非線性動力學理論在防屈曲支撐研究中的應(yīng)用

1、<p>　　非線性動力學理論在防屈曲支撐研究中的應(yīng)用</p><p>　　摘要：非線性動力學的工程應(yīng)用是非線性科學研究的前沿和熱點,應(yīng)用非線性動力學的理論揭示事物動態(tài)過程現(xiàn)象的本質(zhì)和機理具有十分重大的理論和應(yīng)用價值。防屈曲支撐作為一種應(yīng)用廣泛的金屬阻尼器，其力學性能研究對于指導其設(shè)計和性能評估具有很大的作用。然而防屈曲支撐作為一種強非線性系統(tǒng)，其力學性能分析一直是難點所在。本文對非線性動力學理論在防屈曲

2、支撐研究中的應(yīng)用作出一些初步的探索，著重研究防屈曲支撐內(nèi)芯的非線性動力學理論建模方法。 </p><p>　　關(guān)鍵詞：非線性動力學；防屈曲支撐；理論建模 </p><p>　　Abstract: The engineering applications of nonlinear dynamics is the research frontier and hot point of nonli

3、near science. It is of great theoretical and practical value to employ the theory of nonlinear dynamics to reveal the nature and mechanism &#8203;&#8203;of the objects dynamic phenomenon. The anti-buckling suppor

4、t is a widely used metal damper,whose mechanical properties study has a significant role in the guidance of its design and performance evaluation. However, anti-buckling support al</p><p>　　Key words: nonlin

5、ear dynamics; anti-buckling support; theoretical modeling </p><p>　　中圖分類號：TH122 文獻標識碼： A文章編號：2095-2104（2012） </p><p><b>　　引言 </b></p><p>　　經(jīng)典力學的基礎(chǔ)是一些“實驗事實”。隨著科學技術(shù)的發(fā)展，實驗設(shè)

6、備變得更為先進，實驗方法在不斷改進，所得的實驗結(jié)果也更為貼近實際力學過程。然而，更新更精確的實驗結(jié)果也說明了：一、處理力學模型的線性化方法在許多模型應(yīng)用中具有很大的局限性，線性化可能導致很大的誤差，甚至導致結(jié)論與實際情況十分的不相符；二、原來被忽略的一些因素事實上對力學模型影響很大，而這些被忽略的因素表現(xiàn)往往很難用線性化方法處理，并且還表現(xiàn)為強非線性。 </p><p>　　真實的動力系統(tǒng)幾乎都含有各種各樣的非線

7、性因素，諸如機械系統(tǒng)中的間隙、干摩擦，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的材料彈塑性、構(gòu)件大變形，控制系統(tǒng)中的元器件飽和特性、變結(jié)構(gòu)控制策略等。實踐中，人們經(jīng)常試圖用線性模型來替代實際的非線性系統(tǒng)，以求方便地獲得其動力學行為的某種逼近.然而，被忽略的非線性因素常常會在分析和計算中引起無法接受的誤差，使得線性逼近徒勞無功.特別對于系統(tǒng)的長時間歷程動力學問題，有時即使略去很微弱的非線性因素，也會在分析和計算中出現(xiàn)本質(zhì)性的錯誤. </p><p&

8、gt;　　人們很早就開始關(guān)注非線性系統(tǒng)的動力學問題.早期研究可追溯到1673年Huygens對單擺大幅擺動非等時性的觀察，從19世紀末起，Poincar6，Lyapunov，Birkhoff，Andronov，Arnold和Smale等數(shù)學家和力學家相繼對非線性動力系統(tǒng)的理論進行了奠基性研究，Duffing，van der Pol，Lorenz，Ueda等物理學家和工程師則在實驗和數(shù)值模擬中獲得了許多啟示性發(fā)現(xiàn).他們的杰出貢獻相輔相成，

9、形成了分岔、混沌、分形的理論框架，使非線性動力學在20世紀70年代成為一門重要的前沿學科，并促進了非線性科學的形成和發(fā)展. </p><p>　　近20年來，非線性動力學在理論和應(yīng)用兩個方面均取得了很大進展.這促使越來越多的學者基于非線性動力學觀點來思考問題，采用非線性動力學理論和方法，對工程科學、生命科學、社會科學等領(lǐng)域中的非線性系統(tǒng)建立數(shù)學模型，預測其長期的動力學行為，揭示內(nèi)在的規(guī)律性，提出改善系統(tǒng)品質(zhì)的控制

10、策略，一系列成功的實踐使人們認識到：許多過去無法解決的難題源于系統(tǒng)的非線性，而解決難題的關(guān)鍵在于對問題所呈現(xiàn)的分岔、混沌、分形、孤立子等復雜非線性動力學現(xiàn)象具有正確的認識和理解. </p><p>　　近年來，非線性動力學理論和方法正從低維向高維乃至無窮維發(fā)展.伴隨著計算機代數(shù)、數(shù)值模擬和圖形技術(shù)的進步，非線性動力學所處理的問題規(guī)模和難度不斷提高，已逐步接近一些實際系統(tǒng).在工程科學界，以往研究人員對于非線性問題繞

