初等幾何研究——《introduction to geometry》中對三角形性質的探究【開題報告+文獻綜述+畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文開題報告</b></p><p><b>　　數(shù)學與應用數(shù)學</b></p><p>　　初等幾何研究——《Introduction to Geometry》中對三角形的研究</p><p><b>　　選題的背景與意義</b></p><p&

2、gt;　　初等幾何的發(fā)展源遠流長，內容浩煙如海，方法變化多端，在它的發(fā)展過程中，引發(fā)出各種各樣的幾何學；各種幾何的獨特方法，反饋到初等幾何，被初等幾何吸收和包容，又促使它在內容和方法上得以不斷豐富和拓展。因此，研究初等幾何方法，必須統(tǒng)觀其發(fā)展過程，從發(fā)展的不同階段的特征中理出方法拓展的不同層次，以獲得對初等幾何方法較系統(tǒng)全面的了解。</p><p>　　數(shù)學發(fā)展到今天，初等數(shù)學已經相當成熟了，古老的初等幾何更是如

3、此。公元前330年的歐幾里得的《幾何原本》問世，初等幾何已達到了頂峰，但是初等幾何的一些定理、方法至今還在不斷地被發(fā)現(xiàn)，而且仍具魅力。近年來初等幾何的各種方法的研究有了較大的進展，我國初等幾何的方法研究可以說有了廣泛的基礎。在數(shù)學問題中，問題的開放式越來越重要，如一個題目，給出條件，去發(fā)現(xiàn)結論，在證明，或給出結論，要去發(fā)現(xiàn)條件，其中常要類比，并引申出新的問題，如果做了這些工作，對我們傳統(tǒng)古老的初等幾何更是進行了升華。</p>

4、<p>　　二、研究的基本內容與擬解決的主要問題</p><p>　　了解初等幾何的發(fā)展和方法研究；翻譯課本，了解初等幾何中三角形部分的主要概念及定理；在理解內容的基礎上通過課后習題進一步掌握重點；對其中部分知識做更深入的探索。</p><p>　　三、研究的方法與技術路線</p><p>　　查閱相關資料，完成《Introduction to Geo

5、metry》中對三角形的研究部分的翻譯。在指導老師的指導下完成論文。</p><p>　　研究的總體安排與進度</p><p>　　2010．11—2010．12：查閱相關資料，并做些準備工作。</p><p>　　2010．12—2011．01：12月17日前完成文獻綜述和開題報告并交學院審批。</p><p>　　2011．01—2011

6、．03：完成論文的基本思路和框架。</p><p>　　2011．03—2011．04：4月4日完成兩篇外文的翻譯.完成畢業(yè)設計（論文）初稿，</p><p>　　交指導老師審批、修改。</p><p>　　2011．04—2011．06：畢業(yè)論文定稿、修改、打印。</p><p><b>　　五、參考文獻</b><

7、;/p><p>　　[1] 《幾何學的發(fā)展與初等幾何方法研究》 鄧鶴年、姜樹民 松遼學刊（自然科學版） 2001.02</p><p>　　[2] 《初等幾何問題的類比、引申探究》 馮德雄 成都大學學報（教育科學版） 2008.08</p><p>　　[3] 《初等幾何的應用舉例》 呂學禮 </p><p>　　[4] 《初等幾何中基

8、本作圖題的作圖方法》 曾壽清 龍巖師專學報 2000.06</p><p>　　[5] 《關于第一篇羅氏非洲幾何論文》 李迪、羅見今 內蒙古師大學報（自然科學） 1988</p><p>　　[6] 《歐幾里德<幾何原本>評介》 宋文檀 高玉彪 榆林高等專科學校數(shù)學學報 2002.04</p><p>　　[7] 《三角形內角和定理的演變在數(shù)學

9、發(fā)展中的作用》 張銳梅、李冰 高師理科學刊 2009.03</p><p>　　[8] 《三等分角線構成的三角形的性質》 梁卷明 中學數(shù)學 1997</p><p>　　[9] 《歐拉線定理證法集萃》 李善明、魏春強 內江科技 2008.11</p><p>　　[10] 《莫利定理的簡潔證明》 梁卷明 中學數(shù)學 2000.08</p><

10、p>　　[11] 《涉及三角形內點的一類幾何不等式》 姜衛(wèi)東 北京聯(lián)合大學學報（自然科學）2004.12</p><p>　　[12] 《銳角三角形中線與角平分線的幾個不等式》 劉健 湖州師范學院學報 2008.02</p><p>　　[13]《What is Elementary Geometry?》 Studies in Logic and the Foundations of

11、 Mathematics, Volume 27, 1959, Alfred Tarski</p><p>　　[14]《The first Chinese translation of the last nine books of Euclid’s Elements and its source》 Historia Mathematica, Volume 32, February 2005, Yibao Xu&l

12、t;/p><p><b>　　畢業(yè)論文文獻綜述</b></p><p><b>　　數(shù)學與應用數(shù)學</b></p><p>　　初等幾何研究——《Introduction to Geometry》中對三角形的研究</p><p>　　初等幾何的發(fā)展源遠流長，內容浩煙如海，方法變化多端，在它的發(fā)展過程中，

13、引發(fā)住各種各樣的幾何學；各種幾何的獨特方法，反饋到初等幾何，被初等幾何吸收和包容，又促使它在內容和方法上得以不斷豐富和拓展。因此，研究初等幾何方法，必須統(tǒng)觀其發(fā)展過程，從發(fā)展的不同階段的特征中理出方法拓展的不同層次，以獲得對初等幾何方法較系統(tǒng)全面的了解。為此，文獻[1]回顧了幾何學的發(fā)展過程和它對拓展初等幾何方法的影響。歐幾里得《幾何原本》的形成是使幾何知識邏輯化，通過邏輯推理把當時搜集到的幾何知識編排成一個系統(tǒng)的理論；亞歷山大里亞數(shù)學

