信息與計算科學畢業(yè)論文hilbert空間中k-嚴格偽壓縮映像的halpern與粘滯迭代序列的收斂定理

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文檔簡介

1、　　本科畢業(yè)論文　?。?0 屆）　　Hilbert空間中k-嚴格偽壓縮映像的Halpern與粘滯迭代序列的收斂定理　　所在學院 <p

2、>　　專業(yè)班級信息與計算科學 　　學生姓名學號 　　指導教師職稱 　　完成日期年月 <b

3、>　　摘要　　非線性算子方程屬于非線性泛函分析的范疇, 是泛函分析的理論和應用的一個重要組成部分, 它在微分方程, 積分方程, 力學, 控制論, 對策論, 經濟平衡理論, 交通運輸, 社會和經濟模型等許多方面都有著重要的應用. 目前有關非線性算子不動點的迭代逼近的研究是近年來非線性分析理論的非?；钴S的研究熱點問題, 其中嚴格偽壓縮映像是一類非常重要的非線性映像. <

4、;/p>　　本文將主要通過構造嚴格偽壓縮映像的halpern迭代序列和粘滯迭代序列來研究在空間框架下的嚴格偽壓縮映像的不動點的迭代逼近問題. 全文共分四章, 第一章前言介紹了非線性算子不動點理論和迭代算法的簡況以及本文的主要工作. 第二章研究了Hilbert空間框架下嚴格偽壓縮映像的一步Halpern迭代序列和一步粘滯迭代序列的收斂問題. 第三章研究了Hilbert空間框架下嚴格偽壓縮映像的兩步Halpern

5、迭代序列和兩步粘滯迭代序列的收斂問題. 第四章總結了本文的主要工作.　　關鍵詞: 嚴格偽壓縮映像; Halpern迭代序列; 粘滯迭代序列　　Abstract　　Nonlinear operator equations are belong to the fields of

6、the nonlinear functional analysis, and have wide applications in the fields of the differential equations, integral equations, mechanics, control theory, game theory, economic equilibrium theory, transportation, social a

7、nd economic models and many other aspects. At present, the study of iterative approximation of fixed points for nonlinear operators is a very active question in nonlinear functional analysis, and k-strictly pseudo-contra

8、cti　　In this thesis, the iterative approximation of fixed points for the k-strictly pseudo-contractive mappings are considered in Hilbert spaces by giving the halpern iterative processes and the visc

9、osity iterative processes. This thesis includes four chapters. In chapter 1, the history of fixed points of nonlinear operator and iterative algorithms are recalled, a summary of this work are given. In chapter 2, the it

10、erative approximation of fixed points for the k-strictly pseudo-contractive mappings a　　Keywords: K-strictly Pseudo-contractive mappings; Halpern iterative processes; Viscosity iterative processes<

11、;/p>　　目錄　　摘要I　　AbstractII　　1 前言1　　2 嚴格偽壓縮映像的一步halpern和一步粘滯迭代逼近

12、問題4　　2.1 引言與預備知識4　　2.2嚴格偽壓縮映像不動點的一步Halpern迭代逼近問題5　　2.3 嚴格偽壓縮映像不動點的一步粘滯迭代逼近問題9　　3 嚴格偽壓縮映像的兩步halpern和粘滯迭代逼近問題14<p&g

13、t;　　3.1 引言與預備知識14　　3.2 嚴格偽映像不動點的兩步halpern迭代逼近問題14　　3.3 嚴格偽壓縮映像不動點的兩步粘滯迭代逼近問題19　　4 小結25　　參考文獻26</b

14、>　　致謝錯誤!未定義書簽。　　1 前言　　非線性算子方程屬于非線性泛函分析的范疇, 是泛函分析的理論和應用的一個重要組成部分, 它的理論和方法不僅是線性最優(yōu)化的一個重要部分, 而且在微分方程, 積分方程, 力學, 控制論, 對策論, 經濟平衡理論, 交通運輸, 社會

15、和經濟模型等許多方面都有著重要的應用. 因此, 研究非線性算子方程解的存在性及迭代算法理論不僅具有重要的理論意義, 而且具有重要的應用價值. 而非線性算子方程的解往往可以轉化為某個非線性算子的不動點問題. 自20世紀初著名的Banach壓縮映像原理和Brouwer不動點定理問世以來, 特別是最近二三十年來, 由于實際需要的推動和數(shù)學工作者的不斷努力, 這門學科的理論及應用的研究已取得重要的進展, 并且日趨完善.

