圓錐曲線光學性質的證明及應用初探

1、<p>　　圓錐曲線光學性質的證明及應用初探</p><p>　　———源于課本一份《閱讀材料》的探究反思</p><p>　　內蒙古巴彥淖爾市奮斗中學：王玨 指導教師：張紅</p><p>　　學習完圓錐曲線的方程和性質后，課本上有一則閱讀材料引起了同學們的興趣，在老師的指導下，我們不僅了解了圓錐曲線的光學性質這一常見現象，而且進一步對它進行了證

2、明和探究，并對它在 數學解題和生產科技等方面的應用有了一定的認識。課后我經過反思與整理，寫成此文。</p><p><b>　　圓錐曲線的光學性質</b></p><p>　　1．1橢圓的光學性質： 從橢圓一個焦點發(fā)出的光，經過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上； (見圖1.1)</p><p>　　橢圓的這種光學特性，常被用來設

3、計一些照明設備或聚熱裝置．例如在F1處放置一個熱源，那么紅外線也能聚焦于F2處，對F2處的物體加熱．</p><p>　　1．2雙曲線的光學性質 ：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上；(見圖1.2)．</p><p>　　雙曲線這種反向虛聚焦性質，在天文望遠鏡的設計等方面，也能找到實際應用．</p><p>

4、;　　1．3 拋物線的光學性質 ： 從拋物線的焦點發(fā)出的光，經過拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的軸（如圖1.3）</p><p>　　拋物線這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇．例如探照燈、汽車大燈等反射鏡面的縱剖線是拋物線，把光源置于它的焦點處，經鏡面反射后能成為平行光束，使照射距離加大，并可通過轉動拋物線的對稱軸方向，控制照射方向．衛(wèi)星通訊像碗一樣接收或發(fā)射天線，一般也是以拋物線繞對稱

5、軸旋轉得到的，把接收器置于其焦點，拋物線的對稱軸跟蹤對準衛(wèi)星，這樣可以把衛(wèi)星發(fā)射的微弱電磁波訊號射線，最大限度地集中到接收器上，保證接收效果；反之，把發(fā)射裝置安裝在焦點，把對稱軸跟蹤對準衛(wèi)星，則可以使發(fā)射的電磁波訊號射線能平行地到達衛(wèi)星的接收裝置，同樣保證接收效果．最常見的太陽能熱水器，它也是以拋物線鏡面聚集太陽光，以加熱焦點處的貯水器的．</p><p>　　要探究圓錐曲線的光學性質，首先必須將這樣一個光學實際

6、問題，轉化為數學問題，進行解釋論證。</p><p><b>　　二、問題轉化及證明</b></p><p>　　2．1圓錐曲線的切線與法線的定義</p><p>　　設直線與曲線交于，兩點，當直線連續(xù)變動時，，兩點沿著曲線漸漸靠近，一直到，重合為一點,此時直線稱為曲線在點處的切線，過與直線垂直的直線稱為曲線在點處的法線。</p>

7、<p>　　此時，我們可以借助圓錐曲線的切線和法線，對這一問題進行轉化：</p><p>　　2.2圓錐曲線光學性質的證明</p><p>　　預備定理 1.若點是橢圓上任一點，則橢圓過該點的切線方程為：。</p><p><b>　　證明：由……①</b></p><p>　　1°當時，過點的切

8、線斜率一定存在，且</p><p><b>　　∴對①式求導：</b></p><p>　　∴∴切線方程為…………②</p><p><b>　　∵點在橢圓上，</b></p><p>　　故 代入②得…………③</p><p>　　而當時， 切線方程為，也滿足③式&l

9、t;/p><p>　　故是橢圓過點的切線方程.</p><p>　　預備定理2. 若點是雙曲線上任一點，則雙曲線過該點的切線方程為：</p><p><b>　　證明：由……①</b></p><p>　　1°當時，過點的切線斜率一定存在，且</p><p><b>　　∴對①式求

10、導：∴</b></p><p>　　∴切線方程為…………②</p><p><b>　　∵點在雙曲線上，</b></p><p>　　故 代入②得…………③</p><p>　　而當時， 切線方程為，也滿足③式</p><p>　　故是雙曲線過點的切線方程.</p>