14、家使用無理數(shù)，自由地把數(shù)用之于幾何量，使幾何從純粹定性研究的桎梏中得以解放，這項工作的高峰是三角術的發(fā)展；文藝復興使幾何學也得到了復興，由于建筑、繪圖、測量等的需要，由初等幾何發(fā)展成射影幾何，它的思想、理論和方法反過來作用于初等幾何，就是利用變換的理論和方法解決初等幾何問題；解析幾何的創(chuàng)立開創(chuàng)了幾何代數(shù)化的洗洗農技員，它借助于坐標系實現(xiàn)了幾何結構的數(shù)量化，由此把形與數(shù)、幾何與代數(shù)得到了統(tǒng)一；幾何定理證明的機械化思想來自希爾伯特的《幾何基

15、礎》，近代公理法體系的形成，幾何代數(shù)化方法的創(chuàng)立和</p><p>　　從以上的回顧中得知，初等幾何方法按其發(fā)展可劃分成下列五個層次：</p><p>　　1.基本邏輯方法（主要是指分析法與綜合法）是貫徹于整個初等幾何中的基本方法，是其他幾何方法的基礎，是初等幾何的本質。</p><p>　　2.度量化方法是就幾何圖形內在的性質的表現(xiàn)形式（形與量）的轉化而言的，它是

16、初等幾何的常用方法。</p><p>　　3.變換方法就是幾何圖形內在關系結構的轉化而言的，它是初等幾何的輔助方法。</p><p>　　4.代數(shù)化方法是就空間關系結構表現(xiàn)形式的轉化而言的，它是超脫于幾何圖形本身的輔助方法。</p><p>　　5.機械化證明方法是就幾何關系結構轉化為按程序計算而言的，它是超脫于人們對初等幾何為題原有思路的現(xiàn)代化的科學方法。<

17、/p><p>　　古老的初等幾何發(fā)展到今天已經相當成熟了，但是一些定理至今還在不斷地被發(fā)現(xiàn)，而且仍具魅力，不論什么學科，發(fā)現(xiàn)的方法和探究方法非常重要。初等幾何問題如何發(fā)現(xiàn)，數(shù)學如何發(fā)現(xiàn)，美國數(shù)學教育家J波利亞在他的《數(shù)學與猜想》等著作中已向人們展示了許多數(shù)學發(fā)現(xiàn)的方法和研究的方法。文獻[2]通過科學發(fā)現(xiàn)的一般方法，提出初等幾何的類比模式與方法、引申幾何問題的模式與方法，并得到幾個典型的幾何問題類比、引申的案例和發(fā)現(xiàn)結

18、果。文獻[3]從幾何來源于實踐又運用于實踐的角度，舉出了實際生活中運用初等幾何的24個例子，并從初等幾何的應用的教學內容、實際領域、應用特點等方面，得出“解決實際問題，除了需要具有解決一般問題所需要的幾何知識外，更需要具備較多的分析、解決問題的能力。文獻[4]以實例探討了初等幾何中基本的作圖方法。</p><p>　　基于以上對初等幾何發(fā)展過稱及研究方法的了解，結合課本《Introduction to Geome

19、try》中第一章對三角形部分的論述，這一部分主要回顧了初等幾何中的一些著名命題，強調了對稱性的重要作用，參照已經被使用兩千多年的歐幾里得的命題，以及前人在十九世紀翻譯過的被仔細研究過的著述中提到的一些觀點，從等腰三角形的性質、中線和重心、內切圓和外接圓、歐拉線和垂心、九點圓、兩個極限問題、莫利定理等幾個方面研究三角形的性質。文獻[6]到文獻[12]對這部分內容做了相應的拓展，有助于深入理解，完成本文的翻譯工作。</p>&

20、lt;p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　[1] 《幾何學的發(fā)展與初等幾何方法研究》 鄧鶴年、姜樹民 松遼學刊（自然科學版） 2001.02</p><p>　　[2] 《初等幾何問題的類比、引申探究》 馮德雄 成都大學學報（教育科學版） 2008.08</p><p>　　[3] 《初等幾何的應用舉例》 呂學禮

21、 </p><p>　　[4] 《初等幾何中基本作圖題的作圖方法》 曾壽清 龍巖師專學報 2000.06</p><p>　　[5] 《關于第一篇羅氏非洲幾何論文》 李迪、羅見今 內蒙古師大學報（自然科學） 1988</p><p>　　[6] 《歐幾里德<幾何原本>評介》 宋文檀 高玉彪 榆林高等?？茖W校數(shù)學學報 2002.04</

22、p><p>　　[7] 《三角形內角和定理的演變在數(shù)學發(fā)展中的作用》 張銳梅、李冰 高師理科學刊 2009.03</p><p>　　[8] 《三等分角線構成的三角形的性質》 梁卷明 中學數(shù)學 1997</p><p>　　[9] 《歐拉線定理證法集萃》 李善明、魏春強 內江科技 2008.11</p><p>　　[10] 《莫利定理的簡

23、潔證明》 梁卷明 中學數(shù)學 2000.08</p><p>　　[11] 《涉及三角形內點的一類幾何不等式》 姜衛(wèi)東 北京聯(lián)合大學學報（自然科學） 2004.12</p><p>　　[12] 《銳角三角形中線與角平分線的幾個不等式》 劉健 湖州師范學院學報 2008.02</p><p>　　[13]《What is Elementary Geometry?》 S

24、tudies in Logic and the Foundations of Mathematics, Volume 27, 1959, Alfred Tarski</p><p>　　[14]《The first Chinese translation of the last nine books of Euclid’s Elements and its source》 Historia Mathematica

25、, Volume 32, February 2005, Yibao Xu </p><p><b>　　本科畢業(yè)設計</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　初等幾何研究——《Introduction to Geometry》中對三角形性質的探究</p><p&g

26、t;<b>　　摘要</b></p><p>　　【摘要】歷史上對于初等幾何的研究源遠流長，內容浩煙如海，方法變化多端，初等幾何發(fā)展與完善是數(shù)學發(fā)展的一個重要組成部分。兩千多年前偉大的數(shù)學家歐幾里得對初等幾何的研究做出了巨大貢獻，他的著作《幾何原本》對后進數(shù)學及其它科學的產生起了不可估量的作用。</p><p>　　本文對H. S. M. Coxerter的《Intr

