第五章應力狀態(tài)分析與強度理論

1、<p>　　第五章 應力狀態(tài)分析與強度理論</p><p><b>　　內(nèi)容提要</b></p><p><b>　　1.應力狀態(tài)的概念</b></p><p>　　1.1一點的應力狀態(tài)</p><p>　　通過受力構件的一點的各個截面上的應力情況的集合，稱為該點的應力狀態(tài)。</p&

2、gt;<p>　　1.2一點的應力狀態(tài)的表示方法——單元體</p><p>　　研究受力構件內(nèi)一點處的應力狀態(tài)，可以圍繞該點取一個無限小的正六面體，即單元體。若單元體各個面上的應力已知或已計算出，則通過該點的其他任意方位截面上的應力就可用解析法或圖解法確定。</p><p>　　1.3主平面、主應力</p><p>　　單元體上切應力為零的平面稱為主平

3、面，主平面上的正應力稱為主應力。</p><p>　　過受力構件內(nèi)任一點總有三對相互垂直的主平面。相應的主應力用、、來表示，它們按代數(shù)值的大小順序排列，即。是最大主應力，是最小主應力，它們分別是過一點的所有截面上正應力中的最大值和最小值。</p><p>　　1.4應力狀態(tài)的分類</p><p>　?。?）單向應力狀態(tài)，只有一個主應力不為零，另兩個主應力均為零；&l

4、t;/p><p>　　（2）二向或平面應力狀態(tài)，兩個主應力不為零，另一個為零；</p><p>　?。?）三向或空間應力狀態(tài)，三個主應力都不為零。</p><p>　　單向應力狀態(tài)又稱簡單應力狀態(tài)，二向、三向應力狀態(tài)稱為復雜應力狀態(tài)。</p><p>　　2.平面應力狀態(tài)分析的解析法</p><p>　　在平面應力狀態(tài)的單

5、元體中，有一對平面上的應力等于零，即為主平面，其上主應力為零?？蓪卧w用平面圖形表示，如圖5-1所示。 </p>

6、<p>　　2.1任意斜截面上的應力</p><p>　　當已知、、時，應用截面法，可得</p><p><b>　　（5-1）</b></p><p>　　式中，正應力以拉應力為正，壓應力為負；切應力以對單元體內(nèi)任意點的矩為順時針轉向為正，反之為負；為斜截面外法線與x平面外法線即x軸間的夾角，角從x軸量起，反時針轉向為正，反之為負

7、。</p><p><b>　　2.2主應力</b></p><p><b>　?。?-2） </b></p><p>　　式中，和分別表示單元體上垂直于零應力面的所有截面上正應力的最大值和最小值。它們是三個主應力中的兩個，而另一個主應力為零。三個主應力、和0要按代數(shù)值大小排列，分別用、、表示。</p>&l

8、t;p>　　2.3主平面的方位角</p><p>　　主平面與x軸間的夾角可按下式計算</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p>　　由上式可確定兩個主平面的方位角和，其中當時，主平面上的主應力為，主平面上的主應力為；</p><p>　　當時，主平面上的主應力為，主平面上的主應力為。<

9、/p><p>　　3．平面應力狀態(tài)分析的圖解法</p><p><b>　　3.1應力圓</b></p><p><b>　　方程 </b></p><p>　　圓心坐標 半徑</p><p><b>　　3.2畫法</b></p>

10、<p>　　當已知、、時，選取坐標系統(tǒng)，選取適當?shù)谋壤?，確定和兩點，連接兩點，交軸于C點，以C為圓心，以</p><p>　　和為半徑，畫出對應于此應力狀態(tài)的應力圓，如圖5-2所示。</p><p>　　3.3單元體與應力圓的對應關系</p><p>　　對于某一平面應力狀態(tài)而言，單元體的應力狀態(tài)一定和一個應力圓相對應。</p><p

11、>　　單元體中的一個面一定和應力圓上的一個點相對應。</p><p>　　單元體中一個面上的應力對應于應力圓上一個點的坐標。</p><p>　　應力圓上兩點沿圓弧所對應的圓心角是單元體上與這兩點對應的兩個平面間夾角的兩倍，且轉向相同。</p><p><b>　　4.三向應力狀態(tài)</b></p><p>　　如已