16、　　非線性算子的類型很多, 包括壓縮映像, 非擴張映像, 偽壓縮映像, 漸近非擴張映像, 漸近偽壓縮映像, 單調映像, 增生映像等等. 其中最簡單的一類映像是壓縮映像, 壓縮映像的不動點問題, 即著名的Banach壓縮映像原理已經在1992年用Picard迭代法證明了. 　　非擴張映像是壓縮映像的推廣, 在求解方程的不動點的問題上起到很重要的作用, 它在近代數(shù)學許多分支都有應用

17、, 特別是在非線性半群, 遍歷定理和單調算子理論方面有著重要的應用. 隨著非擴張映像不動點理論的發(fā)展, 學者們得出了關于非擴張映像的一系列結論(見文獻[4-9]). 而非擴張映像的一個重要推廣是嚴格偽壓縮映像. 　　非線性映像的不動點的尋求是學者們一直所關心的問題, 而對于一些具體的非線性算子方程不動點的求解是十分困難的. 因此, 數(shù)學家們通過構造迭代序列去逼近不動點來求解這些方程, 其中Pic

18、ard給出了最早的迭代序列, 其具體格式為　　但是Banach壓縮原理證明中所用的Picard迭代方法對于非擴張映像卻未必是收斂的, 之后Mann受到Banach壓縮映像原理的啟發(fā), 在1953年提出了如下的迭代序列 　　稱之為正規(guī)Mann迭代序列.　　1976年, Ishikawa推廣了Mann迭代格式, 得到

19、了如下的Ishikawa迭代序列　　然而為了證明Mann格式或Ishikawa格式產生的序列強收斂于非擴張映像的某個不動點, 往往要求映像的定義域或映像本身具有某種緊性. 緊性假設是很強的條件, 能否找到一種新的迭代格式在沒有緊性條件的假設下, 僅依賴于非擴張映像本身的性質收斂于映像的不動點呢? 回答是肯定的.　　1967年, Halpern首先引入了如

20、下迭代格式, 稱之為Halpern迭代 　　并且Halpern指出如果迭代格式想要收斂到任意非擴張映像的不動點, 那么必須滿足其中兩個條件和 1977年, lion仍然在Hilbert空間的框架下改進了Halpern的結果, 當滿足下列條件時　　證明了強收斂到的不動點, 從參數(shù)限制條件的角度推廣了Halpern的結果, 1980年, Reich證明了當是

21、一致光滑Bananch空間時, Halpern的結果依然是成立的. 但是Reich和Lions的條件都排除了的自然選擇: . 這點瑕疵在1992年被Wittmann克服, 即滿足條件和的同時, 只需要再滿足條件: , 那么強收斂到的不動點. 兩年后, Reich把Wittmann的結果由Hilbert空間推廣到了一致光滑具有弱序列連續(xù)對偶的Banach空間.　　1997年, Shioji和Tak

22、ashshi將Wittmann的結果推廣到范數(shù)滿足一致Gateaux可微的Banach空間, 將映像的定義進一步放寬. 2002年, Xu從兩方面推廣了Lion的結果. 首先他減弱了Lion結果中的條件, 把分母中的替換成了. 另一方面, 他在一致光滑Banach空間框架下利用Halpern迭代格式得到了非擴張映像的強收斂定理.　　近幾年來, 粘滯迭代方法也是眾多學者關注的對象, 不僅利用這種方

23、法研究非線性算子方程的不動點, 而且用來研究變分不等式解的問題. 　　2000年, Moudafi引入粘滯迭代方法逼近給定非擴張映像的特定不動點, 證明了非擴張映像的強收斂定理.　　2004年, Xu改進了Moudafi的結果, 在一致光滑的Banach空間中給出了強收斂定理.　　本文將主要通過構造嚴格偽壓縮映像

24、的一步halpern迭代序列和一步粘滯迭代序列, 以及嚴格偽壓縮映像的兩步halpern迭代序列和兩步粘滯迭代序列來研究在Hilbert空間框架下的嚴格偽壓縮映像的不動點的迭代逼近問題.　　2 k-嚴格偽壓縮映像的一步halpern和一步粘滯迭代逼近問題　　2.1 引言與預備知識　　嚴格偽壓縮映像是非擴張映像的