27、oduction to Geometry》一書第一章三角形部分內容進行了研究翻譯，回顧了歐幾里得關于初等幾何的一些有趣的著名命題。</p><p>　　【關鍵詞】初等幾何；歐幾里得；三角形；對稱。</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　【ABSTRACT】Researches in the elementar

28、y geometry had a long history, because elementary geometry was rich and colorful in content, and its approaches to problems were the most changeful. The development and improvement of elementary geometry played an import

29、ant part in the course of the history of mathematics. Two thousand years ago, Euclid, the great mathematician, made a significant contribution to the development of elementary geometry. His monumental work, <Elements&

30、gt;, made a great influence o</p><p>　　This article focuses on the translation to Chapter 1 of H. S. Coxerter’s <Introduction to Geometry>, which is about “Triangles”, and reviews a few Euclid’s famous

31、 propositions that seem particularly interesting.</p><p>　　【KEYWORDS】elementary geometry; Euclid; triangles; symmetry.</p><p><b>　　目　錄</b></p><p><b>　　摘要7</b&g

32、t;</p><p>　　Abstract8</p><p><b>　　目　錄9</b></p><p><b>　　1緒論10</b></p><p>　　1.1初等幾何10</p><p>　　1.2歐幾里得與《幾何原本》10</p>&l

33、t;p>　　2《Introduction to Geometry》（《幾何簡介》）11</p><p>　　第一章 三角形11</p><p>　　2.1歐幾里得11</p><p>　　2.2基本概念及定理12</p><p>　　2.3“笨人難過的橋”13</p><p>　　2.4中線和

34、形心17</p><p>　　2.5內切圓和外接圓18</p><p>　　2.6歐拉線和垂心24</p><p>　　2.7九點圓25</p><p>　　2.8兩個極值問題27</p><p>　　2.8.1Fagnano問題28</p><p>　　2.8.2Fer

35、mat 問題29</p><p>　　2.9莫利定理30</p><p>　　2.9.1莫利定理31</p><p><b>　　3結束語32</b></p><p><b>　　3.1小結32</b></p><p><b>　　參考文獻34&

36、lt;/b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p>　　附錄錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　緒論</b></p><p><b>　　初等幾何</b></p><p>　　統(tǒng)觀初等幾何發(fā)展的過程，我們可以獲得對初等幾何較為系統(tǒng)全

37、面的了解。從歐幾里得《幾何原本》的誕生，到亞歷山大里亞數(shù)學家對無理數(shù)的使用，到文藝復興時期射影幾何的發(fā)展，到解析幾何開辟幾何代數(shù)化新紀元，再到幾何定理證明機械化道路的開創(chuàng)，初等幾何的發(fā)展源遠流長，人們對初等幾何的研究存在于整個人類文明史，其內容和方法在人們不斷地研究探索中逐步成熟完善和拓展。盡管初等幾何發(fā)展到今天已經達到了成熟的階段，但是一些新的定理新的解決問題的方法仍源源不斷得被人們所發(fā)現(xiàn)，而且仍具有強大的吸引力。</p>

38、<p>　　歐幾里得與《幾何原本》</p><p>　　說到初等幾何，不得不提的是被后人尊稱為“幾何學之父”的希臘數(shù)學家歐幾里得（Euclid 公元前330-前275），他的巨著《幾何原本》與他一起名垂千古，集整個古希臘數(shù)學的成果和精神于一書，也集前人思想和歐幾里得個人創(chuàng)造性于一體，是使用公理化方法建立起演繹數(shù)學體系的最早典范、不朽之作。歐幾里得把人們公認的一些事實列成定義和公理，以形式邏輯的方法，

39、用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質，建立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理的幾何學論證方法，形成了一個嚴密的邏輯體系——幾何學，而這本書也就成了歐式幾何的奠基之作。它既是數(shù)學巨著，又是哲學巨著，兩千多年來一直被廣泛流傳，對整個人類文明都產生了巨大的影響。從它十三卷的內容可以看出，目前中學課程里的初等幾何的主要內容已經完全包含在《幾何原本》里了，直至今日，中學幾何教材的內容和體系仍保留了《幾何原本》的基本特點。</p&g

40、t;<p>　　本文翻譯的H. S. M. Coxeter的英文著作《Introduction to Geometry》第一章《三角形》就是依據(jù)歐幾里得的命題順序進行的，回顧了許多有關初等幾何的著名命題，從等腰三角形的性質、中線和重心、內切圓和外接圓、歐拉線和垂心、九點圓、兩個極限問題、莫利定理等幾個方面對三角形以及特殊三角形的性質進行了探究。譯文如下：</p><p>　　《Introductio

41、n to Geometry》（《幾何簡介》）</p><p><b>　　第一章 三角形</b></p><p>　　本章我們回顧初等幾何的一些著名命題，強調對稱的重要性。我們將按照歐幾里得的順序來參考他那些已經被全世界使用了兩千多年的命題。F. Commandino (1509-1575) 翻譯了Archimedes，Apollonius以及Pappus的許多作品，

42、自從他那個時代，人們又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了許多在相同精神上的其他理論。19世紀人們仔細地研究了這些成果。由于目前的趨勢是拋棄這些理論而偏向于其他一些數(shù)學分支，我們將提及其中一些看起來特別有趣的部分。</p><p><b>　　歐幾里得</b></p><p>　　在現(xiàn)在所有的教科書被廢棄和遺忘之后，歐幾里得的作品將被永世傳頌。它是古代最卓越的典范之一。</p>

43、<p>　　——Sir Thomas L. Heath (1861-1940)</p><p>　　大約公元前300年，亞歷山大（埃及港市）的歐幾里得分13卷完成了一個巨著——《幾何原本》。對于作者我們知之甚少（令人遺憾的是，人們經常把他同早先的哲學家Euclid of Megara相混淆）。Proclus(410-485A.D.)說：“他將《幾何原本》構造成一個整體，收集了Eudoxus的許多理論，完