11、<p>　　預備定理 3.若點是拋物線上任一點，則拋物線過該點的切線方程是</p><p>　　證明：由，對求導得：</p><p><b>　　當時，切線方程為</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　而………………①</b>&

12、lt;/p><p>　　而當時，切線方程為也滿足①式</p><p>　　故拋物線在該點的切線方程是.</p><p>　　定理1. 橢圓上一個點P的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點P處的法線平分（圖2.1）</p><p>　　已知：如圖，橢圓的方程為，分別是其左、右焦點，是過橢圓上一點的切線，為垂直于且過點的橢圓的法線，交軸于</p>

13、<p><b>　　設，</b></p><p><b>　　求證：.</b></p><p><b>　　證法一：在上，，</b></p><p>　　則過點的切線方程為：</p><p>　　是通過點且與切線垂直的法線，</p><p>

14、;<b>　　則</b></p><p><b>　　∴法線與軸交于</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　又由焦半徑公式得：</b></p>

15、<p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∴是的平分線</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∵，故可得</b></p><p>　　證法二：由證法一得切線的斜率，而的斜率，的斜率<

16、/p><p><b>　　∴到所成的角滿足</b></p><p><b>　　∵在橢圓上</b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　同理，到所成的角滿足</p><p><b>　　∴</b></p&g

17、t;<p><b>　　而</b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　證法三：如圖，作點，使點與關于切線對稱，連結，交橢圓于點</p><p>　　下面只需證明點與重合即可</p><p>　　一方面，點是切線與橢圓的唯一交點，則，是上的點到兩焦點距離之和的最

18、小值（這是因為上的其它點均在橢圓外）</p><p>　　另一方面，在直線上任取另一點</p><p><b>　　∵</b></p><p>　　即也是直線上到兩焦點的距離這和最小的唯一點，從而與重合</p><p><b>　　即而得證</b></p><p>　　定理2

19、 雙曲線上一個點P的兩條焦半徑的夾角被雙曲線在點P處的切線平分（圖2.2）；</p><p>　　已知：如圖，雙曲線的方程為，，分別是其左、右焦點，是過雙曲線上的一點的切線，交軸于點，設，</p><p><b>　　求證：</b></p><p><b>　　證明：</b></p><p>&

20、lt;b>　　兩焦點為， </b></p><p><b>　　在雙曲線上</b></p><p><b>　　則過點的切線</b></p><p><b>　　切線與軸交于。</b></p><p>　　由雙曲線的焦半徑公式得</p><

21、p>　　雙曲線的兩焦點坐標為，</p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　故 ，</b></p><p><b>　　∴切線為之角分線。</b></p><p>　　定理3 拋物線上一個點P的焦半徑與過點P且平行于軸的直線的夾角被拋物線在點P

22、處法線平分（圖2.3）。</p><p>　　已知：如圖，拋物線的方程為為，</p><p>　　直線是過拋物線上一點的切線，</p><p><b>　　交軸于，，</b></p><p>　　反射線與所成角記為，</p><p><b>　　求證：</b></p&g

23、t;<p>　　證明： 如圖 ，拋物線的方程為</p><p><b>　　，點在該拋物線上，</b></p><p><b>　　則過點的切線為</b></p><p><b>　　切線與軸交于</b></p><p>　　焦點為，(同位角)</p>

24、;<p><b>　　∵</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　通過以上問題轉化可知，圓錐曲線的光學性質是可以用我們學過的知識證明的。那么它在解題和生產生活中有何應用呢？</p><p>　　三

25、、圓錐曲線的光學性質的應用</p><p>　　3．1解決入射與反射問題</p><p>　　例1. 設拋物線，一光線從點A(5，2)射出，平行 的對稱軸，射在 上的P點，經過反射后，又射到上的Q點，則P點的坐標為____，Q點的坐標為______。</p><p>　　解：如圖，直線平行于對稱軸且A(5，2)，∴則P點的坐標為（4，2）</p>&l

26、t;p><b>　　∴反射線過點</b></p><p><b>　　設，則</b></p><p><b>　　解得：</b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　例2. 已知橢圓方程為 1，若有光束自焦點A(3，0)射出，

