探究絕對值函數最值的求法

1、<p>　　探究絕對值函數最值的求法及應用</p><p>　　2011年陜西省理科高考試題第14題。題目是：植樹節(jié)某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為 米。該題考查了求絕對值函數的最小值問題，轉化為求函數的最小值問題。另外2009年上

2、海高考有一道數學試題；其題目是：某地街道呈現東—西、南—北向的網絡格狀，相鄰街距都為1。兩街道相交的點稱為格點。若以互相垂直一兩條街道為軸建立直角坐標系，現有下述格點（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）為報刊零售點，請確定一個格點（除零售點外） 為發(fā)行站，使6個零售點沿街道發(fā)行站之同路程的和最短。該題也需要轉化為求絕對值函數</p><p>　　的最小值問題。那么如何求

3、這種多個絕對值和的函數的最小值問題呢？對此，筆者運用以下方法進行了探索研究，得出了解決這種問題的基本方法，以此與各位同仁商榷。</p><p>　　利用函數圖象研究這類函數的值域，從而達到求函數的最值：由于含絕對值函數可以等價化為分段函數，因此運用函數的圖象求函數的最值。</p><p>　　例1求函數的最小值。</p><p><b>　　解：由于函數，

4、</b></p><p>　　作出其圖象如右圖：由圖象可知其當時，</p><p>　　原絕對值函數的最小值為0。</p><p>　　例2求函數的最小值。</p><p><b>　　解：由于該函數</b></p><p><b>　　，作出其</b></

5、p><p>　　圖象如右圖所示。則當時，其函數的最</p><p><b>　　小值為3：</b></p><p>　　例3、求函數的最小值。</p><p>　　解：由于該函數可化成分段函數，則</p><p><b>　　=</b></p><p>&

6、lt;b>　　作出其圖象如右圖：</b></p><p>　　結論1：對于函數，當且僅當時，函數有最小值。</p><p><b>　　證明如下：由于函數</b></p><p><b>　　該函數等價于：</b></p><p><b>　　，</b><

7、;/p><p>　　作出其圖象如右圖：從圖象可知，當時，</p><p><b>　　該函數的最小值為。</b></p><p>　　結論2：對于函數，當且僅當時，函數有最小值為。</p><p><b>　　證明如下：由于函數</b></p><p><b>　　該函

8、數等價于</b></p><p>　　該函數的圖象如右圖所示：</p><p>　　由圖象中知：當且僅當時該函數的最小值為。</p><p>　　以上兩個結論可推廣到任意個絕對值的和的最值問題。結論如下：</p><p><b>　　推論1：對于函數</b></p><p>　　當且僅

9、當時，函數有最小值為</p><p><b>　?。ǎ?。</b></p><p>　　推論2：對于函數（）當且僅當</p><p>　　時，函數有最小值（）</p><p>　　運用以上推論，達到求函數最值的目的：</p><p>　　下面我們來解以下高考試題：</p><p&

10、gt;　　例1：（2011年陜西省理科高考試題第14題）植樹節(jié)某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為 </p><p>　　分析：該題是一個實際應用題，考查的知識點是絕對值求和的最值問題。先將該題放在數軸上來研究。即將實際問題抽象成數學問題，通

11、過建立數學模型來解決此問題。</p><p>　　解：以一段直線公路為軸，建立如圖所示的數軸坐標系。</p><p><b>　　設領取樹苗的坐標為</b></p><p><b>　　時，每位同學前來</b></p><p><b>　　領取樹苗往返所走的</b></p

12、><p>　　路程和為米，則，根據推論1可知：當且僅當米時，函數有最小值：</p><p><b>　　=2000（米）</b></p><p><b>　　或</b></p><p><b>　　+=2000（米）</b></p><p>　　例2：（20

13、09年上海高考數學試題）某地街道呈現東—西、南—北向的網絡格狀，相鄰街距都為1。兩街道相交的點稱為格點。若以互相垂直一兩條街道為軸建立直角坐標系，現有下述格點（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）（6，6）為報刊零售點，請確定一個格點（除零售點外） 為發(fā)行站，使6個零售點沿街道發(fā)行站之間路程的和最短。</p><p>　　分析：該題是一個實際應用題；考查的知識點也是求絕對

14、值和的最值問題。該題已經將格點放在平面直角坐標系中，由于發(fā)行站與各報刊之間只能沿軸與軸兩個方向穿越，因此可將該問題轉化為求軸與軸兩個方向上含絕對值和的最值問題。</p><p>　　解：設發(fā)行站格點為P時，使6個零售點沿街道發(fā)行站之間路程的和為，則</p><p>　　要求以上含絕對值和的最值問題，可分別求函數</p><p><b>　　與函數</

15、b></p><p><b>　　兩個函數的最小值。</b></p><p>　　根據以上推論1可知當且僅當即時，有最小值</p><p>　　=14；當且僅當時，由于即或時，有最小值為：，所以</p><p>　　的最小值為14+9=23此時，發(fā)行站應設在點（3，3）或（3，4 ）處，但是由于題意，發(fā)行站不能作為

16、零售點，因此，發(fā)行站只能為（3，3）處。</p><p>　　根據以上兩種求函數最值的方法：圖象法和推論法，它們的本質都來源于去掉絕對值符號；當然對于簡單的絕對值函數值域問題（兩個或三個絕對值符號），可直接運用圖象法比較直觀；對于多個含絕對值最值問題，可運用推論來解決，相對簡單；當然，對于絕對值求最值問題方法很多，以上方法僅與各位同仁探討。</p><p>　　陜西省西鄉(xiāng)縣第二中學：王仕林