關于非齊次線性方程組ax=b兩類解法的對比【畢業(yè)設計】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)設計</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　關于非齊次線性方程組Ax=b兩類解法的對比</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 信

2、息與計算科學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘　要</b>&l

3、t;/p><p>　　【摘要】矩陣理論是數(shù)學理論中重要的一環(huán)，它在很多理論與實際運用中都有著廣泛的應用。但是任何數(shù)學理論都有自己的適用范圍，超過一定范圍，她它便不再適用。矩陣理論也不例外，傳統(tǒng)的矩陣理論在解決一些問題時不再適用，所以需要提出一些矩陣的新理論。廣義逆矩陣就是對矩陣的補充，我們在解決線性方程組時，可以用廣義逆矩陣法去解決常規(guī)方法所不能解決的問題，這樣，我們能夠解決的問題范圍就能被拓寬。本文對兩種方法進行一

4、些簡單的比較，進行一些簡單的總結</p><p>　　【關鍵詞】矩陣理論；線性方程組；廣義逆矩陣</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　【ABSTRACT】Matrix theory is an important mathematical theory of link, its theoretical an

5、d practical application in a lot in a wide range of applications. But any mathematical theory has its own applicable scope, exceed a certain range, she it ceases to apply. Matrix theory is not exceptional also, tradition

6、al matrix theory in solving some problems no longer apply, so need to put some matrix new theory. The generalized inverse matrix of matrix is in solving equations, we added, can use the general</p><p>　　【KEY

7、WORDS】Matrix theory; Linear equations; Generalized inverse matrix</p><p><b>　　目　錄</b></p><p><b>　　摘　要I</b></p><p>　　AbstractI</p><p><b>

8、　　目　錄II</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p>　　2 廣義逆矩陣的相關說明1</p><p>　　2.1 （1）g—逆：1</p><p>　　2.2 M-P逆矩陣的性質及其證明4</p><p>　　3 齊次線性方程組Ax=0的矩陣

9、變換法求解6</p><p>　　4 非齊次線性方程組Ax=b的矩陣變換法6</p><p>　　4.1 Kronecker定理(線性方程組有解判別定理)6</p><p>　　4.2 Kronecker定理的證明7</p><p>　　4.3 Kronecker定理的應用8</p><p>　　5 非齊次線

10、性方程組的廣義逆矩陣法11</p><p>　　5.1 Penrose定理11</p><p>　　5.2 廣義逆與最小二乘解11</p><p>　　5.3 Penrose定理的應用12</p><p>　　6 兩種解法的比較14</p><p>　　6.1 相容性線性方程組14</p>&

11、lt;p>　　6.1.1 用初等行變換解相容性線性方程組14</p><p>　　6.1.2 用廣義逆矩陣法解相容性線性方程組14</p><p>　　6.2 矛盾線性方程組15</p><p>　　6.2.1 用初等行變換解矛盾線性方程組16</p><p>　　6.2.2 用廣義逆矩陣法解矛盾線性方程組16</p&g

12、t;<p><b>　　6.3 小結17</b></p><p><b>　　7 補充18</b></p><p>　　7.1 廣義逆矩陣的相關求法18</p><p>　　7.2 布爾矩陣的廣義逆矩陣的計算20</p><p><b>　　7.3 態(tài)射20<

13、/b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p>　　附錄錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　引言</b></p><p>　　矩陣在數(shù)學理論與應用中占有重要地位。在數(shù)學上，矩陣是縱橫排列的數(shù)據(jù)表格，最早來自于方程組的系數(shù)或相關常數(shù)所構成的方陣。矩陣這一概念最初是由19世紀英國數(shù)學

14、家凱利提出。矩陣概念在生產實踐中有很多應用，比如矩陣圖法以及計算機存儲系統(tǒng)中的矩陣卡系統(tǒng)等等。隨著計算機的日益普及，對運算能力的要求越來越高，這些都離不開矩陣理論的發(fā)展。</p><p>　　我們從解決非齊次線性方程組的問題入手，我們都知道解非齊次線性方程組有矩陣變換法，可是當我們面對的是無解的方程組時，傳統(tǒng)矩陣理論走進了死胡同，這就需要引入新的矩陣理論。廣義逆矩陣概念的引出就水到渠成。由于在實際應用中，我們不可