12、知三向應力狀態(tài)的主應力單元體及主應力、和，則有</p><p>　　一點處的最大正應力。</p><p>　　一點處的最大切應力，其作用面與平行且與、所在主平面夾角各成。</p><p>　　根據(jù)、和作出三個應力圓，則該點任意斜截面上的應力對應于三個應力圓所圍的陰影區(qū)內(nèi)的一點的坐標值，如圖5-3所示。</p><p><b>　　5

13、.廣義胡克定律</b></p><p><b>　　5.1一般形式</b></p><p>　　對于各向同性材料，在小變形情況下，線應變只與正應力有關，切應變只與切應力有關 (5-5)</p><p>　　5.2主應力與主應變間的關系</p><p><b>　?。?-6）<

14、;/b></p><p>　　5.3平面應力狀態(tài)下的應力應變關系</p><p><b>　?。?-7a）</b></p><p>　　或 （5-7b）</p><p>　　6.體積應變和變形應變</p><p>　　已知三個主應力、和，及材料的彈性常數(shù)E和ν

15、，則</p><p><b>　　6.1體積應變</b></p><p><b>　?。?-8）</b></p><p>　　6.2體積改變能密度</p><p><b>　　（5-9）</b></p><p><b>　　6.3畸變能密度&l

16、t;/b></p><p><b>　?。?-10）</b></p><p><b>　　6．4應變能密度</b></p><p><b>　　（5-11）</b></p><p><b>　　7.強度理論</b></p><p&

17、gt;　　7.1材料失效破壞現(xiàn)象的兩種類型</p><p>　?。?）屈服失效 材料出現(xiàn)不可恢復的塑性變形而導致材料的失效。塑性材料的失效就屬于屈服失效。</p><p>　　（2）斷裂失效 材料無明顯的變形而突然斷裂。脆性材料的失效就屬于斷裂失效。</p><p>　　7.2強度理論的概念</p><p>　　強度理論是關于材料

18、失效現(xiàn)象主要原因的假設。即認為不論是簡單應力狀態(tài)還是復雜應力狀態(tài)，材料某一類型的破壞是由于某一種因素引起的。據(jù)此，可以利用簡單應力狀態(tài)的實驗結果，來建立復雜應力狀態(tài)的強度條件。</p><p>　　7.3幾種常用的強度理論</p><p>　　有關脆性斷裂的強度理論</p><p>　?、僮畲罄瓚碚摚ǖ谝粡姸壤碚摚?lt;/p><p>　　基

19、本假設 最大拉應力是引起材料斷裂的主要因素。</p><p><b>　　斷裂準則 </b></p><p>　　強度條件 （5-12）</p><p>　?、谧畲笊扉L線應變理論（第二強度理論）</p><p>　　基本假設 最大伸長線應變是引起材料斷裂的主要因素。</p

20、><p><b>　　斷裂準則 </b></p><p>　　強度條件 （5-13）</p><p>　?、蹖煞N強度理論的分析</p><p>　　最大拉應力理論比較符合鑄鐵、大理石、混凝土等脆性材料的脆性斷裂規(guī)律，應用較廣。但沒有考慮到和對破壞的影響，對沒有拉應力的應力狀態(tài)則無法應用此理論檢

21、驗其強度。</p><p>　　最大伸長線應變理論，在形式上除了考慮第一主應力外，還考慮了第二、第三主應力的影響。但實踐表明，它只與少數(shù)脆性材料的實驗結果相符合，如鑄鐵在拉—壓二向應力、且壓應力較大的情況吻合。故現(xiàn)今工程中甚少應用這一理論。</p><p>　　（2）有關塑性屈服的強度理論</p><p>　　最大切應力理論（第三強度理論）</p>&