44、善了Theaetetus的許多理論，并且?guī)砹藢λ囊恍┣拜厒冏C明得不是很確切的東西的示范。這個人生活在第一個Ptolemy時代，Ptolemy曾經問他在幾何學中是否有比《幾何原本》更短的捷徑，他回答說，幾何學中沒有捷徑?！盚eath曾引用過Stobaeus的一個故事，講的是一個開始向歐幾里得學習幾何的人，他問歐幾里得：“我學習這些東西會得到什么呢？”歐幾里得叫來他的奴隸對他說：“給他一枚銀幣，因為他想在學習中獲得實利。”</p&

45、gt;<p>　　在這十三本書中，前六本可以簡要地描述為分別有關三角形、矩形、圓、多邊形、比例及相似性的問題。接下來的四本，是有關數(shù)字的理論，包括兩個著名的論述：Ⅸ.2和Ⅹ.9。它們證明了“素數(shù)有無限多個”以及“是無理數(shù)”[Hardy 2,第32-36頁]。第十一本書是對立體幾何的介紹，第十二本書是有關角錐體、圓錐體和圓柱體的，第十三本是有關五面體的。</p><p>　　據(jù)Proclus所說，歐幾

46、里得“把所謂的柏拉圖式結構放在自己之前，作為整個《幾何原本》的結尾”。歐幾里得這個議題的概念得到了Platonic關于四種立體結構神秘對應關系的理論的支持。</p><p>　　[比較Coxeter 1,第18頁]</p><p>　　算數(shù)書Ⅷ-X提供了反對命題的證據(jù)，這些書明顯包含了它們內在的趣味性而不是立體幾何的應用價值。</p><p><b>　　

47、基本概念及定理</b></p><p>　　“當我使用一個單詞時，”Humpty-Dumpty說，“那就是我選擇它所想要表達的意思——不多也不少。”</p><p>　　——Lewis Carroll(1832-1898)</p><p>　　[Dodgson 2,第六章]</p><p>　　在數(shù)學分支的邏輯發(fā)展中，每一個概念或

48、關系的定義都包含了其它的概念和關系。因此防止惡性循環(huán)的唯一方法就是允許有運用一些不需要定義的特定的基本概念和關系（通常越少越好）[Synge 1,第32-34頁]。</p><p>　　類似地，每個命題的證明都需要運用其它的命題，因此也要有一些不需要證明的被稱為“公設”或者“定理”的基本命題。歐幾里得沒有具體指定他的基本概念和關系，但給出了一些依據(jù)大多數(shù)人都認可的觀點而得出的定義。他的五個公設如下：</p&

49、gt;<p>　　1.21 兩點確定一條直線</p><p>　　1.22 直線可以無限延長</p><p>　　1.23 已知圓心和半徑可以確定一個圓</p><p>　　1.24 所有直角都相等</p><p>　　1.25 一直線與另外兩直線相交，如果無限延長，另外的兩直線在與第一條直線交角和小于 的一邊相交。</p

50、><p>　　非常自然的是，在2250年時間的流逝之后，一些細節(jié)現(xiàn)在似乎有可以改善的可能。（例如，Euclid Ⅰ.1通過畫兩個圓構造了一個等邊三角形；但是我們如何知道這兩個圓是怎樣相交的呢？）神奇的是，歐幾里得的許多成果仍保持著完全的正確。在對他的幾何學的現(xiàn)代論述中，[參見Coxeter 3,第161-187頁]，通常都會公認基本的定義“點”和兩個基本的關系“中間”（一個點一定在其他兩點之間）和“迭合”（兩點間的距

51、離可以與另外兩點間的距離相等/兩條線段的長度可以相等）。</p><p>　　歐幾里得的用來證明Ⅰ.4的“重合原理”提出了一個問題：“一個圖形若不改變內部結構是否可以移動”。這個原理現(xiàn)在已經被更為明確的假設所代替。例如公理“有尾巴的三角形的固定性”（圖1.2a）：</p><p>　　1.26 是三角形的一邊延長線上的一點，是類似的另一個三角形的一邊延長線上的一點，若，，，，那么。<

52、/p><p>　　這個公理可以將全等的概念進行拓展，從線段到更加復雜的圖形，例如角，因此我們可以通過關系明確地說出我們的意思。那么我們就不再需要用于證明Euclid Ⅰ.4的那個有爭議的“重合定理”了：</p><p>　　如果兩個三角形兩邊對應相等，并且這兩邊的夾角也對應相等，則它們的第三邊也對應相等，剩下的兩個角也對應相等；事實上，它們是全等的。</p><p>&

53、lt;b>　　“笨人難過的橋”</b></p><p>　　Minos：有人建議采用等腰三角形的方法來證明1.5，將它翻轉，然后覆蓋原三角形。</p><p>　　Euclid：當然，就像愛爾蘭公牛反芻一樣，人們會生動地提醒自己在喉嚨里消化所學到的東西，把空間用來存放嚴格的哲學論文？</p><p>　　Minos：我想它的辯護者們會說，只是設想留

54、下了它的軌跡，扭轉后的三角形覆蓋在留下的軌跡上。</p><p>　　——C. L. Dodgson (1832-1898) </p><p>　　[Dodgson 3, 第48頁]</p><p>　?、?5 等腰三角形兩底角相等</p><p>　　這個著名理論的名字“笨人難過的橋”好像源于歐幾里得圖形（在他相當復雜的證明過程中所需的輔助

55、線）橋一樣的外觀，以及那個“過不了這座橋的人是傻瓜”的說法。幸運的是，耶穌紀元后340年，Pappus of Alexandria提供了一個更為簡單的證明方法（圖1.3a）：</p><p>　　在等腰三角形中，，我們設想三角形為兩個重合的三角形，并通過這種方式討論。既然，，那么兩邊、分別與、相等。同樣地，也就等于。因此任何相應的部分（對于三角形和三角形）都是相等的。特別地，。</p><p&