15、能遇到無解的方程組就不去解決，而廣義逆矩陣法可以求出方程組的最小二乘解，把誤差在一定的范圍內相對最小化，這在實際應用中是很重要的。正如我們都知道對于實數(shù)的平方都大于等于零，但是對于有些實際遇到的一元二次方程組在實數(shù)域中是無解的，所以需要創(chuàng)立復數(shù)理論一樣。廣義逆矩陣理論是對矩陣理論的有效補充，它有著自己的定義方式、相關性質定理及其一些應用。本文就是從這一角度去對廣義逆矩陣理論作一番梳理，形成系統(tǒng)的認識。 </p><

16、;p>　　廣義逆矩陣是對逆矩陣的推廣。若A為非奇異矩陣，則線性方程組Ax=b的解為，其中A的逆矩陣滿足(為單位矩陣)。若A是奇異陣或長方陣，Ax=b可能無解或有很多解。若有解，則解為，其中是維數(shù)與A的列數(shù)相同的任意向量，X是滿足AXA=A的任何一個矩陣，通常稱X為A的廣義逆矩陣，用、或等符號表示，有時簡稱廣義逆。</p><p>　　線性方程組的逆矩陣解法一般只適用于一種特殊情況,即適用于系數(shù)矩陣為方陣的時

17、候，用于一般的線性方程組 ,可以應用矩陣的廣義逆來研究并表示 它的解而且與其它解法相比解的討論更完整 ,表達形式更簡潔系統(tǒng)。</p><p>　　廣義逆矩陣的相關說明</p><p><b>　?。?）g—逆：</b></p><p>　　對于每一個非異的n階矩陣A，必存在逆矩陣，并且它們之間有如下關系：，逆矩陣是唯一的。n個未知數(shù)n個方程的非

18、齊次線性方程組Ax=b，當A非異時，其唯一解可由逆矩陣表示為。</p><p>　　當系數(shù)矩陣A為任意矩陣時，非齊次線性方程組Ax=b的解是否也可以通過一個與A以某種恰當?shù)年P系相伴的矩陣表示出來呢？下面有定理1肯定地回答了這個問題。</p><p>　　定理1 設，Ax=b是相容的（即該方程組有解），那么，x=Xb是Ax=b的一個解的充要條件是其中的X使得AXA=A成立。</p&g

19、t;<p>　　證：令為A的任一列，當然是相容的。如果就是的一個解，則。讓j跑遍1,2...，n，即得AXA=A。反之，Ax=b相容，必存在，使得。因AXA=A，故，也就是b=A(Xb)?？梢?，x=Xb是Ax=b的一個解。</p><p>　　那么對于一般線性方程組Ax=b來說，滿足矩陣方程AXA=A的矩陣，正起著A非異時所能起到的類似的作用。因此，這個矩陣方程的解叫做A的“廣義逆”,記為</

20、p><p>　　定義1 對任意矩陣A而言，凡滿足矩陣方程AXA=A的矩陣X，都稱為A的廣義逆，記為或，簡稱g-逆。</p><p>　　定義 設，矩陣A的一個廣義逆是滿足以下條件的矩陣X：對于任何使Ax=b相容的b而言總是Ax=b的一個解。</p><p>　　Ax=b是相容的（即非齊次線性方程組有解）充要條件是對某個有成立，其一般解為，其中y為任意n維列向量。這里的逆

21、叫做Cayley逆。</p><p>　　現(xiàn)在，給出任意矩陣的g—逆的具體結構。</p><p>　　先看一個特殊情形，若，且形如下形式</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則只要取矩陣S有下式成立</p><p>　　，其中是任意的，就有RSR=R。</p>

22、<p>　　而任意一個秩為r的矩陣，都可通過適當?shù)某醯刃凶儞Q和列的置換化為行階梯型： </p><p>　　這就是說，存在適當?shù)某醯染仃嘐和置換矩陣P，會使下式成立：</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　因而有下式成立：</b>&l

