對循環(huán)矩陣求逆的算法研究【開題報(bào)告+文獻(xiàn)綜述+畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文開題報(bào)告</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　關(guān)于循環(huán)分塊矩陣計(jì)算及其應(yīng)用</p><p><b>　　選題的背景與意義</b></p><p>　　在現(xiàn)在的生產(chǎn)生活中，矩陣這一數(shù)學(xué)工具一直發(fā)揮著

2、自己的作用。簡單的我們平時(shí)通過列表來分析數(shù)據(jù)，復(fù)雜的我們同樣也利用矩陣來處理計(jì)算機(jī)的圖像。盡管他被廣泛使用，并且其作用巨大。但是我們對矩陣的認(rèn)識并不完善，也正因?yàn)槿绱?，國?nèi)外數(shù)學(xué)家對矩陣這一方面的內(nèi)容的研究從沒有停止過。這也使得矩陣的結(jié)構(gòu)越來越龐雜。而其中的循環(huán)矩陣，也在很多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，如在編碼理論，數(shù)理統(tǒng)計(jì)，理論物理，固態(tài)物理，結(jié)構(gòu)計(jì)算，分子軌道理論，數(shù)學(xué)圖象處理等方面應(yīng)用很廣。而循環(huán)矩陣的逆特征值問題，在力學(xué)振動系統(tǒng)設(shè)計(jì)，

3、分子結(jié)構(gòu)理論，線性多變量控制理論及數(shù)值分析等領(lǐng)域中也經(jīng)常出現(xiàn)。因此，自1950年提出循環(huán)矩陣的概念以來，許多數(shù)學(xué)工作者對它進(jìn)行了大量研究，得出很多成果。</p><p>　　目前由于循環(huán)矩陣的理論還不是很完善，而在實(shí)際生活中許多的數(shù)學(xué)模型是有關(guān)循環(huán)矩陣的，數(shù)學(xué)工作者對循環(huán)矩陣的研究仍在繼續(xù)著。因此，我也對循環(huán)矩陣做了進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和理解，并決定從循環(huán)分塊矩陣入手，做一些相關(guān)的研究、整理，找到一些好的方法去求解分塊循

4、環(huán)矩陣的線性方程。</p><p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題</p><p>　　1.分塊矩陣及其性質(zhì)。</p><p><b>　　1.1分塊矩陣。</b></p><p>　　1.1.1分塊矩陣的定義。</p><p>　　1.1.2分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則。</p>

5、<p>　　1.2.分塊矩陣的性質(zhì)及其推論。</p><p>　　2.循環(huán)分塊矩陣性質(zhì)及其求解。</p><p>　　2.1循環(huán)分塊矩陣。</p><p>　　2.1.1循環(huán)矩陣定義。</p><p>　　2.1.2循環(huán)分塊矩陣的定義。</p><p>　　2.1.3循環(huán)分塊矩陣的性質(zhì)及其推導(dǎo)過程。</

6、p><p>　　2.2循環(huán)分塊矩陣線性方程求解。</p><p>　　2.2.1循環(huán)矩陣線性方程求解。</p><p>　　2.2.1類比循環(huán)分塊矩陣線性方程尋求解得方法。</p><p>　　2.3循環(huán)分塊矩陣的求逆方法。</p><p>　　3循環(huán)分塊矩陣求解、求逆的實(shí)際應(yīng)用。</p><p>

7、　　三、研究的方法與技術(shù)路線</p><p>　　對于循環(huán)矩陣，前人進(jìn)行了大量的研究，并且不斷的豐富、具體完善和應(yīng)用。本課題主要通過理論分析與實(shí)證相結(jié)合，文獻(xiàn)研究法，數(shù)量研究法等等方法在前人給出一系列循環(huán)矩陣算法的基礎(chǔ)上改進(jìn)，希望得到比較好的關(guān)于循環(huán)分塊矩陣求解的方法，或者說是充實(shí)原有的方法思想。</p><p>　　四、研究的總體安排與進(jìn)度</p><p><

8、;b>　　主要參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]柳重堪、劉錦萼，分塊循環(huán)矩陣的性質(zhì)及其對數(shù)字圖像處理的應(yīng)用[J],湖北師院學(xué)報(bào)，1985, （2）：9-14。</p><p>　　[2]何承源、黃廷祝，兩類循環(huán)分塊矩陣及其有關(guān)算法[J]，應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2002,25(2)： 279-288。</p><p>　　[3]毛綱源，分塊矩陣為循

9、環(huán)矩陣的循環(huán)分塊矩陣的特征根求法[J],武漢工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1992，14（4）：93-98。.</p><p>　　[4]張佳靜、楊興東、孫蘇亞，循環(huán)分塊矩陣方程之解及其應(yīng)用[J],南京信息工程大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，2（1）：74-78。.</p><p>　　[5]張光輝、葉曉麗，關(guān)于r-分塊循環(huán)矩陣及其對角化問題的討論[J],數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2007，27（1）：115-1