11、道而行的現(xiàn)象正在發(fā)生變化.人們不僅力求深入分析非線性對系統(tǒng)動力學的影響，使系統(tǒng)和產(chǎn)品的動態(tài)設(shè)計、加工、運行與控制滿足日益提高的運行速度和精度需求，而且開始探索利用分岔、混沌等非線性現(xiàn)象造福人類。 </p><p>　　防屈曲支撐是土木工程抗震中目前應(yīng)用較為廣泛的一類耗能構(gòu)件，它利用金屬的屈服來消耗地震中產(chǎn)生的能量，從而保護主體結(jié)構(gòu)的安全。常用的防屈曲支撐有全鋼型的防屈曲支撐和鋼管混凝土約束型的防屈曲支撐， 都由內(nèi)

12、芯和外包約束構(gòu)件構(gòu)成。從原理上來看，內(nèi)芯一般用中等屈服強度鋼，承受軸力；外包約束構(gòu)件約束內(nèi)芯的局部屈曲與整體屈曲，不承受軸力；內(nèi)核鋼支撐與外包約束構(gòu)件之間有適當?shù)拈g隙，以保證內(nèi)芯在屈服以后能有橫向的變形空間，從而減小內(nèi)芯在受壓時的與約束構(gòu)件之間的摩擦力，盡量避免外包約束構(gòu)件承受軸力。工作時，僅內(nèi)核鋼支撐與鋼框架連接即僅鋼支撐受力，而外包鋼管混凝土約束內(nèi)核鋼支撐的橫向變形，防止內(nèi)核鋼支撐在壓力作用下發(fā)生整體屈曲和局部屈曲。如圖1中所示為典

13、型的防屈曲支撐與其在軸向拉壓力作用下得到的滯回曲線。 </p><p>　　圖1 典型的防屈曲支撐形式與其滯回曲線 </p><p>　　雖然防屈曲支撐已經(jīng)有了廣泛的應(yīng)用，但是對于防屈曲支撐性能的研究并未取得較大進展，特別是防屈曲支撐的受力分析。防屈曲支撐內(nèi)芯與約束構(gòu)件間存在間隙，在支撐受力過程中內(nèi)芯與約束構(gòu)件之間存在摩擦力，而且在實際應(yīng)用中支撐內(nèi)芯經(jīng)常達到較大的變形。這些都屬于強非線性問

14、題。因此合理地利用非線性動力學理論就可以解決防屈曲支撐的分析問題。 </p><p>　　防屈曲支撐的理論建模 </p><p>　　對所關(guān)心的非線性動力系統(tǒng)建立數(shù)學模型是后繼分析的基礎(chǔ)。通常，建模前要對系統(tǒng)的構(gòu)成進行分析，盡可能把握系統(tǒng)的主要非線性因素。然后，需要根據(jù)已掌握的信息決定建模的方法。完全借助力學理論進行建模的過程一般稱作理論建模，而以實驗作為主要手段的建模過程可稱作實驗建模。

15、實踐中，通常交替采用這兩種建模技術(shù)進行相互檢驗，或混合采用兩種技術(shù)進行復雜系統(tǒng)的聯(lián)合建模。 </p><p>　　具有無限自由度的連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)的建模非常復雜。系統(tǒng)的非線性來自兩方面，一是系統(tǒng)的運動（如大變形），二是構(gòu)成系統(tǒng)的材料。對于計入上述非線性的桿、軸、梁、板和簡單的殼體，高等材料力學和彈性力學提供了一些建模的手段。至于更復雜的結(jié)構(gòu)，則需要采用非線性有限元、多柔體動力學等方法，在計算機上完成建模。 </

16、p><p>　　在支撐達到屈服力之前，內(nèi)芯是處于彈性狀態(tài)。依次列出系統(tǒng)的動力平衡方程、變形幾何方程和本構(gòu)方程，然后盡可能消去聯(lián)立方程中的未知函數(shù)。 </p><p>　　圖2 內(nèi)芯的變形示意圖 </p><p>　　可以將內(nèi)芯的一端簡化為兩端鉸支、均勻材料等截面梁，其左端縱向固定，右端縱向可移動且作用有縱向載荷P(t)。下面運用彈性力學位移法建立系統(tǒng)的運動偏微分方程。

17、</p><p>　　圖3 軸向力作用下的內(nèi)芯中等撓度振動及其微段受力分析 </p><p>　　首先，取梁上距左端處（對應(yīng)于弧長坐標xs）的微段。根據(jù)圖中的受力分析，得到該微段質(zhì)心的縱向運動u(x,t)和橫向運動w(x,t)所滿足的動力平衡方程 </p><p>　　&#63732;&#63732;（1） </p><p>

18、　　其中N (x,t)是梁在截面上沿梁變形后中性層切線方向的軸力，Q(x,t)是剪力。若略去梁微段的旋轉(zhuǎn)慣量，則剪力Q(x,t)與彎矩M(x,t)間具有準靜力關(guān)系. </p><p><b>　?。?） </b></p><p>　　將公式（2）代入公式（1）中，得到 </p><p><b>　?。?） </b><