23、t;/p><p><b>　　，</b></p><p>　　將A進行分解以后，容易得到下式成立：</p><p>　　這樣它就滿足AXA=A，其中L是任意一個矩陣。</p><p>　　有以上的推理知，任意矩陣A的g—逆都存在，而且一般不是唯一的。當且僅當A非異時，g—逆才是唯一的，就是Cayley逆。由于P和E均是非異的

24、，因此有下式成立：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　Moore—Penrose逆</p><p>　　E.H.Moore和R.Penrose先后證明了對于每個有限維的矩陣A，存在滿足如下四個方程的一個相伴陣：</p><p><b>　　(1)AXA=A;</b><

25、/p><p><b>　　(2)XAX=X;</b></p><p>　　(3)(AX)*=AX;</p><p>　　(4)(XA)*=XA</p><p>　　以這樣的更多的聯(lián)系與A相伴的X，其條件是比一般g-逆更強的一種廣義逆，成為Moore—Penrose逆，記為或，它是的特殊情況。</p><p

26、>　　在一般的非齊次線性方程組的求解時，只要用到g—逆就可以了，但是任何數(shù)學理論都有其局限性，對于另外的目的，單靠AXA=A往往并不足以揭露問題的實質，這與我們的初衷相悖，所以需要補加更多的關系。這時候前面的Moore—Penrose逆就是必要的了。</p><p>　　對于Moore—Penrose逆來說，有如下定理成立：</p><p>　　定理2 設A=FG滿秩分解（即F和G

27、與矩陣A有相同的秩），則（廣義逆的求法）</p><p>　　證：因，而秩=秩F=r，秩=秩G=r，所以都是滿秩的。因而非異。容易驗證滿足方程（1）—（4）。</p><p>　　由上述證明得知，除r=0外，任意都有Moore—Penrose逆存在，這對于我們的問題解決是有很大好處的。不僅如此，隨著實際問題和理論研究上的需要，人們還突破（1）—（4）這幾個方程的局限，補加或提出一些別的關系

28、，建立了更多種類型的廣義逆，例如，若人們關心的是譜的性質，即關于矩陣特殊值和特殊向量的那些性質，那么，我們只需要考察方陣即可。</p><p>　　可見，與非奇異情形不同，無論如何都只有一種逆矩陣，而且是唯一的。在廣義逆的意義下，由于不同的目的，我們可有不同類型的逆矩陣。它們與A以各種不同的方式聯(lián)系著。這種種聯(lián)系，就形成了對于形形色色的廣義逆的研究，就形成了“廣義逆矩陣”這樣一個內容豐富，應用廣泛的新科目。<

29、;/p><p>　　M-P逆矩陣的性質及其證明</p><p>　　性質1 任何秩為r的矩陣A，它的M-P廣義逆矩陣存在且唯一。</p><p>　　證明：若R（A）=0，則A為零矩陣，顯然，這個零矩陣滿足M-P廣義逆矩陣定義中的所有四個條件。</p><p>　　若，對A做滿秩的分解：A=GH，其中G與H分別是數(shù)域F上的，并且秩為R的和矩陣

30、，容易得出與均是R階非奇異方陣，且和分別是G和H的M-P廣義逆。令，經過計算可以證明，B是滿足廣義逆矩陣的定義所有四個條件的。所以B是A的M-P廣義逆矩陣。</p><p>　　接下去我們需要證明唯一性：不妨設C是A的另一個M-P廣義逆矩陣，由于B是廣義逆矩陣，</p><p><b>　　所以有上式成立。</b></p><p>　　由此得知

31、，B=C，從而M-P廣義逆的唯一性得證。</p><p>　　性質2 對于任意的秩為R的矩陣A，都有以下結論成立：</p><p>　　如果A為可逆矩陣，則有</p><p>　　證明：根據(jù)A的M-P廣義逆矩陣定義都：成立，上述結論的成立可以根據(jù)相關定義容易推證。</p><p>　　齊次線性方程組Ax=0的矩陣變換法求解</p>

