第五章應(yīng)力狀態(tài)分析與強(qiáng)度理論

1、<p>　　第五章 應(yīng)力狀態(tài)分析與強(qiáng)度理論</p><p><b>　　內(nèi)容提要</b></p><p><b>　　1.應(yīng)力狀態(tài)的概念</b></p><p>　　1.1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)</p><p>　　通過受力構(gòu)件的一點(diǎn)的各個(gè)截面上的應(yīng)力情況的集合，稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。</p&

2、gt;<p>　　1.2一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的表示方法——單元體</p><p>　　研究受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，可以圍繞該點(diǎn)取一個(gè)無限小的正六面體，即單元體。若單元體各個(gè)面上的應(yīng)力已知或已計(jì)算出，則通過該點(diǎn)的其他任意方位截面上的應(yīng)力就可用解析法或圖解法確定。</p><p>　　1.3主平面、主應(yīng)力</p><p>　　單元體上切應(yīng)力為零的平面稱為主平

3、面，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。</p><p>　　過受力構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)總有三對相互垂直的主平面。相應(yīng)的主應(yīng)力用、、來表示，它們按代數(shù)值的大小順序排列，即。是最大主應(yīng)力，是最小主應(yīng)力，它們分別是過一點(diǎn)的所有截面上正應(yīng)力中的最大值和最小值。</p><p>　　1.4應(yīng)力狀態(tài)的分類</p><p>　?。?）單向應(yīng)力狀態(tài)，只有一個(gè)主應(yīng)力不為零，另兩個(gè)主應(yīng)力均為零；&l

4、t;/p><p>　?。?）二向或平面應(yīng)力狀態(tài)，兩個(gè)主應(yīng)力不為零，另一個(gè)為零；</p><p>　?。?）三向或空間應(yīng)力狀態(tài)，三個(gè)主應(yīng)力都不為零。</p><p>　　單向應(yīng)力狀態(tài)又稱簡單應(yīng)力狀態(tài)，二向、三向應(yīng)力狀態(tài)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。</p><p>　　2.平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法</p><p>　　在平面應(yīng)力狀態(tài)的單

5、元體中，有一對平面上的應(yīng)力等于零，即為主平面，其上主應(yīng)力為零。可將單元體用平面圖形表示，如圖5-1所示。 </p>

6、<p>　　2.1任意斜截面上的應(yīng)力</p><p>　　當(dāng)已知、、時(shí)，應(yīng)用截面法，可得</p><p><b>　　（5-1）</b></p><p>　　式中，正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；切應(yīng)力以對單元體內(nèi)任意點(diǎn)的矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)；為斜截面外法線與x平面外法線即x軸間的夾角，角從x軸量起，反時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗疄樨?fù)

7、。</p><p><b>　　2.2主應(yīng)力</b></p><p><b>　　（5-2） </b></p><p>　　式中，和分別表示單元體上垂直于零應(yīng)力面的所有截面上正應(yīng)力的最大值和最小值。它們是三個(gè)主應(yīng)力中的兩個(gè)，而另一個(gè)主應(yīng)力為零。三個(gè)主應(yīng)力、和0要按代數(shù)值大小排列，分別用、、表示。</p>&l

8、t;p>　　2.3主平面的方位角</p><p>　　主平面與x軸間的夾角可按下式計(jì)算</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p>　　由上式可確定兩個(gè)主平面的方位角和，其中當(dāng)時(shí)，主平面上的主應(yīng)力為，主平面上的主應(yīng)力為；</p><p>　　當(dāng)時(shí)，主平面上的主應(yīng)力為，主平面上的主應(yīng)力為。<

9、/p><p>　　3．平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法</p><p><b>　　3.1應(yīng)力圓</b></p><p><b>　　方程 </b></p><p>　　圓心坐標(biāo) 半徑</p><p><b>　　3.2畫法</b></p>

10、<p>　　當(dāng)已知、、時(shí)，選取坐標(biāo)系統(tǒng)，選取適當(dāng)?shù)谋壤撸_定和兩點(diǎn)，連接兩點(diǎn)，交軸于C點(diǎn)，以C為圓心，以</p><p>　　和為半徑，畫出對應(yīng)于此應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓，如圖5-2所示。</p><p>　　3.3單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系</p><p>　　對于某一平面應(yīng)力狀態(tài)而言，單元體的應(yīng)力狀態(tài)一定和一個(gè)應(yīng)力圓相對應(yīng)。</p><p

11、>　　單元體中的一個(gè)面一定和應(yīng)力圓上的一個(gè)點(diǎn)相對應(yīng)。</p><p>　　單元體中一個(gè)面上的應(yīng)力對應(yīng)于應(yīng)力圓上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。</p><p>　　應(yīng)力圓上兩點(diǎn)沿圓弧所對應(yīng)的圓心角是單元體上與這兩點(diǎn)對應(yīng)的兩個(gè)平面間夾角的兩倍，且轉(zhuǎn)向相同。</p><p><b>　　4.三向應(yīng)力狀態(tài)</b></p><p>　　如已