56、gt;　　將等腰三角形同它自己相比較的教學難點，有時可以通過連結頂點以及底邊的中點而避免。中線可以看作是一面映射到的鏡子。因此，我們說等腰三角形是反射對稱的或者左右對稱的（當然，這面理想化的鏡子在幾何學中是沒有厚度的，并且兩面都可以反射）。因此不僅僅是的映射，而且也是的映射。</p><p>　　任何圖形，不論它的形狀有多么不規(guī)則，當我們把它放到一個鏡子旁邊并且忽略實物與像之間的差別時，將產生一個對稱的圖形。這種

57、左右對稱性是大多數(shù)動物的外形所特有的。</p><p>　　給出幾何學鏡面一邊的任意一點，可以過點作鏡面的垂線并在另一邊延長至相等的距離來構造影像點，因此鏡面垂直平分線段。在平面上以直線代替鏡面，我們分別以和做圓心，以、為半徑作兩個圓，兩圓的交點即為和。</p><p>　　我們將會發(fā)現(xiàn)，如果運用對稱原理，許多幾何證明可以被簡化而且更加清晰。但是我們必須記得這個過程僅僅是一個刪節(jié)：每一個這

58、樣的爭論只能借助涉及全等三角形的一種拐彎抹角的說法來避免。例如，因為三角形與三角形是全等的，所以上述的構造是有根據(jù)的。</p><p>　　“笨人難過的橋”有許多有用的結論，例如如下五例：</p><p>　　Ⅲ.3 如果一個圓的直徑二等分一條不過圓心的弦，那么這條直徑一定垂直于這條弦；</p><p>　　或者，如果一個圓的直徑垂直于一條不過圓心的弦，那么這條

59、直徑一定二等分這條弦。</p><p>　　Ⅲ.20 圓心角等于圓切角的二倍</p><p>　?、?21 在一條弦所對應的劣弧上任取兩點，這兩點與這條弦的兩端點的連線所成的夾角相等。（例如，在圖1.3c中，）</p><p>　　Ⅲ.22 圓內接四邊形的兩對角和等于</p><p>　?、?32 在一條弦所對應的劣弧上任取一點，這一點與弦的

60、兩端點的連線所成的夾角同圓在弦的端點處的切線與弦所成夾角相等。（例如，在圖1.3c中）</p><p>　　類似地，我們也將有機會在三角形中使用兩個類似的定理：</p><p>　　Ⅵ.2 在三角形中，若∥，則;</p><p><b>　　若，則∥</b></p><p>　　Ⅵ.4 如果兩個三角形的對應角相等，那么相

61、應的角的兩邊成比例。</p><p>　　結合Ⅲ.21和Ⅲ.32的最終結果，我們推斷出關于圓的割線的兩個重要的性質（如圖1.3c）：</p><p>　?、?35 兩條直線與在圓內相交于點，則</p><p>　?、?36 圓的一條切線與一條割線相交于圓外一點，則</p><p>　　第六卷還包括一個有關面積的重要性質：</p>

62、<p>　?、?19 相似三角形的面積之比等于對應邊長度之比的平方</p><p>　　這一結果產生了一下對畢達哥拉斯定理[見Heath 1，第353頁；第210，232,268頁]的簡單證明：</p><p>　?、?47 在直角三角形中，斜邊長度的平方等于兩直角邊長度的平方和</p><p>　　在三角形，是直角，作垂直于斜邊，如圖1.3d。我們得到

63、了三個相似的直角三角形、、，斜邊分別為、、。根據(jù)Ⅵ.19，面積滿足</p><p><b>　　明顯地，。因此。</b></p><p><b>　　中線和形心</b></p><p>　　東方的數(shù)學可能是有趣的好奇心，但希臘的數(shù)學是真實的東西……希臘人，就像Littlewood對我說過的一樣，不是聰明的學生或者“獎學金的

64、候選人”，而是“學院的院士”。所以希臘的數(shù)學是持久的，甚至比希臘的文學還要持久。當埃斯庫羅斯被眾人遺忘時，阿基米德還會被銘記，因為語言會消亡而數(shù)學的思想不會。</p><p>　　——G. H. Hardy （1877-1947) </p><p>　　[Hardy 2, 第21頁 ]</p><p>　　三角形的一個頂點與對邊中點的連線成為“中線”。</p&

65、gt;<p>　　假設三條中線中的其中兩條和相交于點（圖1.4a）。設與的中點分別為、。根據(jù)歐幾里得Ⅵ.2和Ⅵ.4（在第8頁中引用），與都平行且等于的一半。因此，是一個平行四邊形。又因為平行四邊形的兩對角線互相平分，我們有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　因此兩條中線和在點三等分。換句話說，若點被定義為一條中線的三等分點，那它

66、也是另外兩條中線的三等分點。這樣，我們就證明了[通過Court 1，第58頁的方法]如下的定理：</p><p>　　1.41 三角形的三條中線交于一點</p><p>　　這個三條中線的公共點稱為三角形的“形心”。 Archimedes (c. 287-212 b.c.)把它作為一個密度均勻的三角形板的重心。</p><p><b>　　內切圓和外接圓&

67、lt;/b></p><p>　　一個人的夜晚，我讀《圣經》比《歐幾里得》要多。</p><p>　　——Robert Buchanan （1841 -1901) </p><p>　　[An Old Dominie's Story]</p><p>　　歐幾里得Ⅲ.3告訴我們，一個圓可以被任意直徑分成兩個對稱的部分。（然而橢圓

68、只能被兩條特殊的直徑分成兩個對稱的部分：長軸和短軸）。另外，兩條切線所成的夾角可以被兩條切線的公共點與圓心的連線平分。</p><p>　　通過考慮到三角形一個角兩邊的距離相等的點的軌跡，我們可以看到，三角形的內、外角平分線相交于四個點、、、，如圖1.5a，以這四個點為圓心可以作四個圓與三條邊、、相切。其中，在三角形內部的內心是三角形內切圓的圓心（歐幾里得Ⅳ.4）。其它三個是外心、、：是旁切圓（或者外圓）的圓心[

69、Court 2，第72-88頁]。內切圓的半徑是內半徑，旁切圓的半徑是外半徑、、。</p><p>　　在描述一個三角形時，我們通常令</p><p><b>　　，，，</b></p><p><b>　　半周長</b></p><p><b>　　，</b></p&g

