絕對(duì)值函數(shù)復(fù)習(xí)與解題策略初探-揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)

1、<p>　　注：本文已在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2010年第六期上發(fā)表。</p><p>　　絕對(duì)值函數(shù)復(fù)習(xí)與解題策略初探</p><p>　　揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué) 黃險(xiǎn)峰</p><p>　　揚(yáng)州市梅嶺中學(xué) 王力耕</p><p>　　縱觀這幾年的高考試卷，有關(guān)絕對(duì)值函數(shù)的試題由于呈現(xiàn)出綜合性強(qiáng)、立意與角度新、難度大等特點(diǎn)，已成

2、為高考命題的熱點(diǎn)。因此，在高三復(fù)習(xí)中，突出整合，“以一馭萬(wàn)”，對(duì)絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行疏理和小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)典型例題進(jìn)行探究與解題思想歸類，對(duì)開拓學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)和創(chuàng)新能力有著重要的啟迪和促進(jìn)作用。</p><p>　　本文首先對(duì)絕對(duì)值函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行歸納小結(jié)，然后對(duì)典型例題歸類分析，供參考。</p><p>　　1．絕對(duì)值函數(shù)的常見類型及其圖象</p><

3、p>　　基本絕對(duì)值函數(shù)主要包括和兩種類型，由于自變量的取值被分成若干不同的區(qū)間，因此，絕對(duì)值函數(shù)在不同的區(qū)間有不同的表達(dá)式： </p><p>　　，。其圖象作法也應(yīng)依不同區(qū)間分別來(lái)作：的圖象可以看作的圖象在軸上方不變，軸下方沿軸向上翻折后所得；的圖象可以看作的圖象在軸右方不變，并將軸右方的圖象沿軸向左翻折后所得。而一般絕對(duì)值函數(shù)可由以上兩種基本絕對(duì)值函數(shù)組合或變換得到。</p><p&

4、gt;　　2．絕對(duì)值函數(shù)的考點(diǎn)歸類分析</p><p>　　熟練掌握絕對(duì)值函數(shù)的圖象和性質(zhì)，靈活、快捷的解決問(wèn)題</p><p>　　絕對(duì)值函數(shù)的圖象和性質(zhì)是研究絕對(duì)值函數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)。由于形數(shù)兼?zhèn)?，所以教師在?fù)習(xí)時(shí)要精選試題，幫助引導(dǎo)學(xué)生夯實(shí)“雙基”，提高思維的靈活性和敏捷性。</p><p>　?。?009年揚(yáng)州市高三調(diào)研卷）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則

5、 。（填寫“”，“=”，“”之一）</p><p>　　分析 由題意知，函數(shù)的圖象如圖（1），當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，故底數(shù)，即。再由為偶函數(shù)，有，</p><p><b>　　可知：應(yīng)填“”。</b></p><p>　?。?008年。寧夏、海南卷）已知函數(shù)。</p><p>　?。?）作出函數(shù)的圖象；</p>

6、;<p><b>　　（2）解不等式。</b></p><p>　　分析 （1）由可知圖象如圖（2）。</p><p>　?。?）由（1）得得。由函數(shù)的圖象可得不等式的解集為。</p><p>　　（2009年泰州市高三調(diào)研卷）定義：區(qū)間的長(zhǎng)度為，已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則區(qū)間的長(zhǎng)度的最大值為

7、。</p><p>　　分析 作出的圖象如圖（3），解方程得或，觀察圖（3）可知區(qū)間的長(zhǎng)度的最大值為。</p><p>　　綜評(píng)：以上三題雖然難度不大，但都突出運(yùn)用“以形助數(shù)”，數(shù)形結(jié)合的思想方法。有些同學(xué)在解這類問(wèn)題時(shí)，常因?yàn)閷?duì)一些基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不全面，造成解題時(shí)的疏漏，或用錯(cuò)函數(shù)的解析式和性質(zhì)，或?qū)⒑瘮?shù)圖象畫偏畫錯(cuò)。因此，復(fù)習(xí)時(shí)夯實(shí)“雙基”，培養(yǎng)強(qiáng)烈的數(shù)形結(jié)合意識(shí)尤為重要。

8、</p><p>　　運(yùn)用函數(shù)、方程及不等式的思想，借助三者之間的依賴關(guān)系，靈活轉(zhuǎn)化，解決運(yùn)動(dòng)和變化中出現(xiàn)的問(wèn)題</p><p>　　以絕對(duì)值函數(shù)為載體，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法靈活運(yùn)用的試題能給學(xué)生提供思考的空間，使他們的聰明才智在解題中得到充分的展示，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)考素質(zhì)，考能力的要求。因此，在復(fù)習(xí)時(shí)，教師要強(qiáng)調(diào)“形”與“數(shù)”的靈活轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生迅速找到解題的突破口。</p>&

9、lt;p>　　例4 （2009年揚(yáng)州市高三調(diào)研卷） 設(shè)，若，且，則的取值范圍為 。</p><p>　　分析 函數(shù)的圖象如圖（4），由，且并結(jié)合圖象可得：，故由有，即因此，</p><p><b>　　，故</b></p><p><b>　　，。</b></p><p>　