25、一類重要的推廣. 近幾十年來, 關于尋找嚴格偽壓縮映像的不動點問題已經被許多學者所研究, 并構造了一些著名的迭代序列來研究其收斂性. 1967年, Halpern引入Halpern迭代, 1977年, lion仍然在Hilbert空間的框架下改進了Halpern的結果, 從參數(shù)限制條件的角度推廣了Halpern的結果. 近幾年來, 粘滯迭代方法也是眾多學者關注的對象, 不僅利用這種方法研究非線性算子方程的不動點, 而且用來研究變分不等式

26、解的問題. 2000年, Moudafi引入粘滯迭代方法逼近給定非擴張映像的特定不動點. 2004年, Xu改進了Moudafi的結果. 受上述文獻中的思想的啟發(fā), 本章的主要工作是通過構造嚴格偽壓縮映像的一步halpern迭代序列和一步粘滯迭代序列來研究在Hilbert空間框架下的嚴格偽壓縮映像的不動點的迭代逼近問題. 　　本文, 用表示映像的不動點集, 表示Hilbert空間到的閉凸子集的度

27、量投影. 用代表上所有的壓縮映像, 即　　定義 2.1 映像是上的壓縮算子, 如果存在常數(shù), 使得　　定義 2.2 上的算子是強正的, 如果存在常數(shù), 使得　　定義.2.3 設是Hilbert空間的非空子集, 映射是嚴格偽壓縮映像, 如果存在常數(shù) 使得　　引理 2.

28、1 設是Hilbert空間, 是的閉凸子集. 如果是上的嚴格偽壓縮映像, 則不動點集是閉凸集, 并且投影是有定義的.　　引理 2.2 設是Hilbert空間, 是的閉凸子集. 是嚴格偽壓縮映像并且, 則　　引理 2.3 設是Hilbert空間, 是的閉凸子集. 是嚴格偽壓縮映像. 定義映像為, 對于所有的. 當, 是非擴張映像且

29、　　引理 2.4 假設是非負實數(shù)列, 且 　　其中是內的序列, 是序列, 且　　或者　　則　　引理 2.5 設是Hilbert空間上的強正有界線性算子, 系數(shù)為且, 則&

30、lt;/p>　　引理 2.6 設是Hilbert空間, 是上自伴強正有界線性算子, 系數(shù)為假設令是具有不動點的非擴張映像, 其中壓縮算子為那么強收斂到的不動點, 當時, 也是下述變分不等式的解　　引理 2.7 在Hilbert空間中, 下列不等式成立　　k-嚴格偽壓縮映像不動點的一步Halpern迭代逼近問題<

31、/p>　　定理 2.1 設是實Hilbert空間的非空閉凸子集, 且, 是存在不動點的嚴格偽壓縮映像, 令是上的強正有界線性算子, 系數(shù)為, 令是上的由下述方法生成序列 　　其中是由定義的映像, 如果控制序列滿足下列條件 (i)　　(ii)&l

32、t;b>　　(iii)　　則強收斂于的不動點, 這也是下述變分不等式的解　　證明由引理2.3得, 映像是非擴張映像且由的假設, 有, 因此. 由引理2.1, 則由于是非擴張映像, 則也是非擴張映像. 　　注意到條件(i), 不失一般性, 設有對所有的由引理2.6得, , 則

33、　　因此, 對點得　　歸納得　　于是序列是有界的.　　另一方面, 有<

34、b>　　于是　　(2.1)　　其中是適當?shù)某?shù)使得　　注意到條件(i), (ii), (iii)并對(2.1)運用引理2.4得　　(2.2)<

35、;p>　　注意到　　再由條件(i)和(2.2)有　　(2.3)　　接下來, 證明　　(2.4)

36、　　其中, 是壓縮算子的不動點.　　于是, 是不動點方程的解, 因此得到 　　由引理2.7有　　(2.5)　　其

37、中　　(2.6)　　觀察到是線性強正的, 得　　(2.7)　　綜合(2.5)和(2.7)得 　　從而</b&g

38、t;　　(2.8)　　在(2.8)中令并注意(2.6)得到　　(2.9)　　其中常數(shù), 使得對于所有的以及 　　令(2.9)中得到

39、　　(2.10)　　另一方面, 得到　　從而　　因此, 由(2.10)得到　　因此(2.4)成立. 再由引理2.7得到

40、;　　(2.11)　　因此, 由引理2.4, 得到當, . 　　2.3 k-嚴格偽壓縮映像不動點的一步粘滯迭代逼近問題　　定理 2.2 設是實Hilbert空間的非空閉凸子集, 且, 是存在不動點的嚴格偽壓縮映像, 令是上的強正有界線性算子, 系數(shù)

