雙曲線知識(shí)點(diǎn)題型總結(jié)精華

1、<p><b>　　雙曲線知識(shí)點(diǎn)</b></p><p><b>　　1 雙曲線定義：</b></p><p>　?、俚絻蓚€(gè)定點(diǎn)F1與F2的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)（＜|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡（（為常數(shù)））這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)．</p><p>　　要注意兩點(diǎn)：（1）距離之差的絕對(duì)值.（2）2a＜|F1F2|

2、，這兩點(diǎn)與橢圓的定義有本質(zhì)的不同.</p><p>　　當(dāng)|MF1|－|MF2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對(duì)應(yīng)的一支；</p><p>　　當(dāng)|MF1|－|MF2|=－2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F1所對(duì)應(yīng)的一支；</p><p>　　當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，軌跡是一直線上以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線；</p><p>　　當(dāng)2a＞|F1F

3、2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.</p><p>　?、趧?dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e(e＞1)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線l叫做雙曲線的準(zhǔn)線</p><p>　　2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：和（a＞0，b＞0）.這里，其中||=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.</p><p>　　3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

4、方程判別方法是：如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上.對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過(guò)比較分母的大小來(lái)判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.</p><p>　　4.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題：⑴ 正確判斷焦點(diǎn)的位置；⑵ 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.</p><p>　　5.曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)</p><p>

5、;　?。?1（a＞0，b＞0）</p><p>　?、欧秶簗x|≥a，y∈R</p><p>　?、茖?duì)稱性：關(guān)于x、y軸均對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱</p><p>　?、琼旤c(diǎn)：軸端點(diǎn)A1（－a，0），A2（a，0）</p><p><b>　　⑷漸近線：</b></p><p>　?、偃綦p曲線方程

6、為漸近線方程</p><p>　?、谌魸u近線方程為雙曲線可設(shè)為</p><p>　?、廴綦p曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）</p><p>　?、芴貏e地當(dāng)離心率兩漸近線互相垂直，分別為y=，此時(shí)雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為；y=x，y=－x</p><p>　?、蓽?zhǔn)線：l1：x=－，l2：x=，兩準(zhǔn)線之距為</

7、p><p>　　⑹焦半徑：，（點(diǎn)P在雙曲線的右支上）；</p><p>　　，（點(diǎn)P在雙曲線的右支上）；</p><p>　　當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程及相應(yīng)性質(zhì)（略）</p><p>　　⑺與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是</p><p>　?、膛c雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是</p><p>&l

8、t;b>　　6曲線的內(nèi)外部</b></p><p>　　(1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部.</p><p>　　(2)點(diǎn)在雙曲線的外部.</p><p>　　7曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系</p><p>　　(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.</p><p>　　(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.</p

9、><p>　　(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）.</p><p><b>　　8雙曲線的切線方程</b></p><p>　　(1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是.</p><p>　?。?）過(guò)雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.</p><p>　　（3）雙曲線

10、與直線相切的條件是.</p><p>　　9線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式 </p><p>　　若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB， A、B兩點(diǎn)分別為A(x1，y1)、B(x2,y2)，則弦長(zhǎng) </p><p>　　,這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想；</p><p><b>　　高考題型解析</b></

11、p><p>　　題型一：雙曲線定義問(wèn)題</p><p>　　1.“ab<0”是“曲線ax2+by2=1為雙曲線”的( )</p><p>　　A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件</p><p>　　2.若，則“”是“方程表示雙曲線”的( )</p><p&

12、gt;　　A.充分不必要條件. B.必要不充分條件. C.充要條件. D.既不充分也不必要條件.</p><p>　　3.給出問(wèn)題：F1、F2是雙曲線－=1的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上.若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于9，求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離.某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.</p><p>　　該學(xué)生的

13、解答是否正確？若正確，請(qǐng)將他的解題依據(jù)填在下面橫線上；若不正確，將正確結(jié)果填在下面橫線上. _________.</p><p>　　4.過(guò)雙曲線x2-y2=8的左焦點(diǎn)F1有一條弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點(diǎn)，則△PF2Q的周長(zhǎng)是 .</p><p>　　題型二：雙曲線的漸近線問(wèn)題</p><p>　　1.雙曲線－=1的漸近線方

14、程是( )</p><p>　　A. y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x</p><p>　　2.過(guò)點(diǎn)（2，－2）且與雙曲線－y2=1有公共漸近線的雙曲線方程是( )</p><p>　　A.－=1 B.－=1 C.－=1

15、 D.－=1</p><p>　　題型三：雙曲線的離心率問(wèn)題</p><p>　　1已知雙曲線 (a＞0,b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且∣PF1∣=4∣PF2∣,則此雙曲線的離心率e的最大值為 （ ）</p><p>　　A．B．C．２D．</p><p>　　2.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),

16、過(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn),若是正三角形,那么雙曲線的離心率為 ( )</p><p>　　A. B. C. 2 D. 3</p><p>　　3.過(guò)雙曲線M:的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是 ( )

17、</p><p>　　A. B. C. D. </p><p>　　4.在給定雙曲線中，過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該雙曲線的離心率為( )</p><p>　　A. B. 2 C . D.