32、;<p>　　前面我們對矩陣的相關理論進行了簡單的介紹，我們也都知道了矩陣在很多方面都有較為廣泛的應用。我們在這兒從齊次線性方程組Ax=0的求解問題入手，從而加深對于問題實質的理解，了解下矩陣理論在求解方程的獨特作用。我們知道線性方程組在很多領域都有用處，與理論研究和生產實踐都有很大關聯(lián)。我們先舉個例子來說明矩陣在求解齊次線性方程組的作用。</p><p>　　例 求齊次線性方程組</p&g

33、t;<p><b>　　的所有解。</b></p><p>　　解：我們在這兒令該齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A，則接下去我們用矩陣的行變換法進行求解，我們有下面推理：該齊次方程組的系數(shù)矩陣</p><p>　　根據(jù)線性代數(shù)知識，我們知道矩陣A的秩等于2，所以該線性方程組的基礎解系有2個自由向量。不妨取兩個向量作為自由向量，所以我們得知它的基礎解系為<

34、;/p><p><b>　　。</b></p><p>　　因為對于該齊次線性方程組而言，它的所有解為</p><p>　　小結：從上述例中，我們可以看出矩陣初等變換法在求解齊次線性方程組時較為簡便，形式簡單易懂，是一種應用廣泛的求解方法。</p><p>　　非齊次線性方程組Ax=b的矩陣變換法</p>&l

35、t;p>　　Kronecker定理(線性方程組有解判別定理)</p><p>　　設非齊次線性方程組Ax=b為</p><p><b>　　引入向量</b></p><p><b>　　，，.....，</b></p><p>　　于是線性方程組可以改寫成向量方程。</p>&l

36、t;p>　　顯然，線性方程組有解的充分必要條件為向量可以表成向量組的線性組合。用秩的概念，方程組有解的條件可以敘述如下：它的系數(shù)矩陣</p><p><b>　　與增廣矩陣</b></p><p><b>　　有相同的秩。</b></p><p>　　Kronecker定理的證明</p><p&g

37、t;　　證明：先證必要性，設非齊次線性方程組Ax=b有解，就是說，可以通過向量組線性表出。由此立即推出，向量組與向量組等價，由于兩向量組等價的充要條件是兩者有相同的秩，所以上述兩向量組有相同的秩。這兩個向量組分別是矩陣A與的列向量組。因此，矩陣A與有相同的秩。</p><p>　　再證充分性。設矩陣A與有相同的秩，就是說，它們的列向量組與有相同的秩，令它們的秩為r，中的極大線性無關組是由r個向量組成，無妨設是它的

38、一個極大線性無關組。顯然也是向量組的一個極大線性無關組，因此向量可以通過線性表出。既然可以經線性表出，當然它可以經線性表出。因此，非齊次方程組Ax=b有解。 </p><p>　　Kronecker定理的應用</p><p>　　Kronecker定理為我們求解非齊次線性方程組Ax=b提供了一種方法，用該定理能夠迅速地判定一個方程組是否有解。如下面幾個例子：</p><

39、p>　　例1 求解非齊次線性方程組</p><p>　　解：對該方程組對應的齊次方程組進行初等行變換，即</p><p>　　所以得到R（A）=2</p><p>　　對增廣矩陣B施行初等行變換，</p><p>　　所以得到R(B)=3</p><p>　　因為，所以根據(jù)Kronecker定理，該非齊次線性方

40、程組無解。</p><p><b>　　例2</b></p><p>　　設一個非齊次線性方程組有如下形式：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　求該線性方程組系數(shù)矩陣A與增廣矩陣B的秩，并求增廣矩陣B的一個最高階非零子式。</p><p>　　解：先

41、求系數(shù)矩陣A的秩，為此對A作初等行變換變成行階梯型矩陣：</p><p>　　因為行階梯型矩陣有3個非零行，所以R(A)=3</p><p>　　再求增廣矩陣B的秩，為此對B作出等行變換成行階梯型矩陣：</p><p>　　因為行階梯型矩陣有3個非零行，所以R(B)=3。由于R(A)=R(B)=3，所以該非齊次線性方程組有解。</p><p>