27、經二次反射回到A點，設二次反射點為B，C，如圖3.1.2所示，則△ABC的周長為　　　　　。</p><p>　　解：∵橢圓方程為 1中，</p><p>　　∴A(3，0)為該橢圓的一個焦點</p><p>　　∴自A(3，0)射出的光線AB反射后，反射光線AC定過另一個焦點 (-3，0)</p><p><b>　　故△ABC的

28、周長為</b></p><p>　　例3.雙曲線，又，已知A(4，2)，F(4，0)，若由F射至A的光線被雙曲線反射，反射光通過P(8，k)，則k 　　　　　。</p><p>　　解：∵入射線FA反射后得到的光線AP的反向延長線定過雙曲線的另一個焦點</p><p><b>　　∴</b></p><p>

29、　　3．2 解決一類“距離之和”的最值問題</p><p>　　張奠宙教授說“在一般情況下，光線在傳播過程中，總是選擇最近的路線從一點傳播到另一點。這雖然還只是一種停留“經驗、感覺”層面上的結論，但卻為我們研究一類“距離之和” 取值范圍問題時指明了思考的方向，從而解決了一個從“想不到”到“想得到”的關鍵問題。如果再輔以嚴格的數學證明，這種“經驗、感覺”依然是很有價值的、不可替代的?！蔽易x了他的文章，深受啟發(fā)

30、，并用圓錐曲線的光學性質解決了我們經常見到而又覺得復雜的一類最值問題。</p><p>　　例4．已知橢圓C：，F1、F2為分別是其左右焦點，點Q(2，1)，P是C上的動點，求|MF1|+|MQ|的取值范圍。</p><p><b>　?。ㄒ唬┓治霾孪耄?lt;/b></p><p>　?。?）經計算，Q（2，2）點在橢圓內,由于橢圓是封閉圖形，因此

31、|MF1|+|MQ|應該有一個封閉的取值范圍，既有最小值也有最大值。</p><p>　?。?）同樣根據光線的“最近傳播法則”，結合橢圓的光學性質，可得：從F1射出被橢圓反射后經過點Q的光線所經過的路程往往是最短的。這種情況又分為兩類，一是被上半橢圓反射（如圖3.2.1，光線從F1P1Q），二是被下半橢圓反射（如圖3.2.2，光線從F1P2F2Q），究竟哪種情況距離之和更小呢？顯然，根據橢圓定義，圖3.2.1中的

32、|P1F1|+|P1Q|<2a(2a為橢圓長軸長)，而圖3.2.2中的|P2F1|+|P2Q|>2a，可見圖3.2.1所示的情況距離之和更小。</p><p>　　但是，最大值又是多少呢？圖3.2.2所示的光線又有什么特點呢？</p><p>　　將圖3.2.1.和圖3.2.2中的光線反射路線合并圖3.2.3，由于|P2Q| +|P2F1|+|P1Q|+|P1F1|是定值4a(

33、a為橢圓長半軸長)，而|P1Q|+|P1F1|由前面知最小，由此猜測|P2Q| +|P2F1|可能就是最大值。</p><p>　　（二）證明|P1F1|+|P1Q|是最小值。</p><p>　　如圖3.2.2，連接Q F2，延長交橢圓于P2，在橢圓上另取一點，由橢圓定義知：|P2Q|-|QF2| +|PF1| = |F1| +|F2|（*），因為|F2|≥|Q|-|QF2|，代入（*）

34、式得|P2Q|-|QF2| +|P2F1|≥|F1| +|Q|-|QF2|所以，|P2Q| +|P2F1|≥|F1| +|Q|。猜想得證。</p><p><b>　?。ㄈ┯嬎悖?lt;/b></p><p><b>　　綜上所述，只需求出</b></p><p><b>　　可得最小值為</b><

35、/p><p><b>　　最大值為.</b></p><p>　　例5．已知雙曲線C：， F1、、F2為分別是其左右焦點，點，M是C上的動點，求|MF2|+|MQ|的取值范圍。</p><p>　　分析猜想：經計算，Q點在雙曲線右支開口內部。由于雙曲線是不封閉曲線，顯然|MF2|+|MQ|可以無限大，故要求|MF2|+|MQ|的取值范圍，關鍵是求出