10、17</p><p>　　[6]蔡子華、徐玉華,關(guān)于分塊反循環(huán)矩陣及其對角化的討論[J]，數(shù)學(xué)雜志,2004,24(4):433-446.</p><p>　　[7]盧誠波，關(guān)于(R,r)-循環(huán)分塊矩陣求逆與相乘的一種快速算法[J]，大學(xué)數(shù)學(xué)，2008,24（4）:122-126</p><p>　　[8] Davis P. Circulant matrices[M

11、].New York: Wiley,1979.</p><p>　　[9]Blahut R E. Fast Algorithm for Digltal Signal Processing. Addison-Wesley Reading,Mass,1984</p><p>　　[10]Horowity E. A Fast Method for Interpolation Using Prec

12、onditioning. Information Processing Letter Vol.1,1972,157-163 </p><p><b>　　畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　關(guān)于循環(huán)分塊矩陣計(jì)算及其應(yīng)用</p><p>　

13、　分塊矩陣時(shí)線性代數(shù)中的一個(gè)很重要的工具，研究許多問題都要用到它，特別是在處理級數(shù)較高的矩陣時(shí)，分塊之后，使各矩陣之間或矩陣內(nèi)部之間的關(guān)系變得更清楚。而循環(huán)矩陣及循環(huán)線性方程組的求解在線性預(yù)測、誤差控制碼、自回歸濾波器設(shè)計(jì)領(lǐng)域內(nèi)起著重要作用。循環(huán)分塊矩陣在計(jì)算機(jī)時(shí)序分析、自回歸時(shí)序模型濾波中也經(jīng)常出現(xiàn)。對循環(huán)矩陣和循環(huán)分塊矩陣做了較全面而深刻的研究。對循環(huán)矩陣和循環(huán)分塊矩陣的特性及其有關(guān)快速算法早就引起了人們的重視。并且其研究成果也在實(shí)

14、際運(yùn)用中發(fā)揮著重要的作用。</p><p>　　國內(nèi)也有許多專家學(xué)者對循環(huán)分塊矩陣做很多深入研究。柳重堪、劉錦萼在自己的研究[1]中給出了分塊循環(huán)矩陣的部分性質(zhì)，循環(huán)分塊矩陣的相加、數(shù)乘與裝置不改變循環(huán)性，其中對性質(zhì)也做了具體的說明，用了較簡單的方法進(jìn)行了證明。</p><p>　　何承源、黃廷祝在論文[2]中利用多項(xiàng)式矩陣最大右公因式，給出R-循環(huán)分塊矩陣和對稱R-循環(huán)分塊非奇異一級線性

15、方程組反問題有唯一解的充要條件，并進(jìn)而得到它們求逆、線性方程組有唯一解、線性方程組在循環(huán)分塊矩陣中的反問題求唯一解的算法。 </p><p>　　毛綱源在研究[3]中給出分塊矩陣為循環(huán)矩陣的循環(huán)分塊矩陣的特征根求法，并給出其一類特殊矩陣的特征根算式。他的特征根求法既不需要對角化，也不需要利用定義計(jì)算行列式，方法比較簡便。</p><p>

16、　　張佳靜、楊興東、孫蘇亞在論文[4]中討論了循環(huán)分塊矩陣線性方程的有階條件與求解方法，利用循環(huán)分塊矩陣方程的解給出求循環(huán)分塊矩陣之逆的簡便方法。</p><p>　　張光輝、葉曉麗在論文[5]中給出了r-分塊循環(huán)矩陣的概念,并利用矩陣的張量積探討了r-分塊循環(huán)矩陣的相似類及其對角化問題,得出了一些重要的結(jié)論。</p><p>　　蔡子華、徐玉華也在研究[6]中還給出了分塊循環(huán)矩陣的概念，

17、討論了含分塊反循環(huán)矩陣的相似類，并且得知分塊循環(huán)矩陣一定與分塊循環(huán)矩陣相似。</p><p>　　盧誠波在自己的論文[7]中利用矩陣分塊主次降價(jià)的方法和快速傅里葉變換（FFT），給出了mn階（R,r）-循環(huán)分塊矩陣求逆與相乘的一種快速算法，證明了其計(jì)算復(fù)雜性為O（mnlog2mn）。</p><p>　　除了國內(nèi)專家的研究之外外國專家對此反面的研究也非常多。</p><

18、p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1]柳重堪、劉錦萼，分塊循環(huán)矩陣的性質(zhì)及其對數(shù)字圖像處理的應(yīng)用[J],湖北師院學(xué)報(bào)，1985, （2）：9-14。</p><p>　　[2]何承源、黃廷祝，兩類循環(huán)分塊矩陣及其有關(guān)算法[J]，應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2002,25(2)： 279-288。</p><p>　　[3]毛綱源