70、t;<p>　　角表示為，，，面積為。</p><p><b>　　因為,我們有：</b></p><p><b>　　1.51 </b></p><p>　　這一結論將會在第九節(jié)中用到。</p><p>　　因為三角形是以為底，以為高的三角形，所以它的面積為。綜合三個這樣的三角形，

71、我們推斷：</p><p><b>　　類似地，。因此，</b></p><p>　　1.52 </p><p>　　從著名的公式，我們發(fā)現(xiàn)</p><p><b>　　由此，</b></p><p>　　1.53 </p&g

72、t;<p>　　這個著名的表達式將在第18章第4節(jié)備用稿，它是屬于Heron of Alexandria（公元60年）的，但是是Archimedes發(fā)現(xiàn)的（見B. L. van der Waerden，科學新知，牛津大學出版社，紐約，1961年，第228-277頁）。結合Heron的公式和1.52，我們得到</p><p><b>　　1.531 ，</b></p>

73、<p>　　另一個有關圓的對稱性的結果是，三角形的三條邊的垂直平分線都通過外心，點是外接圓的圓心（歐幾里得IV.5）。這是過三個頂點、、的唯一的一個圓。它的半徑稱為三角形的外接圓半徑。因為圓心角（圖1.5b），等于兩倍的角，所以全等直角三角形和直角三角形在點處有一個等于角的角，因此</p><p><b>　　，</b></p><p>　　1.54

74、 </p><p>　　過作垂直于，連接與圓心并延長，交外接圓于點K，如圖1.5c。根據(jù)歐幾里得Ⅲ.21，直角三角形和直角三角形是相似三角形，因此</p><p><b>　　,.</b></p><p><b>　　因為,所以有</b></p><p>　　1.55

75、 </p><p>　　因此五個半徑通過一個公式聯(lián)系在一起：</p><p>　　1.56 </p><p>　　現(xiàn)在我們考慮相切于6個不同點的4個圓、、、。每個圓都有一個曲度，定義為半徑的倒數(shù)與一個未知符號的乘積，即如果所有的切點都在外部（像在圖1.5d中“輕圓”的情況），則曲度都是正的；但如果有一個圓繞其他三個（像“重圓”的情況），則最大

76、圓的曲度取負值；并且把點看做是曲度為0的圓。不管怎樣，四個曲度的和是正的。</p><p>　　在1643年11月給波西米亞的伊麗莎白公主的一封信中，Rene Descartes詳盡地闡述了有關四個相互相切的圓的半徑的公式?！扒取钡淖⑨屖牵?lt;/p><p>　　1.57 </p><p>　　這個笛卡兒圓定理在1842年被一個英國業(yè)余愛好者Ph

77、ilip Beecroft重新發(fā)現(xiàn)，他觀察到，四個圓決定了另外四個圓相切于6個相同的點：經過、、的三個切點，等等。用來表示的曲度。假如圓、、的圓心構成了一個三角形,既是內切圓又是旁切圓。在前一種情況中（圖1.5e），</p><p>　　1.58 ，，，.</p><p>　　在后一種情況中（圖1.5f），</p><p><b>　　，，，

78、.</b></p><p>　　不論哪一種情況，我們從1.531中發(fā)現(xiàn)</p><p><b>　　.</b></p><p>　　類似地，，當然我們可以置換下標1,2,3,4。因此</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因為表達式中與是對稱

79、的，所以它也等于（）；因此</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　并且，因為</b></p><p>　　1.59 .</p><p>　　結合四個這樣的等式，并且兩邊加平方，我們推論出，因此</p><p>&l

80、t;b>　　.</b></p><p>　　這樣1.57就被證明出來了。</p><p>　　在1936年，這個定理被Sir Frederick Soddy重新發(fā)現(xiàn)，他在1921年因為發(fā)現(xiàn)了核素而獲得過諾貝爾獎。他以詩歌的形式表達了這個定理，《The Kiss Precise》，中間的詩句是這樣寫的：</p><p>　　Four circles

81、to the kissing come, </p><p>　　The smaller are the benter. </p><p>　　The bend is just the inverse of </p><p>　　The distance from the centre. </p><p>　　Though their intr

82、igue left Euclid dumb </p><p>　　There's now no need for rule of thumb. </p><p>　　Since zero bend's a dead straight line </p><p>　　And concave bends have minus sign, </p&g

83、t;<p>　　The sum of the squares of all four bends </p><p>　　Is half the square of their sum.</p><p><b>　　歐拉線和垂心</b></p><p>　　盡管古希臘不論在幾何學還是在最多變的算術領域都有很多的成就，然而今天的我們不

84、論在哪些領域都遠遠超越了他們，幾何學也是如此。</p><p>　　——F. Klein（1849-1925）</p><p>　　[Klein 2,第189頁]</p><p>　　從現(xiàn)在開始，我們將會經常提到L. Euler（1707-1783）的名字，一個在俄國度過了她大部分人生的瑞士人，對數(shù)學所有的分支都做出了重要貢獻。他的一些最簡單的發(fā)現(xiàn)都有這樣一種特點，

85、你可以想象歐幾里得的靈魂在對你說：“為什么我完全不這樣認為？”</p><p>　　如果一個三角形的外接圓圓心與形心重合，每一條中線都垂直于對應的邊，即三角形以三種方式等腰，即等邊。因此，若三角形不是等邊三角形，則它的外接圓圓心與形心在唯一的一條直線上，在這條所謂的歐拉線上，取一點使得，那么（如圖1.6a）。因為又有，歐幾里得Ⅵ.2后半部分告訴我們平行于，而垂直平分。因此垂直于。類似地，垂直于，垂直于。</

86、p><p>　　從一個頂點引出的垂直于對邊的直線叫做“高線”，以上論述說明：</p><p>　　任意三角形的三條高線都相交于歐拉線上的一點。</p><p>　　三條高線的這個公共點稱為三角形的“垂心”。</p><p><b>　　九點圓</b></p><p>　　這個圓是所有初等幾何課程中出現(xiàn)