12、知三向應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力單元體及主應(yīng)力、和，則有</p><p>　　一點(diǎn)處的最大正應(yīng)力。</p><p>　　一點(diǎn)處的最大切應(yīng)力，其作用面與平行且與、所在主平面夾角各成。</p><p>　　根據(jù)、和作出三個(gè)應(yīng)力圓，則該點(diǎn)任意斜截面上的應(yīng)力對應(yīng)于三個(gè)應(yīng)力圓所圍的陰影區(qū)內(nèi)的一點(diǎn)的坐標(biāo)值，如圖5-3所示。</p><p><b>　　5

13、.廣義胡克定律</b></p><p><b>　　5.1一般形式</b></p><p>　　對于各向同性材料，在小變形情況下，線應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)，切應(yīng)變只與切應(yīng)力有關(guān) (5-5)</p><p>　　5.2主應(yīng)力與主應(yīng)變間的關(guān)系</p><p><b>　?。?-6）<

14、;/b></p><p>　　5.3平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系</p><p><b>　?。?-7a）</b></p><p>　　或 （5-7b）</p><p>　　6.體積應(yīng)變和變形應(yīng)變</p><p>　　已知三個(gè)主應(yīng)力、和，及材料的彈性常數(shù)E和ν

15、，則</p><p><b>　　6.1體積應(yīng)變</b></p><p><b>　?。?-8）</b></p><p>　　6.2體積改變能密度</p><p><b>　　（5-9）</b></p><p><b>　　6.3畸變能密度&l

16、t;/b></p><p><b>　　（5-10）</b></p><p><b>　　6．4應(yīng)變能密度</b></p><p><b>　?。?-11）</b></p><p><b>　　7.強(qiáng)度理論</b></p><p&

17、gt;　　7.1材料失效破壞現(xiàn)象的兩種類型</p><p>　?。?）屈服失效 材料出現(xiàn)不可恢復(fù)的塑性變形而導(dǎo)致材料的失效。塑性材料的失效就屬于屈服失效。</p><p>　?。?）斷裂失效 材料無明顯的變形而突然斷裂。脆性材料的失效就屬于斷裂失效。</p><p>　　7.2強(qiáng)度理論的概念</p><p>　　強(qiáng)度理論是關(guān)于材料

18、失效現(xiàn)象主要原因的假設(shè)。即認(rèn)為不論是簡單應(yīng)力狀態(tài)還是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，材料某一類型的破壞是由于某一種因素引起的。據(jù)此，可以利用簡單應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，來建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件。</p><p>　　7.3幾種常用的強(qiáng)度理論</p><p>　　有關(guān)脆性斷裂的強(qiáng)度理論</p><p>　?、僮畲罄瓚?yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）</p><p>　　基

19、本假設(shè) 最大拉應(yīng)力是引起材料斷裂的主要因素。</p><p><b>　　斷裂準(zhǔn)則 </b></p><p>　　強(qiáng)度條件 （5-12）</p><p>　　②最大伸長線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）</p><p>　　基本假設(shè) 最大伸長線應(yīng)變是引起材料斷裂的主要因素。</p

20、><p><b>　　斷裂準(zhǔn)則 </b></p><p>　　強(qiáng)度條件 （5-13）</p><p>　?、蹖煞N強(qiáng)度理論的分析</p><p>　　最大拉應(yīng)力理論比較符合鑄鐵、大理石、混凝土等脆性材料的脆性斷裂規(guī)律，應(yīng)用較廣。但沒有考慮到和對破壞的影響，對沒有拉應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)則無法應(yīng)用此理論檢

21、驗(yàn)其強(qiáng)度。</p><p>　　最大伸長線應(yīng)變理論，在形式上除了考慮第一主應(yīng)力外，還考慮了第二、第三主應(yīng)力的影響。但實(shí)踐表明，它只與少數(shù)脆性材料的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合，如鑄鐵在拉—壓二向應(yīng)力、且壓應(yīng)力較大的情況吻合。故現(xiàn)今工程中甚少應(yīng)用這一理論。</p><p>　　（2）有關(guān)塑性屈服的強(qiáng)度理論</p><p>　　最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）</p>&

22、lt;p>　　基本假設(shè) 最大切應(yīng)力是引起材料塑性流動的主要因素。</p><p><b>　　斷裂準(zhǔn)則 </b></p><p>　　強(qiáng)度條件 （5-14）</p><p>　　畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）</p><p>　　基本假設(shè) 畸變能密度是引起材料塑性屈服的