22、lt;p>　　基本假設 最大切應力是引起材料塑性流動的主要因素。</p><p><b>　　斷裂準則 </b></p><p>　　強度條件 （5-14）</p><p>　　畸變能密度理論（第四強度理論）</p><p>　　基本假設 畸變能密度是引起材料塑性屈服的

23、主要因素。</p><p><b>　　斷裂準則 </b></p><p>　　強度條件 （5-15） </p><p>　　對兩種強度理論的分析</p><p>　　最大切應力理論與畸變能理論均能適合于塑性材料的屈服失效。按第三強度理論計算出的構件尺寸往往偏于安全，按第四強度理論計算的結果與實驗接近。

24、</p><p>　　7.4上述四種強度理論可寫成統(tǒng)一形式</p><p><b>　　（5-16） </b></p><p>　　其中稱為計算應力，從第一到第四強度理論的次序分別為</p><p><b>　?。?-17）</b></p><p><b>　　

25、7.5莫爾強度理論</b></p><p>　　基本假設 以實驗資料為基礎，考慮了材料拉、壓強度的不同，承認最大切應力是引起屈服剪斷的主要原因并考慮了剪切面上正應力的影響。</p><p>　　強度條件 （5-18）</p><p>　　分析 莫爾強度理論考慮了材料抗拉和抗壓能力不等的情況，這符合脆性材料（如

26、巖石混凝土等）的破壞特點。但未考慮中間主應力的影響是其不足之處。對于和相同的材料，式（5-18）可演化成式（5-14）</p><p>　　7.6強度理論的選用</p><p>　　一般情況下，脆性材料選用關于脆斷的強度理論與莫爾強度理論，塑性材料選用關于屈服的強度理論。但材料的失效形式還與應力狀態(tài)有關。例如，無論是塑性或脆性材料，在三向拉應力情況下將以斷裂形式失效，宜采用最大拉應力理論。

27、在三向壓應力情況下都引起塑性變形，宜采用第三或第四強度理論</p><p><b>　　二、基本要求</b></p><p>　　1.理解應力狀態(tài)的概念。</p><p>　　2.熟練掌握平面應力狀態(tài)分析的解析法和圖解法。</p><p>　　3.了解三向應力狀態(tài)的最大應力。</p><p>　　

28、4.理解廣義胡克定律并熟練應用。</p><p>　　5.了解復雜應力狀態(tài)應變能密度的概念及計算。</p><p>　　6.理解強度理論的概念及常用的四種強度理論。</p><p><b>　　三、典型例題分析</b></p><p>　　例5.1已知圖（a）所示單元體的，，， 。試求（1）斜截面上的應力；（2）主應力、

29、主平面和主應力單元體；（3）最大切應力。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　1．斜截面上的應力</b></p><p>　　2．主應力、主平面和主應力單元體</p><p><b>　　由此得到：，，</b></p><p

30、><b>　　主方向可由下式求得</b></p><p>　　解得，或，由于，可知主平面的主應力為，主平面的主應力為?？傻弥鲬卧w如圖（b）所示。</p><p><b>　　3．最大切應力</b></p><p>　　其所在平面與、所在主平面各成。</p><p>　　例5.2用圖解法求

31、解例5.1</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　1．作應力圓 在直角坐標系中，按選定的比例尺，確定點D1（60，-30）和點D2（-40，30），連接兩點與軸交于C點，以C點為圓心，為半徑作出應力圓。</p><p>　　2．由，使半徑瞬時針轉過到，量得E點的坐標（9，-58），可得斜截面上的應力為，。</

32、p><p>　　3．量得A1，A2點的橫坐標，則主應力為，，。</p><p>　　量得圓心角，得，且知該主平面上的主應力為。由此畫出主單元體。</p><p>　　4．量得應力圓上F的縱坐標，得。</p><p>　　例5.3討論圓軸扭轉時的應力狀態(tài)，并分析鑄鐵構件受扭轉時的破壞現(xiàn)象。</p><p><b>