42、;　　再求增廣矩陣B的一個最高階非零子式，因為R(B)=3，知B的最高階非零子式為3階。B的3階子式共有個，要從40個子式中找出一個非零子式，是比較麻煩的?？疾霣的行階梯型矩陣，記，則矩陣的行階梯型矩陣為</p><p><b>　　。</b></p><p>　　由上面知R()=3，故中必有3階非零子式。的3階子式有4個，在的4個3階子式中找一個非零子式比在B中找非

43、零子式較方便。今計算的前三行構成的子式。</p><p>　　因此這個子式便是B的一個最高階非零子式。</p><p>　　例3 求解下列方程組</p><p>　　解：對于該線性方程組進行初等行變換，對增廣矩陣B進行初等行變換： </p><p>　　可以看出R(A)=R(B)=2，所以根據(jù)上述Kronecker定理，知該方程組有解，其中

44、A是方程組的系數(shù)矩陣。</p><p><b>　　接下去我們還能得到</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　取則有 。</b></p><p>　　所以就能得到方程組的一個解 </p><p><b>　

45、　。</b></p><p>　　在對應的齊次線性方程組</p><p><b>　　中，</b></p><p><b>　　取</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則可以得出 <

46、/b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　即得所對應的其次線性方程組的基礎解系為 </p><p>　　接下去我們可以得到通解為 </p><p>　　小結：在我們日常學習中，遇到最多的是線性方程組，包括齊次線性和非齊次線性兩種，上述的矩陣變換法是一種通法。對于非齊次線性方程組而言，在求

47、解過程中只需對系數(shù)矩陣和增廣矩陣進行初等行變換和列變換，然后根據(jù) Kronecker定理比較兩者的秩，如果相等，則方程組有解；如果不相等，則方程組無解。 </p><p>　　非齊次線性方程組的廣義逆矩陣法</p>

48、;<p><b>　　Penrose定理</b></p><p>　　非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件為，這里表示矩陣A的Moore—Penrose廣義逆。</p><p><b>　　廣義逆與最小二乘解</b></p><p>　　現(xiàn)在，為了下文的容易闡述，這兒說明一下廣義逆表出的最小二乘解。&l

49、t;/p><p>　　設，很多時候，線性方程組Ax=b是無解的，換句話說，對一切，殘差向量r=b—Ax都是非零的，這時，我們需要努力地尋求Ax=b的某種近似解，即尋求一個x，它能夠使殘差向量在一定情況下“最接近于”零。最常用的近似解是使該殘差向量的歐幾里得范數(shù)最小，即所謂的最小二乘解。</p><p>　　定義：若向量，使得取最小值，則稱x為Ax=b的最小二乘解。</p><

50、;p>　　定理：設，則為Ax=b的一個最小二乘解，這里為A的任意一個{1,3}—逆。</p><p>　　Penrose定理的應用</p><p>　　例：求解下列線性方程組</p><p>　　解：下面我們用廣義逆矩陣法進行求解，對于該方程組的系數(shù)矩陣，我們可以得到</p><p><b>　　所以有</b>&l

51、t;/p><p><b>　　接下去我們可以得到</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　根據(jù)Penrose定理我們就可以知道，這個方程組無解，是矛盾方程組。</p><p>　　小結：畢竟

52、特殊情況是少數(shù)，在日常應用中，我們更多的時候遇到的是非齊次線性方程組無解時的狀況，這時候矩陣變換法不再適用，所以我們需要創(chuàng)立新的數(shù)學理論以解決這一問題。無解的時候我們需要進行近似計算，以獲得最小二乘解，這樣的話，就能使誤差盡可能地小。廣義逆矩陣和最小二乘解是對矩陣理論的進一步補充，讓我們在面對新的問題時多了一個有力的數(shù)學工具。</p><p><b>　　兩種解法的比較</b></p&