41、為, 是具有壓縮系數(shù)的壓縮算子, 滿足令是上由下述方法生成的序列　　其中是由定義的映像, 如果控制序列滿足下列條件(i)　　(ii)　　(iii)　　則強收斂于的不動點, 這也是下述變分不等式的

42、解　　證明由引理2.3得映像是非擴張映像且由的假設, 有, 因此. 由引理2.1, 則由于是非擴張映像, 則也是非擴張映像. 　　注意到條件(i), 不失一般性, 設有對所有的由引理2.6, 如果, 則　　因此, 對點得

43、　　歸納得　　于是序列是有界的.　　另一方面, 有　　于是　　(2.14)<

44、/p>　　其中是適當?shù)某?shù)使得　　注意到條件(i), (ii), (iii)并對(2.14)運用引理2.4得　　(2.15) 　　注意到　　再由條件(i)和(2.15)有&l

45、t;p>　　(2.16)　　接下來, 證明　　(2.17)　　其中, 是壓縮算子的不動點.　　于是, 是不動點方程的解, 因此得到

46、　　由引理2.7有　　(2.18)　　其中　　(2.19) 　　觀察到是線性強正的, 得</p

47、>　　(2.20)　　綜合(2.18)和(2.20)得　　從而　　(2.21)　　在(2.21)中令并注意(2.19)得到<

48、;/p>　　(2.22)　　其中常數(shù), 使得對于所有的以及 　　令(2.22)中得　　(2.23)　　另一方面, 得到</

49、p>　　從而　　因此, 由(2.23)得到　　因此, (2.21)成立, 再由引理2.7, 得到　　(2.24)　　這意味著<

50、;/p>　　(2.25)　　其中是適當?shù)某?shù)使得令　　以及　　于是得到　　(2.26)<

51、;/p>　　從條件(i), (ii)和(2.17)得到　　因此, 對(2.26)應用引理2.4, 得到當, .　　3 k-嚴格偽壓縮映像的兩步halpern和粘滯迭代逼近問題　　引言與預備知識　　上一章我們

52、通過構造嚴格偽壓縮映像的一步halpern迭代序列和一步粘滯迭代序列來研究在Hilbert空間框架下的嚴格偽壓縮映像的不動點的迭代逼近問題. 本章我們通過構造嚴格偽壓縮映像的兩步halpern迭代序列和兩步粘滯迭代序列來研究在Hilbert空間框架下的嚴格偽壓縮映像的不動點的迭代逼近問題.　　引理 3.1 令和是Banach空間上的有界序列, 是上的序列并且滿足下述條件

53、　　假設并且　　則　　引理 3.2 假設是非負實數(shù)列, 且　　其中是滿足下述條件　　或者</

54、p>　　且　　則　　3.2 k-嚴格偽映像不動點的兩步halpern迭代逼近問題　　定理3.1 設是實Hilbert空間的非空閉凸子集, 且, 是存在不動點的嚴格偽壓縮映像, 令是上的強正有界線性算子,

55、系數(shù)為, 令序列并且滿足下列條件　　(i)　　(ii)　　(iii) 常數(shù)　　令是上的序列并且由下述方法生成　　其中

56、是由定義的映像, 則強收斂于的不動點, 這也是下述變分不等式的解　　證明由引理2.3, 得映像是非擴張映像且由的假設, 有, 因此. 由引理2.2, 則由于是非擴張映像, 則也是非擴張映像. 下面分五步完成定理3.1的證明.　　第一步證明對所有的以及. 　　不失一般性, 可以假設, 有對所有的由引理