23、主要因素。</p><p><b>　　斷裂準(zhǔn)則 </b></p><p>　　強(qiáng)度條件 （5-15） </p><p>　　對兩種強(qiáng)度理論的分析</p><p>　　最大切應(yīng)力理論與畸變能理論均能適合于塑性材料的屈服失效。按第三強(qiáng)度理論計(jì)算出的構(gòu)件尺寸往往偏于安全，按第四強(qiáng)度理論計(jì)算的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)接近。

24、</p><p>　　7.4上述四種強(qiáng)度理論可寫成統(tǒng)一形式</p><p><b>　?。?-16） </b></p><p>　　其中稱為計(jì)算應(yīng)力，從第一到第四強(qiáng)度理論的次序分別為</p><p><b>　　（5-17）</b></p><p><b>　　

25、7.5莫爾強(qiáng)度理論</b></p><p>　　基本假設(shè) 以實(shí)驗(yàn)資料為基礎(chǔ)，考慮了材料拉、壓強(qiáng)度的不同，承認(rèn)最大切應(yīng)力是引起屈服剪斷的主要原因并考慮了剪切面上正應(yīng)力的影響。</p><p>　　強(qiáng)度條件 （5-18）</p><p>　　分析 莫爾強(qiáng)度理論考慮了材料抗拉和抗壓能力不等的情況，這符合脆性材料（如

26、巖石混凝土等）的破壞特點(diǎn)。但未考慮中間主應(yīng)力的影響是其不足之處。對于和相同的材料，式（5-18）可演化成式（5-14）</p><p>　　7.6強(qiáng)度理論的選用</p><p>　　一般情況下，脆性材料選用關(guān)于脆斷的強(qiáng)度理論與莫爾強(qiáng)度理論，塑性材料選用關(guān)于屈服的強(qiáng)度理論。但材料的失效形式還與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。例如，無論是塑性或脆性材料，在三向拉應(yīng)力情況下將以斷裂形式失效，宜采用最大拉應(yīng)力理論。

27、在三向壓應(yīng)力情況下都引起塑性變形，宜采用第三或第四強(qiáng)度理論</p><p><b>　　二、基本要求</b></p><p>　　1.理解應(yīng)力狀態(tài)的概念。</p><p>　　2.熟練掌握平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法和圖解法。</p><p>　　3.了解三向應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力。</p><p>　　

28、4.理解廣義胡克定律并熟練應(yīng)用。</p><p>　　5.了解復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)變能密度的概念及計(jì)算。</p><p>　　6.理解強(qiáng)度理論的概念及常用的四種強(qiáng)度理論。</p><p><b>　　三、典型例題分析</b></p><p>　　例5.1已知圖（a）所示單元體的，，， 。試求（1）斜截面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力、

29、主平面和主應(yīng)力單元體；（3）最大切應(yīng)力。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　1．斜截面上的應(yīng)力</b></p><p>　　2．主應(yīng)力、主平面和主應(yīng)力單元體</p><p><b>　　由此得到：，，</b></p><p

30、><b>　　主方向可由下式求得</b></p><p>　　解得，或，由于，可知主平面的主應(yīng)力為，主平面的主應(yīng)力為?？傻弥鲬?yīng)力單元體如圖（b）所示。</p><p><b>　　3．最大切應(yīng)力</b></p><p>　　其所在平面與、所在主平面各成。</p><p>　　例5.2用圖解法求

31、解例5.1</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　1．作應(yīng)力圓 在直角坐標(biāo)系中，按選定的比例尺，確定點(diǎn)D1（60，-30）和點(diǎn)D2（-40，30），連接兩點(diǎn)與軸交于C點(diǎn)，以C點(diǎn)為圓心，為半徑作出應(yīng)力圓。</p><p>　　2．由，使半徑瞬時(shí)針轉(zhuǎn)過到，量得E點(diǎn)的坐標(biāo)（9，-58），可得斜截面上的應(yīng)力為，。</

32、p><p>　　3．量得A1，A2點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則主應(yīng)力為，，。</p><p>　　量得圓心角，得，且知該主平面上的主應(yīng)力為。由此畫出主單元體。</p><p>　　4．量得應(yīng)力圓上F的縱坐標(biāo)，得。</p><p>　　例5.3討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵構(gòu)件受扭轉(zhuǎn)時(shí)的破壞現(xiàn)象。</p><p><b>

33、　　解：</b></p><p>　　1．取單元體 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，在橫截面的邊緣處切應(yīng)力最大，其數(shù)值為。在圓軸的表面，按圖（a）所示方式取出單元體ABCD，單元體各面上的應(yīng)力如圖（b）所示，其中，，這是純剪切應(yīng)力狀態(tài)。</p><p>　　2．作應(yīng)力圓 在直角坐標(biāo)系中，確定點(diǎn)D1（0，）和點(diǎn)D2（0，），連接兩點(diǎn)與軸交于O點(diǎn)，以O(shè)點(diǎn)為圓心，為半徑作出應(yīng)力圓。則主應(yīng)力為，，