53、gt;<p>　　每一個非齊次線性方程組Ax=b（），由前面的Kronecker定理知：該線性方程組有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣和對應的增廣矩陣有相同的秩，這兒的秩可以通過初等行變換或列變換得出，如果它有解，則稱之為相容線性方程組：反之，則稱之為不相容線性方程組或矛盾線性方程組。對于前者，我們主要有兩種有效的方法進行求解，即矩陣的初等變換法和廣義逆矩陣法，雖然具體形式不太一樣，但是實質和最終結果是等價的，有著異曲同工之

54、妙。而對于矛盾線性方程組第一種方法無能為力，但是廣義逆矩陣法卻有巨大的作用。</p><p><b>　　相容性線性方程組</b></p><p>　　對于任意一個非齊次線性方程組，如果它有解，則稱它為相容性線性方程組。即對于Ax=b，有</p><p>　　用初等行變換解相容性線性方程組</p><p>　　例：求解下

55、列非齊次線性方程組</p><p><b>　　。</b></p><p>　　解：由于該非齊次線性方程組是否有解無法直接判斷，所以先用矩陣的初等行變換法來判斷。它的增廣矩陣為</p><p><b>　　。</b></p><p>　　由Kronecker定理知，該方程組的系數(shù)矩陣和對應的增廣矩陣

56、的秩相等，所以該線性方程組為相容線性方程組，可以得出上述非齊次線性方程組的通解為（其中為任意常數(shù)）</p><p>　　用廣義逆矩陣法解相容性線性方程組</p><p>　　同樣是上面的例子：求解非齊次線性方程組</p><p>　　下面我們用廣義逆矩陣法進行求解，雖然方法相對繁瑣些，但只是為了進行簡單的比較，所以只能這樣。</p><p>

57、　　解：對于這個線性方程組，它的系數(shù)矩陣為</p><p>　　很容易就可以看出，它的秩等于2，所以A是行滿秩矩陣，通過簡單的計算就可以得到它的廣義逆矩陣</p><p><b>　　由于，</b></p><p>　　可以看出Ax=b為相容性線性方程組。它的通解為</p><p><b>　　。</b&

58、gt;</p><p>　　由前面的廣義逆矩陣和最小二乘解的相關知識可以知道：最小范數(shù)解的歐幾里得范數(shù)，顯然這是它的最小二乘解。</p><p>　　定理3：對于相容性線性方程組Ax=b，矩陣的初等變換法（行變換或列變換）所求的通解與廣義逆矩陣所求的通解是等價的。</p><p>　　證明：因為，所以由線性代數(shù)相關知識可以知道，矩陣的列向量是齊次線性方程組Ax=0的

59、解。</p><p>　　另外因為，由Sylvester不等式我們知道，又因為矩陣的秩加上矩陣的秩大于等于矩陣的秩（n）。所以有。因為，所以。</p><p>　　這說明矩陣的列向量與Ax=0基礎解系等價，從而可以看出矩陣的初等變換法所求的通解與廣義逆矩陣求的通解是等價的。</p><p><b>　　矛盾線性方程組</b></p>

60、<p>　　對于任意一個非齊次線性方程組，如果它無解，則稱它為矛盾線性方程組。即對于Ax=b，有</p><p>　　用初等行變換解矛盾線性方程組</p><p>　　在這里，我們仍然采用舉例的方法進行說明。</p><p>　　例：求解下列非齊次線性方程組</p><p>　　解：我們先用初等行變換進行求解，對該非齊次線性方程

61、組而言，有系數(shù)矩陣A的秩等于1，而它的增廣矩陣等于2。根據(jù)Kronecker定理，由于兩者不相等，所以該線性方程組為矛盾方程組，而用傳統(tǒng)的初等行變換無法求解。</p><p>　　用廣義逆矩陣法解矛盾線性方程組</p><p>　　同樣是上面的例子：求解非齊次線性方程組</p><p>　　解：下面我們用廣義逆矩陣法進行求解，對于該方程組的系數(shù)矩陣，我們可以得到&l

62、t;/p><p><b>　　所以有</b></p><p><b>　　接下去我們可以得到</b></p><p><b>　　，，</b></p><p>　　這樣我們就可以知道，這個方程組是矛盾方程組，只能求出其最小二乘解。最小二乘解的通式為</p><p