87、的第一個真正令人興奮的東西。</p><p>　　——Daniel Pedoe（1910- ）</p><p>　　[Pedoe 1,第1頁]</p><p>　　垂線與對應邊的交點（就像圖1.7a中與類似的三個點）形成了三角形的“正交三角形”（或“垂足三角形”）。正交三角形的外接圓稱為原始三角形的“九點圓”（或者“費爾巴哈圓”）。因為它不僅僅包含了三條垂線的垂足，

88、還包含了另外六個重要的點。事實上，</p><p>　　1.71 三角形三條邊的中點，頂點與垂心連線的中點，還有三條高線的垂足都在同一個圓上。</p><p>　　證明[Coxeter 2，第29頁]：令、、、、、為、、、、、的中點，、、為高線的垂足，如圖1.7a。再次根據(jù)歐幾里得Ⅵ.2和Ⅵ.4，和都平行于且和都平行于。因為 是垂直于的，可以得到是一個矩形。類似地，也是一個矩形。因此、、是

89、一個圓的三條直徑。因為這些直徑在點、、對向直角，所以同一個圓也經過這些點。</p><p>　　如果平面上四個點被六條不同的直線兩兩連結，則它們成為一個完全四邊形的頂點，并且這些直線是他的六條邊。如果兩條邊沒有共同的頂點，則稱它們是相對的。任意兩條相對的邊的交點稱為“對角線點”。應該有三個這樣的點（見圖1.7b）。</p><p>　　如果三角形不是直角三角形，它的頂點和垂心構成了一個特殊

90、的四邊形，她的相對邊是互相垂直的。用這個術語，三條垂線共點可以表述如下：</p><p>　　1.72 如果一個完全四邊形的兩對相對邊是相互垂直的，那么余下的一對相對邊也同樣是相互垂直的。</p><p>　　這樣的四邊形被稱為中心正交四邊形。它的六條邊、、、、、是三角形的邊和垂線，并且對角線點、、為高線的垂足。在四邊形的四個頂點中，我們批注給頂點一個特殊的角色。明顯地，</p>

91、;<p>　　1.73 一個中心正交四邊形的每個頂點時另外三個頂點構成的三角形的垂心。</p><p>　　這四個三角形（只有一個銳角三角形）都有相同的正交三角形，因而有相同的九點圓。</p><p>　　在有關仿射幾何學的著述中[例如Coxeter 2,8.71]，證明了任意完全四邊形六條邊的中點和三個對角線點在一條圓錐曲線上。以上論述說明，當四邊形是中心正交四邊形時，這個

92、“九點圓錐曲線”變成了一個圓。</p><p><b>　　兩個極值問題</b></p><p>　　很多人都有自己對數(shù)學的欣賞，就像很多人都有自己喜歡的調調一樣。但是可能喜歡數(shù)學的人比喜歡音樂的人要多。</p><p>　　——G.H.Hardy[2.第26頁]</p><p>　　如果我們可以消除人們在而同時到所形成

93、的對數(shù)學的厭惡感，那么就可以進一步激發(fā)他們的興趣。</p><p>　　——Hans Rademocher（1892- ）</p><p>　　[Rademacher and Toeplitz 1，第5頁]</p><p>　　我們將詳盡地描述Fagnano問題和Fermat問題，因為解決這兩個問題的方法相當有趣。第一次提出Fagnano問題的人是J. F. Tos

94、chi di Fagnano，也是他解決了微分問題。這里給出的方法是由L. Fejdr提供的，雖然當時他還只是個學生。[Rademacher and Toeplitz 1，第30-32頁]</p><p><b>　　Fagnano問題</b></p><p>　　在一個給定的銳角三角形中，做出內接三角形，使得三角形的周長最小。</p><p>

95、;　　首先假設任意三角形，在上，在上，在上。、分別是關于和的對稱點，則有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　這是一條從到的連線，通常是在點和點處有彎折的。當這條連線是直線時最短，如圖1.8a。因此，在給定的三角形的邊上的特殊點與上的和就構成了具有最小周長的三角形。這樣，我們就可以直接在上明確選擇一個點讓三角形的周長最小且等于線段的長。<

96、/p><p>　　因為和是關于與的對稱線，那么他們全等并且角。因此三角形是一個等腰三角形，并且角的角度是不因為的變化而變化的。當是最小并且兩邊也是相等的基線也是最小的。也就是說從一個給定的點到邊的最短距離是。由于直角三角形的斜邊大于兩個直角邊，因此這個給定的點就是在邊上的垂點。因此垂線就是垂直高度。</p><p>　　的位置的選擇決定了一個最小周長的三角形的位置，這個三角形比其他任何的位置的

97、三角形周長都小。由于我們可以把換成或者，因此我們可以知道于也是跟的垂直高度。因此：</p><p>　　銳角三角形的周長最小的內接三角形是三角形的正交三角形。</p><p>　　同樣的方法可以用來證明球形三角形也有類似的結果。</p><p>　　另外一個問題，是由Fermat (1601-1665)提出來的。也是同樣的目的，也是為了減少三個點的距離的總和。在這里

98、給出的方案是由J.E.Hofmann提出來的。</p><p><b>　　Fermat 問題</b></p><p>　　在給出的銳角三角形中，取點使得點到、、三點的距離之和最小。</p><p>　　首先考慮三角形中任意一點。連結、、，將內部三角形繞點旋轉得到新的三角形，因此三角形和三角形都是等邊三角形，如圖1.8b。并且。這是到的連線，通

99、常在點和彎折。當這條連線是直線時最短，在這種情況下</p><p>　　且 .</p><p>　　因此，所求的使得最小的點，就是使三邊、、對向的角、、都等于的點。這個“費馬點”可以最簡單地由直線與圓（即等邊三角形的外接圓）的第二個交點來確定。</p><p>　　據(jù)指出[例如Pedoe 1，第11-12頁]，三角形無需假定為銳角三角形