19、，分塊矩陣為循環(huán)矩陣的循環(huán)分塊矩陣的特征根求法[J],武漢工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1992，14（4）：93-98。.</p><p>　　[4]張佳靜、楊興東、孫蘇亞，循環(huán)分塊矩陣方程之解及其應(yīng)用[J],南京信息工程大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，2（1）：74-78。.</p><p>　　[5]張光輝、葉曉麗，關(guān)于r-分塊循環(huán)矩陣及其對角化問題的討論[J],數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2007，27（1

20、）：115-117</p><p>　　[6]蔡子華、徐玉華,關(guān)于分塊反循環(huán)矩陣及其對角化的討論[J]，數(shù)學(xué)雜志,2004,24(4):433-446.</p><p>　　[7]盧誠波，關(guān)于(R,r)-循環(huán)分塊矩陣求逆與相乘的一種快速算法[J]，大學(xué)數(shù)學(xué)，2008,24（4）:122-126</p><p>　　[8] Davis P. Circulant mat

21、rices[M].New York: Wiley,1979.</p><p>　　[9]Blahut R E. Fast Algorithm for Digltal Signal Processing. Addison-Wesley Reading,Mass,1984</p><p>　　[10]Horowity E. A Fast Method for Interpolation Usi

22、ng Preconditioning. Information Processing Letter Vol.1,1972,157-163 </p><p><b>　　本科畢業(yè)設(shè)計(jì)</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　對循環(huán)矩陣求逆的算法研究</p><p&g

23、t;　　【摘要】本文從推導(dǎo)循環(huán)矩陣性質(zhì)入手，通過對循環(huán)矩陣性質(zhì)的分析和證明，知道如何去求解一般的循環(huán)矩陣，并且也給出了循環(huán)的逆存在的充要條件，同時(shí)也列舉了幾個(gè)特殊的例子去運(yùn)用之前推導(dǎo)的計(jì)算方法，效果也是非常不錯(cuò)，比起傳統(tǒng)的求逆方法，計(jì)算量明顯減少。于是又在此基礎(chǔ)之上加入矩陣分塊的思想，也找到了一個(gè)比較方便的算法，可以起到一個(gè)很好的降階求逆矩陣的算法，通過舉例很好的說明了問題，算法的確很大程度上減少了計(jì)算量。</p><

24、;p>　　【關(guān)鍵詞】循環(huán)矩陣；循環(huán)矩陣分塊；逆矩陣。</p><p>　　【ABSTRACT】This paper deduced the property of a cyclic matrix, through analysis of the characteristics of cyclic matrix and proof, know how to solve general circulation

25、matrix, and also gives the necessary and sufficient conditions of the existence of inverse circulation, also cited several specific examples to use the calculation method of before, the effect is also very nice, compared

26、 to traditional calculation method, inverse significantly less. And on this basis to join matrix block thoughts,</p><p>　　【KEYWORDS】Cyclic matrix; Cyclic matrix block; Inverse matrix.</p><p><

27、;b>　　目　錄</b></p><p>　　對循環(huán)矩陣求逆的算法研究錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　摘　要錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　Inverse Of Cyclic Matrix Algorithm Research錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　Abstract錯(cuò)誤!未定義書簽。&

28、lt;/p><p><b>　　目　錄8</b></p><p><b>　　1引言9</b></p><p>　　2循環(huán)矩陣的定義和基本性質(zhì)10</p><p>　　2.1循環(huán)矩陣的定義10</p><p>　　2.2循環(huán)矩陣的性質(zhì)10</p>

29、<p>　　2.2.1基本循環(huán)矩陣的性質(zhì)11</p><p>　　2.2.2循環(huán)矩陣的性質(zhì)及其定理11</p><p>　　3循環(huán)矩陣求逆的算法和可逆條件13</p><p>　　3.1一般結(jié)構(gòu)的循環(huán)矩陣可逆條件及其具體算法。13</p><p>　　3.2一些具有特殊結(jié)構(gòu)的循環(huán)矩陣求逆15</p>

30、<p>　　3.2.1求解形如的逆矩陣，其中16</p><p>　　3.2.2求解等差循環(huán)矩陣的逆18</p><p>　　4用矩陣分塊的方法對循環(huán)矩陣求逆20</p><p>　　4.1用循環(huán)矩陣分塊算法求逆的條件20</p><p>　　4.2循環(huán)矩陣分塊求逆的具體算法21</p><

31、p><b>　　參考文獻(xiàn)26</b></p><p>　　致謝（宋體，加粗，小二號字，居中）錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p>　　附錄（宋體，加粗，小二號字，居左）錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　引言</b></p><p>　　循環(huán)矩陣最早是在1885年，由美國學(xué)者M(jìn)