63、><b>　　。</b></p><p><b>　　其中，</b></p><p>　　為該矛盾線性方程組唯一的最小二乘解，它的范數(shù)值是極小的。</p><p><b>　　小結</b></p><p>　　任何數(shù)學理論都有自己的使用范圍，都有著自己的局限性，對于我們經

64、常使用矩陣理論也不會例外。對于非齊次線性方程組而言，常規(guī)的矩陣初等變換法在有解的時候是有效的，可是到了無解的情況時就無能為力了。所以廣義逆矩陣法應允而生，相比較而言，廣義逆矩陣法要比初等變換法更深刻，特別是對于矛盾線性方程組Ax=b，無效的后果根是無法與前者相比。</p><p><b>　　補充</b></p><p>　　廣義逆矩陣的相關求法</p>

65、<p>　　廣義逆矩陣概念是傳統(tǒng)的數(shù)學教科書上沒有涉及的新內容，廣義逆矩陣在很多領域中有著重要的作用，例如在測量學、統(tǒng)計學、經濟學及線性規(guī)劃等領域就有較為廣泛的應用。對與廣義逆矩陣而言，其基本理論還在不斷優(yōu)化中，以后的應用必將越來越廣。為此，我們需要簡單補充說明廣義逆矩陣的簡易求法。</p><p>　　廣義逆矩陣的計算方法一般有初等變換法和滿秩分解法。下面給出具體的行和列的初等變換求廣義逆矩陣的方法

66、。</p><p>　　設矩陣A是矩陣，它的秩等于r且等于m，但同時也小于n（這時候稱A為行滿秩），對A進行行和列的初等變換總可以將A變?yōu)槿缦路謮K矩陣。</p><p>　　當它的秩等于r且等于n小于m（這時候稱A為列滿秩），對A進行行和列的初等變換總可以將A變成如下的分塊矩陣</p><p>　　如果有該矩陣的秩等于r且小于m和n中較小的一個（這時候稱A為虧秩矩陣

67、）時，對A進行行和列的初等變換總可以將A變成如下的分塊形式</p><p>　　其中是階滿秩矩陣，，是具有適當階數(shù)的矩陣，并且它們滿足，即有下式成立：。這里P是一系列的行初等矩陣的積，Q是一系列的列初等矩陣的積。所以我們可以得到</p><p><b>　　,</b></p><p>　　而矩陣就是的廣義逆矩陣。</p><

68、p>　　如果我們設矩陣是對矩陣A進行的一系列的行初等變換；是對矩陣A進行的一系列的列初等變換。則接下去我們可以得到：</p><p>　　很顯然，，，這就是把同樣的行初等變換施加于E的結果是P，把同樣的列出等變換施加于E的結果便是Q。其中，是階滿秩矩陣，，是具有適當階數(shù)的矩陣且滿足，所以我們有，仍然和上面一樣，P是一系列的行初等矩陣的積，Q是一系列的列初等矩陣的積。</p><p>

69、　　當矩陣A為滿秩矩陣是有成立的，即它的廣義逆矩陣就是普通的逆矩陣。下面舉一個例子進行說明：</p><p><b>　　例：設</b></p><p><b>　　，求A的廣義逆矩陣</b></p><p>　　解：容易求出該矩陣的秩等于2</p><p><b>　　，。</b&

70、gt;</p><p>　　從而我們可以得出矩陣A的某一個廣義逆矩陣為</p><p>　　在這兒需要指出的是，上述方法對于求長方形虧秩矩陣的廣義逆矩陣非常方便，實際計算時，有些矩陣只需要進行行初等變換或列初等變換就可以將其變成滿秩矩陣，這使得運算更為簡便。</p><p>　　布爾矩陣的廣義逆矩陣的計算</p><p>　　隨著計算機技術的