10、　點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是由條件和圖象確定和的取值范圍，去掉絕對(duì)值符號(hào)得到與的關(guān)系式，再消元轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)求值域。</p><p>　　例5（2009年揚(yáng)大附中高三調(diào)研卷） 若函數(shù)圖象上存在點(diǎn)，對(duì)任意都不在軸上方，則的最小值為 。</p><p>　　分析 由已知，對(duì)任意，存在有，即。</p><p>　　可令：，函數(shù)與的圖象如圖（5）

11、，</p><p>　　當(dāng)或時(shí)，有。比較函數(shù)與的圖象位置可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)拋物線與射線相切時(shí)，有最小值。故由，消去有，由解得。故的最小值為。</p><p>　　點(diǎn)評(píng)：本題須將已知條件轉(zhuǎn)化為，有進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，通過(guò)比較與的圖象的位置找到解題途徑。</p><p>　　對(duì)于創(chuàng)造性試題，要運(yùn)用分類討論等數(shù)學(xué)思想，將問(wèn)題條理化、系統(tǒng)化、清晰化，進(jìn)而由易到難，分層解決問(wèn)題</p

12、><p>　　創(chuàng)造性試題，以考查思維能力為核心，強(qiáng)調(diào)探究性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新意識(shí)。因此，教師要?jiǎng)?chuàng)新情境，引導(dǎo)學(xué)生在陌生情境中自我探索，獨(dú)立地思考分析問(wèn)題，揭示其中的聯(lián)系和奧秘，在問(wèn)題變化不定時(shí)，會(huì)應(yīng)用分類討論等數(shù)學(xué)思想將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類，然后對(duì)劃分的每一類分別進(jìn)行研究或求解，從而達(dá)到“化難為易，化整為零，各個(gè)擊破”的目的。</p><p>　　例6（2009年江蘇卷）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)。&

13、lt;/p><p>　　（1）若，求的取值范圍；</p><p><b>　?。?）求的最小值；</b></p><p>　?。?）設(shè)函數(shù)，直接寫出（不需給出演算步驟）不等式的解集。</p><p><b>　　解析 （1）</b></p><p><b>　?。?）

14、</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如圖（6），，由（1）（2）知：，此時(shí)。</p><p>　?、诋?dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如圖（7），，若，則由（1）知</p><p>　　若則由（2）知，此時(shí)。</p><p><b>　　綜上所述：。</b></p><p>　　（3）分析：當(dāng)

15、時(shí)，觀察圖（6）可以看出：時(shí)，</p><p><b>　　，而當(dāng)</b></p><p><b>　　時(shí)，是增函數(shù)，且</b></p><p>　　。故只需按或討論即可。當(dāng)時(shí)，觀察圖（7）可以看出，時(shí)，</p><p>　　，此時(shí)，時(shí)，是減函數(shù)，時(shí)，是增函數(shù)，且。故需按或或三種情況分類討論。<

16、;/p><p>　　解：①觀察圖（6）可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為；觀察圖（7）可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)，即時(shí)，</p><p>　　的解集為。故時(shí)，的解集為。</p><p>　　②觀察圖（6）可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)即時(shí)，由</p><p>　　有；觀察圖（7）可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)，即時(shí)，也有。故當(dāng)時(shí)，的解集為。</p><p>　?、塾^察圖（

17、7）可以發(fā)現(xiàn)：時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，由</p><p><b>　　可解得或。</b></p><p><b>　　故當(dāng)時(shí)，的解集為。</b></p><p><b>　　答略。</b></p><p>　　點(diǎn)評(píng)：本題（1）（2）（3）小題難度按三級(jí)坡度設(shè)計(jì)，由易到難體現(xiàn)了較好的區(qū)分度

18、，其中第（2）小題分類畫出函數(shù)的圖象是解題的基礎(chǔ)，而第（3）小題困難在于不知從何處入手，難以確定討論的對(duì)象和分類的標(biāo)準(zhǔn)，這時(shí)應(yīng)分清參數(shù)的變化對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生的影響，根據(jù)參數(shù)的正負(fù)和分段函數(shù)性質(zhì)的限制條件分類討論，做到“既不重復(fù)，又不遺漏”。</p><p><b>　　作者簡(jiǎn)介</b></p><p>　　第一作者：黃險(xiǎn)峰，揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)高級(jí)教師，揚(yáng)州市數(shù)學(xué)中考命題組成員

19、，多次參加市調(diào)研考試命題工作，曾在國(guó)家、省級(jí)刊物上發(fā)表多篇論文。</p><p>　　聯(lián)系方式：江蘇省揚(yáng)州市揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)</p><p>　　電話號(hào)碼：15952788243 郵政編碼：225002</p><p>　　電子信箱：yzgr1960@163.com</p><p>　　第二作者：王力耕，揚(yáng)州市梅嶺中學(xué)校長(zhǎng)，江蘇省特