100、。只要沒有角大于，上述方法都是有效的。</p><p>　　除了繞點旋轉得到等邊三角形，我們還可以繞點旋轉得到等邊三角形，如圖1.8c。因此三條直線、、都經過費馬點，而且其中任意兩條為它提供了一個可供選擇的構造方式。此外，線段、、的長度都等于，因此</p><p>　　如果在任意三角形外部作三個等邊三角形、、，那么線段、、的長度相等，同時，相互成角。</p><p>

101、;<b>　　莫利定理</b></p><p>　　數(shù)學中的許多證明過程都又長又錯綜復雜。其它的，雖然不長，但構造地很巧妙。</p><p>　　——E.C.Titchmarsh（1899-1963）</p><p>　　[Titchmarsh 1，第23頁]</p><p>　　初等幾何中最令人稱奇的理論是在大約189

102、9年由F. Morley（他的兒子Christopher寫了許多小說，例如《Thunder on the left》）發(fā)現(xiàn)的。他對他的朋友們提及了這個理論，他的朋友們以數(shù)學八卦的形式將它在全世界范圍內散布開來。最終十年之后，M. Satyanarayna發(fā)表了三角證明方法，M. T. Naraniengar發(fā)表了初等證明方法。</p><p><b>　　莫利定理</b></p>

103、<p>　　任意三角形三個角的相鄰的角三等平分線的三個交點構成了一個等邊三角形。</p><p>　　換句話說，如圖1.9a，對于任意三角形，三個角分別被和，和，和三等分，那么可以得到一個等邊三角形。（如果我們嘗試直接證明的方法將困難重重，但如果我們反推進行將會變得容易。開始時先給出一個等邊三角形，然后再建立一個一般的三角形，之后可以證明他就是給定的三角形）</p><p>

104、　　在給出的等邊三角形中，在邊、、上分別建立三角形、、；底角、、滿足等式和不等式</p><p><b>　　，，，</b></p><p>　　延長三個等腰三角形的兩腰直到它們在點、、處相交。因為，我們可以立即推斷計算出其它的角度，如圖1.9a所示。例如，三角形在頂點處的角度一定為，因為它在和的角度分別為和。</p><p>　　參考1.51

105、，我們知道確定三角形的內心的一個方法是確定它在角的平分線上滿足。</p><p>　　運用三角形中點的這一原理，我們發(fā)現(xiàn)直線（它既是等邊三角形的中線，也是等腰三角形的中線）在處平分，的一半等于，并且</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因此是三角形的內心。同樣，是三角形的內心，是三角形的內心。所以，角的三個小角是相等的，

106、角和角處也是同樣地情況。換句話說，三角形的三個內角被三等分了。</p><p>　　點處的三個小角每個都等于；類似地，在角、角處也成立。因此</p><p><b>　　，，.</b></p><p>　　通過選擇我們的等腰三角形底角的值，我們可以確保上述過程產生的三角形是給定的三角形。</p><p><b>

107、;　　這就完成了證明。</b></p><p><b>　　結束語</b></p><p><b>　　小結</b></p><p>　　通過對書中三角形部分的翻譯和研究，我們可以更加深切地體會到歐幾里得的歐式幾何學的奇妙，還有歐幾里得和他的《幾何原本》不論在幾何學、論證方法還是作為教材的重大意義和影響。我國科

108、學家徐光啟評論《幾何原本》時曾說：“此書為益能令學理者祛其浮氣，練其精心；學事者資其定法，發(fā)其巧思，故舉世無一人不當學?！逼浯笠馐牵鹤x《幾何原本》的好處在于能去掉浮夸之氣，練就精思的習慣，會按一定的法則，培養(yǎng)巧妙的思考，所以每個人都應該認真學習幾何。</p><p>　　本人認為最應該學習和領悟《幾何原本》的一些思想和方法，例如公理化思想，它的主要精神是從盡可能少的概念出發(fā)，推導出盡可能多的命題，這是形成幾何結構

109、嚴整性的主要原因。公理的選擇，定義的給出，內容的編排，方法的運用以及命題的嚴格證明都需要這種思想的支撐。對于我所翻譯的這部分關于三角形的內容還有很多值得拓展和深究的內容和方法，我們應該懷著這種精神不斷超越前人，讓初等幾何的研究之路越走越寬，讓幾何學更加完善。 參考文獻</p><p>　　鄧鶴年，姜樹民.幾何學的發(fā)展與初等幾何方法研究[J].松遼學刊（自然科學版），2001（1）： 53~55 .</

110、p><p>　　馮德雄.初等幾何問題的類比、引申探究[J].成都大學學報（教育科學版），2008（11），第22卷，124~129.</p><p>　　曾壽清.初等幾何中基本作圖題的作圖方法[J].龍巖師專學報，2000，第18卷，124~125.</p><p>　　李迪，羅見今.關于第一篇羅氏非歐幾何論文[J].內蒙古師大學報（自然科學版），1983（2）,59~

111、65.</p><p>　　宋文檀，高玉彪.歐幾里德《幾何原本》評介[J].榆林高等?？茖W校學報，2002（4）,第12卷，53~54.</p><p>　　張銳梅，翟曼月，李冰.三角形內角和定理的演變在數(shù)學發(fā)展中的作用[J].高師理科學刊，2009（2），第29卷，102~107.</p><p>　　梁卷明.三等分角線構成的三角形的性質[N].中學數(shù)學，1997

112、（7）,32~35.</p><p>　　李善明，魏春強.歐拉線定理證法集萃[N].內江科技，2008（11），40~66.</p><p>　　梁卷明.莫利定理的簡潔證明[J].中學數(shù)學（月刊），2000（8）.</p><p>　　張珍根.莫利定理的三角證法[J].中學數(shù)學教學，1999年增刊，114.</p><p>　　姜衛(wèi)東.涉及三

113、角形內點的一類幾何不等式[J].北京聯(lián)合大學學報（自然科學版），2004（4），第18卷，48~50.</p><p>　　劉健.銳角三角形中線與角平分線的幾個不等式[J].湖州師范學院學報，2008（1），第30卷，29~32.</p><p>　　Alfred Tarski. What is Elementary Geometry [J]. Studies in Logic and t