18、2</p><p>　　5..已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是</p><p>　　A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞)</p><p>　　題型四：雙曲線的

19、距離問(wèn)題</p><p>　　1.設(shè)P是雙曲線－=1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x－2y=0，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).若|PF1|=3，則|PF2|等于( )</p><p>　　A.1或5 B.6 C.7 D.9</p><p>　　2.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲

20、線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此直線斜率的取值范圍是</p><p>　　A.(,) B. (-,) C.[ ,] D. [-,]</p><p>　　3.已知圓C過(guò)雙曲線－=1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是____________.</p><p><b>　　題型五：軌跡問(wèn)

21、題</b></p><p>　　1.已知橢圓x2+2y2 =8的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，A為橢圓上任一點(diǎn)。AP是⊿AF1F2的外角平分線，且 =0.則點(diǎn)P的軌跡方程是 . </p><p>　　2.雙曲線x2－y2 =4的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，A為雙曲線上任一點(diǎn)。AP是∠F1AF2的平分線，且 =0.則點(diǎn)P的軌跡是　　　　?。?/p>

22、　?。?lt;/p><p>　　A.橢圓的一部分　 B.雙曲線的一部分 C.圓的一部分　 D.拋物線的一部分 </p><p>　　3求與圓及都外切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程</p><p><b>　　高考例題解析</b></p><p>　　1.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),P、Q為右支上的兩點(diǎn),直線PQ

23、過(guò),且傾斜角為,則的值為 ( )</p><p>　　A B 8 C D 隨的大小變化</p><p>　　答案: A解析: 用雙曲線定義列方程可解</p><p>　　2.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交曲線于A、B兩點(diǎn),若則這樣的直線存在 ( )</p><p>　　A 0條

24、 B 1條 C 2條 D 3條</p><p>　　答案: D解析: x軸時(shí)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)AB=4最短為通徑,故交右半支弦長(zhǎng)為4的直線恰有一條;過(guò)右焦點(diǎn)交左右兩支的符合要求的直線有兩條</p><p>　　3. 直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ( )</p><p>　　A 0個(gè) B 1個(gè) C 2個(gè)

25、 D 3個(gè)</p><p>　　答案: D解析: (0, 5)點(diǎn)為完整雙曲線和橢圓的極值點(diǎn),故y=5為其切線,當(dāng)直線斜率不為0時(shí),直線必與每個(gè)曲線交于兩點(diǎn)</p><p>　　4. P為雙曲線上一點(diǎn),為一個(gè)焦點(diǎn),以為直徑的圓與圓的位置關(guān)系為 ( )</p><p>　　A 內(nèi)切 B 外切 C 內(nèi)切或外切 D 無(wú)公共

26、點(diǎn)或相交</p><p>　　答案: C解析: 用兩圓內(nèi)切或外切的條件判斷</p><p>　　5. 設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上且滿足,則的面積為 ( )</p><p>　　A 1 B C 2 D </p><p>　　答案: A解析: 勾股定理,雙曲線定義聯(lián)立方程組

27、h或面積公式</p><p>　　6. 設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn),P在雙曲線上,當(dāng)?shù)拿娣e為1時(shí),的值為( )</p><p>　　A 0 B 1 C D 2</p><p>　　答案: A 解析: 不妨設(shè)由, , ,</p><p>　　7.過(guò)點(diǎn)A（0，2）可以作___條直線與雙曲線x2－＝

28、1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)</p><p>　　答案：4 解析：數(shù)形結(jié)合，兩切線、兩交線</p><p>　　過(guò)點(diǎn)P(4,4)且與雙曲線－＝1只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有 (　　)</p><p>　　A．1條 B．2條 C．3條 D．4條</p><p>　　解析：如圖所示，滿

29、足條件的直線共有3條．</p><p><b>　　答案：C</b></p><p>　　8.已知A（3，2），M是雙曲線H：上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)2是H的右焦點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)M的坐標(biāo)。</p><p><b>　　解：由，則 </b></p><p><b>　　此時(shí)M的坐標(biāo)（）</b&