71、飛速發(fā)展，二進制已經被大家普遍接受了，二進制中只有0和1兩個元素。布爾矩陣應運而生，布爾矩陣就是一個矩陣中只有0和1兩個元素。對于這類矩陣，我們這兒簡單說明下計算它們的廣義逆矩陣時所需要的知識。</p><p>　　首先，設，如果存在一個矩陣，使得下式成立：ABA=A，則稱為A是正則的，同時稱矩陣B是矩陣A的一個廣義逆矩陣。</p><p>　　然后，設，矩陣G是矩陣A的一個廣義逆矩陣，如

72、果對于矩陣A的任意廣義逆矩陣B，均滿足，則稱矩陣G是矩陣A的最大廣義逆矩陣。</p><p>　　這兒補充一個定理：設，矩陣A為正則矩陣的充分必要條件是，這時候，矩陣是矩陣A的最大廣義逆矩陣。證明較為繁瑣，這兒略去。</p><p><b>　　態(tài)射</b></p><p>　　我們都知道，在歐幾里得空間中矩陣的變換是一種關系變換，矩陣的變換可

73、以使事物之間發(fā)生聯(lián)系。我們在這兒補充一下有關態(tài)射的知識。在數(shù)學理論上，一個態(tài)射是兩個數(shù)學結構之間保持結構的過程的一種抽象。最常見的這種態(tài)射過程的例子是在某種意義上保持結構的函數(shù)或映射。在集合論知識中，例如，態(tài)射就是函數(shù)；在群輪中，它們就是群同態(tài)；而在拓撲學上，它們是連續(xù)函數(shù)；在泛代數(shù)的范圍內，態(tài)射通常就是同態(tài)。態(tài)射的引申會對我們理解矩陣結構關系有幫助，近世代數(shù)中群的知識就讓我們對同態(tài)加深了印象。對于態(tài)射和它們定義于其間的結構（或對象）的

74、抽象的研究就構成了范疇論的一部分。在范疇論中，態(tài)射不必是函數(shù)，而通常被視為兩個對象間的箭頭，有時候這兩個對象不必是集合。不像映射一個集合的元素到另外一個集合，態(tài)射只是用來表示域和陪域間的某種關系。這樣的話，態(tài)射就比通過矩陣變換聯(lián)系起來的關系更為廣泛和一般了。盡管態(tài)射的本質看起來很抽象，多數(shù)人無法正確理解，理解基本都是通過具體范疇的例子。不過這些并不會影響態(tài)射的應用。</p><p>　　這兒補充態(tài)射的一些最基本知

75、識，只是因為它與廣義逆矩陣有些聯(lián)系，能夠更為深入了解廣義逆矩陣而已，并沒有刻意而為。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]白素英 關于非齊次線性方程組 Ax=b兩類解法的對比 哈爾濱金融高等專科學校學報 2010年7月 第3期 </p><p>　　[2]侯雙根 廣義分塊對角矩陣的廣義逆矩陣 鄭

76、州工學院學報 1992年6月 第l3卷 第2期 </p><p>　　[3]伊崇信 戴洪才 一種求布爾矩陣全體廣義逆的新算法 齊齊哈爾輕工學院學報 1990年6月 第6卷第2期</p><p>　　[4]周立仁 矩陣加權Moore--Penrose 逆的通式 青海師范大學學報(自然科學版) 2010年第2期 </p><p>　　[5]宋小

77、力 AX = B型矩陣方程解集的結構 曲阜師范大學學報 2010年7月 第36卷 第3期</p><p>　　[6]邵俊倩 關于Moore-Penrose 逆的若干性質 巢湖學院學報 2009年第 11卷第6期 總第99期</p><p>　　[7]賀永會 矩陣方程 AiXiBi = C在特定條件下的解 山東輕工業(yè)學院學報 2009年11月</p>

78、<p>　　[8]郭玲 付敏 向慶 線性方程組AX= B的識別反問題及其應用 內江師范學院學報 第23卷(增)(2008)</p><p>　　[9]羅成林 求廣義逆矩陣的方法 高師理科學刊 2007年5月 第27卷 第3期 </p><p>　　[10]Ramazan Turkmen,Durmus Bozkurt 關于柯西托普利茨矩陣和柯西漢克爾矩陣標準