57、2.5, 如果, 則 　　因此, 對點并且結合　　則　　歸納得, . 于是序列是有界的, 那么均有界.　　第二步證明根據(jù)定義了序列, 得　　.</

58、p>　　(3.1)　　由(3.1)得　　(3.2)　　由(i), (iii)和(3.2)得　　由引理3.1得&l

59、t;/b>　　(3.3)　　從(iii)和(3.3)得　　第三步證明由（IS）得　　簡化并且利用步驟二得　　即<

60、p>　　.　　第四步證明其中, 是壓縮算子的不動點. 　　于是, 是不動點方程的解, 則　　由引理2.7有　　(3.4)&l

61、t;p>　　其中　　(3.5) 　　觀察到是線性強正的, 則　　(3.6)　　綜合(3.4)和(3.6)得&l

62、t;b>　　從而　　(3.7)　　在(3.7)中令并結合(3.5)得　　(3.8)　　其中常數(shù), 使得對于所有的以及<b

63、>　　令(3.8)中得　　(3.9)　　另一方面, 得到　　從而　　因此, 由(3.9)得到<p&g

64、t;　　第五步證明由（IS）, 得　　由引理2.7得　　(3.10)　　因此, 對(3.10)應用引理2.7, 得到當, .　　3.3 k-嚴格偽壓縮映像不動點的兩步粘滯迭代逼近問題<

65、/p>　　定理 3.2 設是實Hilbert空間的非空閉凸子集, 且, 是存在不動點的嚴格偽壓縮映像, 令是上的強正有界線性算子, 系數(shù)為, 是具有壓縮系數(shù)的壓縮算子, 滿足令序列并且滿足下列條件　　(i) 　　(ii)&

66、lt;p>　　(iii)常數(shù)　　令是上由下述方法生成的序列 　　(3.13)　　其中是由定義的映像, 則強收斂于的不動點, 這也是下述變分不等式的解　　證明由引理2.3, 得映像是非擴張

67、映像且由的假設, 有, 因此. 由引理2.2, 則由于是非擴張映像, 則也是非擴張映像. 下面分五步完成定理3.2的證明.　　第一步證明對所有的以及. 　　不失一般性, 假設, 有對所有的 　　由引理2.5, 如果, 則因此, 對點并且結合

68、得　　歸納得, . 于是序列是有界的, 那么均有界.　　第二步證明根據(jù)定義了序列, 得　　. (IS)　　(3.14)&l

69、t;b>　　由(3.13)得　　(3.15)　　由(i), (iii)和(3.15)得　　于是, 由引理3.1得　　(3.16)

70、　　從(iii)和(3.16)得　　第三步證明由（IS）得　　簡化并且利用步驟二得　　即　　.　　第四步證明其中, 是壓縮算子的不動點. <

71、;/p>　　于是, 是不動點方程的解, 則　　由引理2.7有　　(3.17) 　　其中　　(3.18) <

72、/b>　　是線性強正的, 則　　(3.19)　　綜合(3.17)和(3.19)得　　從而

73、(3.20)　　在(3.20)中令并注意(3.18), 得到　　(3.21)　　其中常數(shù), 使得對于所有的以及　　令(3.21)中得到　　(3.22)

74、　　另一方面, 得到　　從而　　因此, 由(3.10)得到　　第五步證明由（IS）, 得　　由引理2.7, 得到

75、;　　(3.23)　　(3.24)　　其中是適當?shù)某?shù)使得令　　以及　　則

76、　　(3.25　　從條件,和(3.16)得到　　因此, 對(3.25)應用引理2.7, 得到當, . 　　4 小結　　非線性算子方程屬于非線性泛函分析的范疇, 是泛函分析的理論

77、和應用的一個重要組成部分, 它在微分方程, 積分方程, 力學, 控制論, 對策論, 經濟平衡理論, 交通運輸, 社會和經濟模型等許多方面都有著重要的應用. 目前有關非線性算子不動點的迭代逼近的研究是近年來非線性分析理論的非?；钴S的研究熱點問題. 而嚴格偽壓縮映像是一類非常廣泛的非線性映像. 　　本文主要通過構造嚴格偽壓縮映像的一步halpern迭代序列和一步粘滯迭代序列, 以及嚴格偽壓縮映像的兩

78、步halpern迭代序列和兩步粘滯迭代序列來研究在Hilbert空間框架下的嚴格偽壓縮映像的不動點的迭代逼近問題. 主要證明了在Hilbert空間框架下嚴格偽壓縮映像不動點收斂的相關定理. 　　參考文獻　　S. Banach. Sur les operations dans les ensembles abstrai

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信息與計算科學畢業(yè)論文hilbert空間中k-嚴格偽壓縮映像的halpern與粘滯迭代序列的收斂定理

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