33、　　解：</b></p><p>　　1．取單元體 圓軸扭轉時，在橫截面的邊緣處切應力最大，其數(shù)值為。在圓軸的表面，按圖（a）所示方式取出單元體ABCD，單元體各面上的應力如圖（b）所示，其中，，這是純剪切應力狀態(tài)。</p><p>　　2．作應力圓 在直角坐標系中，確定點D1（0，）和點D2（0，），連接兩點與軸交于O點，以O點為圓心，為半徑作出應力圓。則主應力為，，

34、。由D1到A1為順時針轉向，且。所以在單元體上以x軸順時針轉過，即可確定所在主平面的法線。（圖b）。</p><p>　　3．分析 純剪切應力狀態(tài)的兩個主應力絕對值相等，但一個為拉應力，另一個為壓應力。圓截面鑄鐵構件扭轉時，表面各點所在的主平面連成傾角為的螺旋面。由于鑄鐵抗拉強度較低，構件將眼這一螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞，如圖（d）所示。</p><p>　　例5.4單元體各面上的應

35、力如圖（a）所示。試求出單元體的主應力及最大切應力。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　該單元體有一個已知的主應力，因此，與該主平面正交的各截面上的應力與主應力無關。于是，可x,y平面上的應力畫出應力圓（圖（b）），求出出另外兩個主應力。從圓上量得兩個主應力的值分別為，。</p><p>　　將單元體的三個主應力按代

36、數(shù)值的大小排列為</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　根據(jù)上述三個主應力值，可作出三個應力圓（圖（b））。單元體的最大切應力為最大應力圓的半徑</p><p>　　例5．5邊長為0.1m的銅立方塊，無間隙地放入變形可略去不計的剛性凹槽中（圖（a））。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比ν=0.34。當銅塊受到了F=

37、300kN的均步壓力作用時，試求銅塊的三個主應力的大小。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　銅塊橫截面上的壓應力為</p><p>　　2．銅塊受到軸向壓縮將產(chǎn)生橫向變形，但由于剛性凹槽壁的約束，使得銅塊在x，z方向的應變等于零。于是，在銅塊與凹槽壁接觸面將產(chǎn)生均勻的壓應力，（圖（b））。按廣義胡克定律公式，可得&l

38、t;/p><p><b>　　聯(lián)解兩式，可得</b></p><p>　　3．按主應力的代數(shù)值順序排列，的該銅塊的主應力為</p><p>　　例5．6當鍋爐或其他圓筒形容器的壁厚t遠小于它的內(nèi)直徑D時（譬如，），稱之為薄壁圓筒。圖（a）所示一薄壁容器承受內(nèi)壓力的壓強為p。圓筒部分的內(nèi)直徑為D，壁厚為t，且。試按第三、第四強度理論寫出圓筒壁的計算應

39、力表達式。</p><p><b>　　解： </b></p><p>　　1．圓筒部分橫截面上的正應力 由圓筒及其受力的對稱性可知，作用在圓筒底上壓力的合力F的作用線與圓筒的軸線重合（圖（b））。因此圓筒部分的橫截面上各點處的正應力可按軸向拉伸時的公式計算</p><p>　　2．圓筒部分縱截面上的正應力 用相距為l的兩個橫截面和包含

40、直徑的縱向平面，從圓筒中截取一部分（圖（c））。若在筒壁縱向截面上應力為，則內(nèi)力為。在這一部分圓筒內(nèi)壁的微分面積上的壓力為。該部分內(nèi)壓力在y方向的投影的代數(shù)和為</p><p>　　積分結果表明，它等于截出部分在縱向平面上的投影面積lD和p的乘積。由平衡方程，得，即</p><p>　　3．分析主應力 在橫截面和縱向截面上都沒有切應力，所以通過壁內(nèi)任意點的縱、橫兩截面皆為主平面，和為主

41、應力。此外，在單元體ABCD的壁厚方向上，有作用于內(nèi)壁的內(nèi)壓力p和作用于外壁的大氣壓力，它們都遠小于和，可以認為等于零，則筒壁上任一點的應力狀態(tài)可視為二向應力狀態(tài)。主應力的值為</p><p><b>　　， ， </b></p><p>　　4．建立強度條件 將主應力值代入第三、第四強度理論的計算應力表達式得</p><p><