基于非線性動力學(xué)理論的彈性桿拓撲構(gòu)型分析

1、 基于非線性動力學(xué)理論的彈性桿 基于非線性動力學(xué)理論的彈性桿 拓撲構(gòu)型分析 拓撲構(gòu)型分析 Analysis on the Topological Configurations of the Elastic Rod Based on Nonlinear Dynamics Theory 學(xué)科專業(yè)：工程力學(xué) 研 究 生：趙 彬 指導(dǎo)教師：張琪昌 教授 天津大學(xué)機械工程學(xué)院 二零一二年十二月 摘 要 超長彈性細桿是橫跨生命科學(xué)，工程安全等諸多

2、領(lǐng)域的重要的力學(xué)模型，它有著極端細長性，以及小擾動即可出現(xiàn)大變形的特性。超長環(huán)狀 DNA 在外力和外力矩作用下， 會呈現(xiàn)出千差萬別的空間構(gòu)型， 這其中不僅隱含了大量的遺傳信息，也蘊藏了諸多生命發(fā)展演變過程的本質(zhì)，所以環(huán)狀 DNA 的研究已經(jīng)成為彈性桿理論研究的一個重要分支。 目前， 國內(nèi)外許多研究者都嘗試將經(jīng)典的非線性動力學(xué)理論與環(huán)狀 DNA 構(gòu)型的研究相結(jié)合，并取得了一定的研究成果。生物分子學(xué)中，DNA 拓撲結(jié)構(gòu)的變化是各種酶作用的結(jié)

3、果，反映到環(huán)狀彈性桿模型上，各個參數(shù)的改變則可以與外力及外力矩等外界因素作用建立起相應(yīng)的關(guān)系。 而目前針對此類問題的研究都是在簡化甚至忽略此關(guān)系的條件下進行的， 所以本文運用非線性動力學(xué)思想， 考慮多種外界因素影響， 在現(xiàn)有模型和重新建立的力學(xué)模型基礎(chǔ)上， 分析了等效初始扭矩等參數(shù)對圓截面和非對稱截面彈性桿拓撲構(gòu)型的影響，并進行了數(shù)值分析和對比驗證，從數(shù)學(xué)角度考量了外界酶作用與 DNA 拓撲構(gòu)型變化之間的關(guān)系。本文主要工作及取得的重要結(jié)

4、論主要有以下三個方面：(1). 引入了等效初始扭矩的概念，利用勢能密度函數(shù)與哈密頓函數(shù)形式上的相似性，建立了其與系統(tǒng)哈密頓函數(shù)、初始自連接數(shù)之間的定量關(guān)系，揭示了非對稱截面環(huán)狀 Kirchhoff 彈性細桿受到外力(矩)作用時， 其拓撲狀態(tài)參數(shù)的變化情況。以環(huán)狀 DNA 分子為背景，對扭矩模型進行了非線性動力學(xué)分析，并利用解析方法中的待定固有頻率法， 分析了主要參數(shù)對于扭矩模型穩(wěn)定構(gòu)型的影響。 最后利用等效剛度，得到相應(yīng)狀態(tài)下曲率的表達

5、式，為進一步認識和描述 DNA 環(huán)受到生物酶作用下的穩(wěn)定構(gòu)型提供了新的理論途徑； (2). 為研究復(fù)雜情況下的圓截面 Kirchhoff 細桿的構(gòu)型特征， 在原有的以復(fù)曲率為未知變量的 Schrödinger 方程建立了以扭率分量為變量的二自由度平衡方程。運用動力學(xué)中內(nèi)共振的思想，指出了彈性桿出現(xiàn)諸多復(fù)雜構(gòu)型的原因在于：兩個自由度固有頻率之比的不確定性，該比值的取值區(qū)間為[0,0.531]，當(dāng)桿發(fā)生面內(nèi)變形時，對應(yīng)的是 0:1