　　討論單變量非線性方程 (1.1)的求根問題,這里. 在科學(xué)與工程計算中有大量方程求根問題,其中一類特殊的問題是多項式方程 (1.2) 其中系數(shù)為實數(shù).&l

8、t;/p><p>　　當(dāng)為代數(shù)多項式 (1.2) 時,根據(jù)代數(shù)基本定理可知, 次方程在復(fù)數(shù)域有且只有 個根(含復(fù)根,重根為個根)，=1,2 時方程的根是大家熟悉的, 時雖有求根公式但比較復(fù)雜,可在數(shù)學(xué)手冊中查到,但已不適合于數(shù)值計算,而 時就不能用公式表示方程的根.因此，通常對 的多項式方程求根與一般連續(xù)函數(shù)方程（1.1）一樣都采用迭代法求根。這里介紹試位法，并應(yīng)用此方法求解下述問題：</p>

9、<p>　　一個半徑為，密度為的木質(zhì)球體投入水中，問球浸入水中部分的深度等于多少？，使用二分法求解，使得誤差小于，要求有數(shù)據(jù)表，與二分法比較收斂速度。</p><p>　　【要求】自編程序，報告有數(shù)據(jù)表、分析、結(jié)論。</p><p><b>　　二、理論基礎(chǔ)</b></p><p>　　若且，根據(jù)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)可知在內(nèi)至少有一個實根，這

10、時稱為方程（1.1）的有根區(qū)間。</p><p>　　試位法對有根區(qū)間進(jìn)行考察，連接，兩點(diǎn)，與x軸交于,假設(shè)不是的零點(diǎn)，然后進(jìn)行根的搜索，即檢查與是否同號，如果確系同號，說明所求的根在的右側(cè)，這時令；否則必在的左側(cè)，這時令，以下以在的左側(cè)為例對試位法的求根過程進(jìn)行說明。</p><p>　　對壓縮了的有根區(qū)間又可實施同樣的手續(xù)，即連接與，交x軸于，令，從而又得到一個新的有根區(qū)間。</

11、p><p>　　如此反復(fù)進(jìn)行下去，即可得到一系列有根區(qū)間</p><p>　　其中每個區(qū)間的長度都比前一個要小，當(dāng)時，必收縮于一點(diǎn)，該點(diǎn)顯然就是所求的根。</p><p>　　在實施試位法過程中，連接與，把此直線與x軸的交點(diǎn)作為根的近似值，則可獲得一個近似根的序列該序列必以根為極限。</p><p>　　不過在實際計算中，我們不可能完成這個極限過

12、程，其實也沒有這種必要，因為數(shù)值分析的結(jié)果允許帶有一定的誤差，只要滿足即可，為預(yù)設(shè)精度。</p><p><b>　　三、實驗內(nèi)容</b></p><p>　　先確定有根區(qū)間，可通過使用Matlab中自帶的畫圖語句，得到圖形，觀察發(fā)現(xiàn)有3個根，以尋找內(nèi)的根為例。根據(jù)題意，找到的解，編寫程序，以“與的誤差小于”為終止語句，列出以下數(shù)據(jù)表1：</p><

13、;p>　　我們知道二分法中，只需保證</p><p>　　，從中解得k＝17，即要迭代17次，見表2：</p><p><b>　　四、結(jié)果分析</b></p><p>　　對于表1，由于程序中給了終止語句，所以達(dá)到要求后程序自動終止，k為迭代次數(shù)，為相應(yīng)迭代次數(shù)下的自變量的值。上例中如果采用試位法解決需要迭代3次，但如果采用二分法解決該

14、問題則需迭代17次。所以說一般情況下，試位法的迭代速度比二分法要快。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　1.數(shù)值分析，李慶揚(yáng)，王能超，易大義，2001，清華大學(xué)出版社（第四版）。</p><p>　　2.數(shù)值方法，關(guān)治，陸金甫，2006，清華大學(xué)出版社。</p><p>　　3.數(shù)值分析與

15、實驗學(xué)習(xí)指導(dǎo)，蔡大用，2001，清華大學(xué)出版社。</p><p>　　4.數(shù)值分析與實驗，薛毅，2005，北京工業(yè)大學(xué)出版社.</p><p><b>　　附錄</b></p><p>　　1.建立函數(shù)function y=f(x)</p><p>　　y=x^3-15*x^2+319; 命名為f.m</p>

16、;<p>　　>>format long</p><p>　　>>fzero('f',5) 得其零點(diǎn)為 5.93075075406021。</p><p>　　2.求函數(shù)f在[5,6]上的近似根的程序：</p><p><b>　　a=5;</b></p><p>&

17、lt;b>　　b=6;</b></p><p>　　format long</p><p>　　d=5.93075075406021;</p><p><b>　　i=1;</b></p><p>　　x(i)=b+((a-b)*f(b))/(f(b)-f(a));</p><p&g

18、t;　　if f(x(i))*f(a)>0</p><p><b>　　a=x(i);</b></p><p><b>　　else</b></p><p><b>　　b=x(i);</b></p><p><b>　　end</b></p&

19、gt;<p>　　while x(i)-d>0.5e-5</p><p><b>　　i=i+1;</b></p><p>　　x(i)=b+((a-b)*f(b))/(f(b)-f(a));</p><p><b>　　b=x(i);</b></p><p><b>