畢業(yè)論文構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、<p>　　題目:構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用</p><p>　　年級(jí)：數(shù)統(tǒng)學(xué)院2011級(jí)2班</p><p>　　專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</p><p><b>　　姓名：</b></p><p>　　學(xué)號(hào)：20111021229</p><p>　　摘要：本文從構(gòu)造方程、函數(shù)、圖形、

2、遞推數(shù)列這些常見構(gòu)造出發(fā)，構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型, 從而使問題得到解決。在構(gòu)造法解題的過程中，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲透，在解題中被廣泛應(yīng)用。它是一種極其富有技巧性和創(chuàng)造性的解題方法，運(yùn)用構(gòu)造法解數(shù)學(xué)題可從中激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，使學(xué)生思維和解題能力得到培養(yǎng)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的多元化思維和創(chuàng)新精神大有裨益。</p><p>　　關(guān)鍵詞：構(gòu)造、數(shù)學(xué)解題、轉(zhuǎn)化。 </p><p>&l

3、t;b>　　前言</b></p><p>　　構(gòu)造法，即構(gòu)造出使用公式或定理的條件，或?qū)λ忸}目賦予幾何意義，或構(gòu)造出題目所滿足的條件的具體事例來驗(yàn)證結(jié)論的正確性或推翻結(jié)論等手段來解題的方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想, 經(jīng)過認(rèn)真的觀察, 深入的思考, 構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型, 從而使問題得到解決。它內(nèi)涵十分豐富, 沒有完全固定的模式可以套用, 它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問題的特殊性為基礎(chǔ), 針對(duì)具體

4、的問題的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決辦法。在解題時(shí)，要善于將數(shù)與形結(jié)合，將式與方程、函數(shù)、圖形等建立聯(lián)系，構(gòu)造出一種新的問題形式，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，如方程、函數(shù)、圖形、模型等，在數(shù)學(xué)表達(dá)的幾種形式之間找出相互關(guān)系。從而使問題得以解決。 </p><p>　　構(gòu)造法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p><b>　　2.1 構(gòu)造函數(shù)法</b></p><

5、p>　　在求解某些數(shù)學(xué)問題中，根據(jù)問題的條件，構(gòu)想、組合一種新的函數(shù)關(guān)系，使問題在新的觀點(diǎn)下實(shí)行轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決原問題是一種行之有效的解題手段。在解決不等式的證明題時(shí)常常通過構(gòu)造輔助函數(shù)，把原來問題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，并利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性等性質(zhì)來解決。</p><p><b>　　例1：求證不等式：</b></p><p><

6、;b>　　證明：構(gòu)造函數(shù)：</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以的圖像關(guān)于軸對(duì)稱。當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，依圖象的對(duì)稱性知.故當(dāng)時(shí)，恒有.即 </p><p><b>　　.</b></p><p>　　例2：已知，求證： </p>

7、<p>　　證明：構(gòu)造函數(shù)，則，設(shè),由</p><p>　　顯然：因?yàn)椋?＜0，＞1，所以，</p><p>　　所以在上是單調(diào)遞增的，所以</p><p>　　以上兩題的實(shí)質(zhì)上是用的函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性來證明的，其中如何來構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)是進(jìn)一步證明的關(guān)鍵。</p><p><b>　　2.2構(gòu)造遞推數(shù)列</

8、b></p><p>　　數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的核心內(nèi)容之一，它如同函數(shù)中的解析式一樣，有了解析式便可研究其性質(zhì)等；有了數(shù)列的通項(xiàng)公式便可求出任一項(xiàng)以及前項(xiàng)和等.因此，求數(shù)列的通項(xiàng)公式往往是解題的突破口、關(guān)鍵點(diǎn)。因此近年來的高考題中經(jīng)常出現(xiàn)給出數(shù)列的解析式（包括遞推關(guān)系式和非遞推關(guān)系式），求通項(xiàng)公式的問題，常常用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。</p><p>　　例3：數(shù)列中，，求通

9、項(xiàng).</p><p>　　解：令且，得，則數(shù)列是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，則.</p><p>　　本題是形如為非零常數(shù)）的，若，則為等差數(shù)列，否則，構(gòu)造等比數(shù)列。</p><p>　　例4：已知數(shù)列滿足，，求通項(xiàng).</p><p><b>　　解： </b></p><p>　　數(shù)列