34、。由D1到A1為順時(shí)針轉(zhuǎn)向，且。所以在單元體上以x軸順時(shí)針轉(zhuǎn)過，即可確定所在主平面的法線。（圖b）。</p><p>　　3．分析 純剪切應(yīng)力狀態(tài)的兩個(gè)主應(yīng)力絕對值相等，但一個(gè)為拉應(yīng)力，另一個(gè)為壓應(yīng)力。圓截面鑄鐵構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時(shí)，表面各點(diǎn)所在的主平面連成傾角為的螺旋面。由于鑄鐵抗拉強(qiáng)度較低，構(gòu)件將眼這一螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞，如圖（d）所示。</p><p>　　例5.4單元體各面上的應(yīng)

35、力如圖（a）所示。試求出單元體的主應(yīng)力及最大切應(yīng)力。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　該單元體有一個(gè)已知的主應(yīng)力，因此，與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力無關(guān)。于是，可x,y平面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓（圖（b）），求出出另外兩個(gè)主應(yīng)力。從圓上量得兩個(gè)主應(yīng)力的值分別為，。</p><p>　　將單元體的三個(gè)主應(yīng)力按代

36、數(shù)值的大小排列為</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　根據(jù)上述三個(gè)主應(yīng)力值，可作出三個(gè)應(yīng)力圓（圖（b））。單元體的最大切應(yīng)力為最大應(yīng)力圓的半徑</p><p>　　例5．5邊長為0.1m的銅立方塊，無間隙地放入變形可略去不計(jì)的剛性凹槽中（圖（a））。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比ν=0.34。當(dāng)銅塊受到了F=

37、300kN的均步壓力作用時(shí)，試求銅塊的三個(gè)主應(yīng)力的大小。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　銅塊橫截面上的壓應(yīng)力為</p><p>　　2．銅塊受到軸向壓縮將產(chǎn)生橫向變形，但由于剛性凹槽壁的約束，使得銅塊在x，z方向的應(yīng)變等于零。于是，在銅塊與凹槽壁接觸面將產(chǎn)生均勻的壓應(yīng)力，（圖（b））。按廣義胡克定律公式，可得&l

38、t;/p><p><b>　　聯(lián)解兩式，可得</b></p><p>　　3．按主應(yīng)力的代數(shù)值順序排列，的該銅塊的主應(yīng)力為</p><p>　　例5．6當(dāng)鍋爐或其他圓筒形容器的壁厚t遠(yuǎn)小于它的內(nèi)直徑D時(shí)（譬如，），稱之為薄壁圓筒。圖（a）所示一薄壁容器承受內(nèi)壓力的壓強(qiáng)為p。圓筒部分的內(nèi)直徑為D，壁厚為t，且。試按第三、第四強(qiáng)度理論寫出圓筒壁的計(jì)算應(yīng)

39、力表達(dá)式。</p><p><b>　　解： </b></p><p>　　1．圓筒部分橫截面上的正應(yīng)力 由圓筒及其受力的對稱性可知，作用在圓筒底上壓力的合力F的作用線與圓筒的軸線重合（圖（b））。因此圓筒部分的橫截面上各點(diǎn)處的正應(yīng)力可按軸向拉伸時(shí)的公式計(jì)算</p><p>　　2．圓筒部分縱截面上的正應(yīng)力 用相距為l的兩個(gè)橫截面和包含

40、直徑的縱向平面，從圓筒中截取一部分（圖（c））。若在筒壁縱向截面上應(yīng)力為，則內(nèi)力為。在這一部分圓筒內(nèi)壁的微分面積上的壓力為。該部分內(nèi)壓力在y方向的投影的代數(shù)和為</p><p>　　積分結(jié)果表明，它等于截出部分在縱向平面上的投影面積lD和p的乘積。由平衡方程，得，即</p><p>　　3．分析主應(yīng)力 在橫截面和縱向截面上都沒有切應(yīng)力，所以通過壁內(nèi)任意點(diǎn)的縱、橫兩截面皆為主平面，和為主

41、應(yīng)力。此外，在單元體ABCD的壁厚方向上，有作用于內(nèi)壁的內(nèi)壓力p和作用于外壁的大氣壓力，它們都遠(yuǎn)小于和，可以認(rèn)為等于零，則筒壁上任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可視為二向應(yīng)力狀態(tài)。主應(yīng)力的值為</p><p><b>　　， ， </b></p><p>　　4．建立強(qiáng)度條件 將主應(yīng)力值代入第三、第四強(qiáng)度理論的計(jì)算應(yīng)力表達(dá)式得</p><p><