30、gt;</p><p>　　9. 已知雙曲線C：，一條長(zhǎng)為8的弦AB兩端在C上運(yùn)動(dòng)，AB中點(diǎn)為M，則距軸最近的M點(diǎn)的坐標(biāo)為 。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　又，則</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”，由逆徑，故可取“=”<

31、/p><p><b>　　又由</b></p><p><b>　　即故M（）</b></p><p>　　10.P為雙曲線x2－＝1右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則|PM|－|PN|的最大值為_(kāi)_______．</p><p>　　解析：雙曲線的兩個(gè)焦

32、點(diǎn)為F1(－4,0)、F2(4,0)，為兩個(gè)圓的圓心，半徑分別為r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值為(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.答案：5</p><p>　　.直線：與雙曲線C：的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B。</p><p>　　（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；</p>

33、;<p>　?。á颍┦欠翊嬖趯?shí)數(shù)，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出的值。若不存在，說(shuō)明理由。</p><p><b>　　解：（Ⅰ）將直線</b></p><p><b>　　……①</b></p><p>　　依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，故</p>

34、<p>　?。á颍┰O(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則由①式得</p><p><b>　　……②</b></p><p>　　假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F（c,0）.</p><p><b>　　則由FA⊥FB得：</b></p><p><b>　

35、　整理得</b></p><p><b>　　……③</b></p><p>　　把②式及代入③式化簡(jiǎn)得</p><p><b>　　解得</b></p><p>　　可知使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn).</p><p>　?。ㄋ拇ň恚?.已知兩定點(diǎn)

36、滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線ｙ＝kx－1與曲線E交于A、B兩點(diǎn)。</p><p>　　（Ⅰ）求ｋ的取值范圍；</p><p>　?。á颍┤绻仪€E上存在點(diǎn)C，使求。</p><p>　　本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問(wèn)題的能力。滿分14分。</p><p>

37、;　　解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，</p><p><b>　　且，易知</b></p><p><b>　　故曲線的方程為</b></p><p>　　設(shè)，由題意建立方程組</p><p><b>　　消去，得</b></p>&

38、lt;p>　　又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有</p><p><b>　　解得</b></p><p><b>　　∵ </b></p><p><b>　　依題意得 </b></p><p><b>　　整理后得</b></p>

39、<p><b>　　∴或</b></p><p><b>　　但 ∴</b></p><p><b>　　故直線的方程為</b></p><p><b>　　設(shè)，由已知，得</b></p><p><b>　　∴，</b>

40、;</p><p><b>　　又，</b></p><p><b>　　∴點(diǎn)</b></p><p>　　將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得得，</p><p>　　但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意</p><p><b>　　∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為</b>

41、;</p><p><b>　　到的距離為</b></p><p><b>　　∴的面積</b></p><p><b>　　練習(xí)題</b></p><p>　　1.已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F(，0)，直線y=x－1與其相交于M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣，則此雙曲線

42、的方程是（ ）</p><p>　　A．=1 B． =1 C．=1 D．=1</p><p>　　2.雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，∠F1MF2=120°，則雙曲線的離心率為（ ）</p><p>　　A. B. C. D.</p><p>　　3、已知雙曲線＝1（a＞

43、0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)A，△OAF的面積為（O為原點(diǎn)），則兩條漸近線的夾角為（ ）</p><p>　　A．30º　　B．45º　　C．60º　　D．90º</p><p>　　4、已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，P是此雙曲線上的一點(diǎn)，且，，則該雙曲線的方程是</p><p>　　A． B

44、． C． D．</p><p>　　5、已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）</p><p>　　A．B．C．D．</p><p>　　6. 直線y＝x＋3與曲線=1的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）</p><p>　?。ˋ）0個(gè) （B）

45、1個(gè) （C）2個(gè) （D）3個(gè)</p><p>　　7.若雙曲線x2－y2=1右支上一點(diǎn)P(a, b)到直線y=x的距離是，則a＋b的值為（ ）。</p><p>　?。ˋ）－ （B） （C）－或 （D）2或－2</p><p>　　8.已知點(diǎn)F是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交

46、于A、B兩點(diǎn)，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　)</p><p>　　A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(1,1＋) D．(2,1＋)</p><p>　　9.設(shè)P為雙曲線－y2＝1上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是．</p><p>　　10.

47、求與圓A：（x+5）2+y2=49和圓B：（x－5）2+y2=1都外切的圓的圓心P的軌跡方程為_(kāi)_______________</p><p>　　11.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為</p><p>　?。?）求雙曲線C的方程；</p><p>　?。?）若直線與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且（其中O為原點(diǎn)）. 求k的取值范圍.<