19、/p><p>　　對于梁的中等撓度變形，通常將方程(3)中的三角函數(shù)近似為: </p><p><b>　　(4) </b></p><p>　　并在后繼分析中保持這樣的二階Taylor截斷。 </p><p>　　在建立變形幾何方程階段，通常根據(jù)實驗觀察結(jié)果引入一些變形假設(shè)，以便使問題得以簡化。此處引入的基本假設(shè)是：變形前

20、垂直于梁軸線的橫截面在變形后垂直于變形的軸線。根據(jù)這一基本假設(shè)，距中性層z處點的縱向位移ux由三部分組成：一是軸力引起的橫截面縱向平動，即微段質(zhì)心的縱向位移；二是由橫截面轉(zhuǎn)動引起的;三是橫向彎曲引起的。因此，該點的縱向位移是 </p><p><b>　　(5) </b></p><p>　　由此得到該點的正應(yīng)變 </p><p><b&

21、gt;　　(6) </b></p><p>　　在線彈性范圍內(nèi)，梁在橫截面上的正應(yīng)力為 </p><p><b>　　(7) </b></p><p>　　其中E是材料的彈性模量。 </p><p>　　現(xiàn)以梁的縱向位移u(x,t)和橫向位移w(x,t)為未知量來建立其運動偏微分方程。將式(6)代入式(7)，

22、在梁的橫截面上積分得到軸力和彎矩: </p><p><b>　　(8) </b></p><p><b>　　(9) </b></p><p>　　其中是梁的截面慣性矩。根據(jù)幾何關(guān)系，可導出 </p><p><b>　　(10) </b></p><p&

23、gt;<b>　　因此 </b></p><p><b>　?。?1） </b></p><p>　　將式(8)和(11)聯(lián)同式(4)代回方程(3)，得到僅含未知位移的動力學方程 </p><p><b>　?。?2） </b></p><p><b>　?。?3）

24、</b></p><p>　　這就是計入幾何非線性效應(yīng)的梁縱橫向運動耦合動力學方程，其最低階截斷誤差為。 </p><p>　　研究梁的橫向非線性振動時通常對縱向運動微分方程引入簡化假設(shè)。如果略去梁橫向運動對縱向運動的影響，方程(12)將簡化為線性波動方程 </p><p><b>　?。?4） </b></p>&l

25、t;p><b>　　相應(yīng)的邊界條件是 </b></p><p><b>　　（15） </b></p><p>　　在給定的初始條件下解出縱向位移u(x,t)后代入方程(13)，可得到以橫向位移w(x,t)為未知函數(shù)、縱向位移u(x,t)為時變系數(shù)的非線性偏微分方程。 </p><p>　　對于定常縱向 載荷P(t)

26、=P0，一般略去梁的縱向慣性效應(yīng)，視軸力為 </p><p><b>　　（16） </b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　?。?7） </b></p><p>　　這時，方程(13)簡化為 </p><p>&l

27、t;b>　?。?8） </b></p><p><b>　　或簡記為 </b></p><p><b>　　（19） </b></p><p>　　其中D(w)是關(guān)于x的非線性偏微分算子。 </p><p>　　方程(19)是一非線性偏微分方程，其解空間具有無限維。通常，人們采用G

28、alerkin方法將其簡化為有限個常微分方程來進行研究。Galerkin方法的基本思路是取一組滿足梁邊界條件的形狀函數(shù)，構(gòu)造 </p><p><b>　　(20) </b></p><p>　　將其代入方程(19)，方程殘差反映了殘余力。為了盡量減小殘余力，可以選擇未知函數(shù)，使殘余力關(guān)于各形狀函數(shù)對應(yīng)的位移平均作功為零，即, </p><p>

29、;<b>　　(21) </b></p><p>　　這顯然是n個關(guān)于未知函數(shù)的二階常微分方程。 </p><p>　　對于梁振動問題，最常用的形狀函數(shù)就是梁的微振動固有振型。以簡支梁的低頻振動為例，通常僅取梁的第一階固有振型。將其代入方程(19)后再代入方程(21)，經(jīng)計算得到一個單自由度非線性振動系統(tǒng) </p><p><b>　

30、?。?2） </b></p><p>　　一般在最初階段就取，但取彎矩表達式(11)中的。這樣的不一致截斷使最終結(jié)果成為 </p><p><b>　　（23） </b></p><p>　　以上過程就是防屈曲支撐內(nèi)芯的非線性動力學理論建模方法。 </p><p>　　應(yīng)用非線性動力學理論對防屈曲支撐進行研究

31、還沒有先例，本文僅僅對于防屈曲支撐內(nèi)芯的建模做了初步的探索。非線性動力學理論作為一種處理非線性問題的方法必將在防屈曲支撐的研究中發(fā)揮巨大的作用。 </p><p><b>　　參考文獻 </b></p><p>　　1. 非線性動力學理論與應(yīng)用的新進展. 張偉，胡海巖. 科學出版社，2009.11 </p><p>　　2. 應(yīng)用非線性動力學.