36、|MF2|+|MQ|的最小值。根據光線的“最近傳播”特點，我們猜想：從F1射出經雙曲線反射后經過點Q的光線所經過的路程往往是最短的，再結合雙曲線的光學性質（從一個焦點射出的光線經橢圓周反射，反射光線的反向延長線經過另一個焦點），可作出從F1射出被雙曲線反射后經過點Q的光線：連接F1Q，與雙曲線的交點即為使得|MF2|+|MQ|最小的點，設為P點，光線從F2PQ。（見圖2）</p><p>　?。ǘ┳C明：如圖2：

37、按猜想作出點P，由于所求點P顯然不在雙曲線的左支上（此時顯然距離之和不會最小），故在右支上另取一點，由雙曲線定義知：|PF1|-|PF2| = |F1| -|F2|，即|PF1|+|F2| = |F1| +|PF2|，因為|PF1|+|PQ|≤|Q| +|F1|，兩邊同加|PF2|得：所以|PF1|+|PQ| +|PF2|≤|Q| +|F1|+ |PF2|=|Q| +|PF1|+|F2|，故|PQ|+|PF2|≤|Q|+|F2|，猜想得

38、證。</p><p>　　（三）計算：由題意知</p><p><b>　　∵</b></p><p><b>　　∴</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p>&

39、lt;p><b>　　=</b></p><p>　　例6．已知拋物線C：， F是其焦點，點，M是C上的動點，求|MF|+|MQ|的取值范圍。。</p><p>　　分析：由于拋物線不是封閉曲線，顯然沒有最大值，因此關鍵是求最小值。根據拋物線光學性質（從焦點射出的光線經拋物線反射，反射光線與對稱軸平行，反之也成立），結合光線的“最近傳播”特點，我們猜想：過Q與對

40、稱軸平行的直線與拋物線的交點可能就是使距離之和最小的點，設為P點（見圖3.2.6）?？捎蓲佄锞€的定義證明猜想是正確的。且|PF|+|PQ|≥3</p><p>　　3．3． 圓錐曲線光學性質在解決與“切線”相關問題時起簡捷作用。</p><p>　　光線反射總是滿足反射定律（入射角等于反射角），光線被曲線反射也不例外，此時的法線就是過反射點的曲線的切線的垂線?？梢?，曲線的切線和與曲線有關的

41、反射問題有著密切聯(lián)系。</p><p>　　以橢圓為例：如圖3.3.1，l是過橢圓周上一點P的橢圓的切線，m是P點處的法線，光線從F1（F2）射出被橢圓反射經過F2（F1），滿足∠1=∠2，且∠3=∠4。</p><p>　　例7．已知l是過橢圓C：上一動點P的橢圓C的動切線，過C的左焦點F1作l的垂線，求垂足Q的軌跡方程。</p><p>　　分析：如圖3.3.2

42、，本題如果忽視了橢圓的光學性質將很難著手，或許借助橢圓參數方程可以求解，但運算相當繁瑣。由于l是橢圓的切線，切點為P，聯(lián)想到橢圓光學性質及反射定律，可知：l是∠F1PF2的外角平分線， F1關于直線l的對稱點在F2P的延長線上。這樣，由于| P F1| =|P|，故</p><p>　　|F2|=|P F 1|+|PF2|=2a=8，而Q、O分別是F1、F2的中點，所以|QO|=4。從而Q點軌跡是以O為圓心、以4

43、為半徑的圓。即點Q的方程為</p><p>　　3．4在生產生活中的作用</p><p>　　例8．某種碟形太陽能熱水</p><p>　　器的外形示意圖如圖3.4.1，其中F為加熱點；碟形反射壁是拋物線繞對稱軸旋轉而成的曲面；拋物線以cm為單位的設計尺寸如圖3.4.2．為了達到最佳加熱效果，F應距碟底多少？</p><p>　　解 ：以

44、碟形內壁底為原點，拋物線的對稱軸為x軸，開口方向為x軸的正向，建立坐標系如圖3.4.2，則內壁拋物線方程為y2=2px．據所示尺寸，拋物線過坐標為(40,85)的點，所以 852=2p40=80p，p90.3．</p><p>　　加熱點F應置于拋物線的焦點．焦點坐標為(,0)(45.2,0)．所以F應距碟底約45.2cm</p><p>　　圓錐曲線的光學性質是奇妙的，奇妙的背后蘊含著