10、是首項(xiàng)是3，公比為-2的等比數(shù)列.從而</p><p><b>　　即</b></p><p>　　本題形如為非零常數(shù))，將其變形為</p><p>　　若，則是等差數(shù)列，公差為，可用公式求通項(xiàng)；若，則采用構(gòu)造等比數(shù)列.</p><p>　　例5：已知數(shù)列滿足：，若數(shù)列是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；求通項(xiàng).</p>

11、<p><b>　　解：設(shè)</b></p><p><b>　　得</b></p><p><b>　　因?yàn)?所以</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　由已知可得，所以</b>&l

12、t;/p><p>　　則存在常數(shù)使得數(shù)列為等比數(shù)列.</p><p><b>　　所以，則.</b></p><p>　　本題形如為非零常數(shù)）的形式，解決此問題，一般將其構(gòu)造為等比數(shù)列.</p><p>　　2.3構(gòu)造方程或方程組</p><p>　　根據(jù)題設(shè)條件，利用方程的根的定義、根的判別式、韋達(dá)

13、定理等相關(guān)知識(shí)構(gòu)造出方程或方程組，然后利用方程或方程組的有關(guān)知識(shí)，使問題得以解決。</p><p>　　例6：已知實(shí)數(shù)滿足 ，求的值。</p><p><b>　　解：由已知可得：</b></p><p>　　以為兩實(shí)數(shù)根，構(gòu)造方程，因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，所以</p><p>　　所以，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以，于是有

14、，所以，所以.</p><p><b>　　例7：求證：</b></p><p><b>　　證明：設(shè)則：</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，顯然成立.</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)</b></p><p>&l

15、t;b>　　所以：</b></p><p><b>　　2.4構(gòu)造圖形法</b></p><p>　　數(shù)與形是和諧統(tǒng)一的，是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可分割的兩方面，用數(shù)與形轉(zhuǎn)化思想解題，能充分利用幾何直觀性，且解法簡(jiǎn)潔，在解題過程中能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，必須對(duì)解析幾何中的公式及其各種變形有相當(dāng)深刻的認(rèn)識(shí)，也要對(duì)所求解的問題的數(shù)、式、形

16、等特征有比較準(zhǔn)確的把握，敢于聯(lián)想，善于聯(lián)想是構(gòu)造法的關(guān)鍵。</p><p>　　例8： 一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（ ）. </p><p>　　A．3 B.4 C.3 D. 6</p><p><b>　　圖1</b></p>&l

17、t;p>　　解：構(gòu)造一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體(如圖1) ，連，則四面體為符合題意的四面體，它的外接球的直徑即為正方體的對(duì)角線長(zhǎng).設(shè)該外接球的半徑為,則,所以此正四面體外接球的表面積為,故選A.</p><p><b>　　圖2</b></p><p>　　例9：已知全集，集合為真子集，若，，,則有（ ）</p><p>　　A.，

18、 B.，</p><p>　　C.， D.，</p><p>　　分析：由韋恩圖3知，三個(gè)集合的關(guān)系如下圖：一目了然，選答案C.</p><p><b>　　圖3</b></p><p><b>　　總結(jié)</b></

19、p><p>　　通過上述的例子說明了，構(gòu)造法解題有著在你意想不到的功效，問題很快便可解決。它可以構(gòu)造函數(shù)、方程、圖形甚至其它構(gòu)造，就會(huì)促使學(xué)生要熟悉幾何、代數(shù)、三角等基本知識(shí)技能并多方設(shè)法加以綜合利用，這對(duì)學(xué)生的多元思維培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣的提高以及鉆研獨(dú)創(chuàng)精神的發(fā)揮十分有利。構(gòu)造法解題的思維過程具有一定的靈活性和創(chuàng)造性，運(yùn)用構(gòu)造法解題需要掌握數(shù)學(xué)知識(shí)之間的互相關(guān)系，而且需要較強(qiáng)的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。</p>

20、<p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1] 薛金星. 怎樣解題[M]. 北京教育出版社，2004.205-214.</p><p>　　[2] 王桂青. 初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的構(gòu)造法分析[J].考試周刊，2007，（1）：101-102.</p><p>　　[3] 黃加衛(wèi). 給數(shù)學(xué)構(gòu)造性解題方法提個(gè)醒[J].中學(xué)數(shù)

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