32、uir.T.提出的。不過真正被人關(guān)注并開始研究是從1950年開始的。從50年代開始，隨著高新技術(shù)尤其是計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，循環(huán)矩陣也是被廣泛運(yùn)用到很多眾多科學(xué)和工程領(lǐng)域，如編碼和統(tǒng)計(jì)，石油勘探和結(jié)構(gòu)分析，以及數(shù)字圖像處理等方面獲得了越來越廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　循環(huán)碼是一類非常重要的線性碼，它具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)結(jié)構(gòu)，其性能易于分析。特別是目前已發(fā)現(xiàn)大部分線性碼與循環(huán)碼有密切關(guān)系，它們之中的大部分碼都可以歸

33、結(jié)于循環(huán)碼。另外，循環(huán)碼也有循環(huán)碼的性質(zhì)。</p><p>　　由于可逆循環(huán)矩陣具有結(jié)構(gòu)簡單，更易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。使得對循環(huán)矩陣的研究成為了熱點(diǎn)。循環(huán)矩陣應(yīng)用廣泛，但使用初等變換的方法求逆過于麻煩，對于涉及循環(huán)矩陣求逆和一些其它運(yùn)算的時(shí)候，也是希望可以尋求一些更快捷的方法，促進(jìn)工程運(yùn)算的效率。</p><p>　　由于循環(huán)矩陣結(jié)構(gòu)的特殊性，其應(yīng)用性也是非常廣泛，相信所研究的解法一定會有的其進(jìn)

34、一步應(yīng)用有幫助。</p><p>　　循環(huán)矩陣的定義和基本性質(zhì)</p><p><b>　　循環(huán)矩陣的定義</b></p><p>　　首先給出循環(huán)矩陣的定義，</p><p>　　定義1 形如的n階矩陣，叫做n階循環(huán)矩陣。</p><p>　　從定義上可以看出，循環(huán)矩陣中的每一行都是由前一行的

35、元素右移一個(gè)位置，并將最右邊的數(shù)挪動到左邊第一個(gè)位置而組成的。因而，一個(gè)循環(huán)矩陣可以由其第一行來確定，這里用記號來表示一個(gè)循環(huán)矩陣。</p><p>　　繼續(xù)觀察定義式，可以看到循環(huán)矩陣A沿平行于主對角線的每一對角線上的元素都是相等的，即循環(huán)矩陣是關(guān)次對角線對稱的。</p><p>　　其次，給出基礎(chǔ)循環(huán)矩陣的定義，</p><p>　　定義2 設(shè)，則可知J是n階

36、循環(huán)矩陣，稱為基本循環(huán)矩陣。很明顯基本循環(huán)矩陣可以表示為。</p><p>　　設(shè)（n階單位矩陣），則由定義2可知：，，…，。因此我們定義1中的循環(huán)矩陣都可以用，，，…，來表示。如果設(shè)，則我們有，其中稱為A的生成多項(xiàng)式。下文中很多的有關(guān)循環(huán)矩陣的性質(zhì)證明都會運(yùn)用到該多項(xiàng)式。</p><p><b>　　循環(huán)矩陣的性質(zhì)</b></p><p>　

37、　這一步分主要從兩個(gè)方面來描述循環(huán)矩陣的性質(zhì)，首先會引入基本循環(huán)矩陣列，然后通過循環(huán)矩陣列去描述表達(dá)一般循環(huán)矩陣。并且完成對循環(huán)矩陣性質(zhì)的推導(dǎo)。</p><p><b>　　基本循環(huán)矩陣的性質(zhì)</b></p><p>　　首先，我們討論基本循環(huán)矩陣的性質(zhì)。我們把定義2中講到的，，，…，稱為循環(huán)矩陣基本列。則明顯有有以下性質(zhì)：</p><p>　

38、　性質(zhì)1 ，，，…，為循環(huán)矩陣，且。</p><p>　　性質(zhì)2 基本循環(huán)矩陣可以與循環(huán)矩陣交換，即。</p><p>　　性質(zhì)3 必存在一組數(shù)列，，，…，，使得循環(huán)矩陣可以用循環(huán)矩陣基本列來表示為，反之利用循環(huán)矩陣基本列表示出來的矩陣一定是循環(huán)矩陣。</p><p>　　這3個(gè)性質(zhì)，非常簡單，通過對定義的理解可以自己驗(yàn)證，這里就不做說明了。</p>

39、;<p>　　循環(huán)矩陣的性質(zhì)及其定理</p><p>　　性質(zhì)4 n階循環(huán)矩陣、相加，其和仍為循環(huán)矩陣。</p><p>　　證明：設(shè)循環(huán)矩陣， 。</p><p>　　則由性質(zhì)3，可知循環(huán)矩陣</p><p><b>　　， 。</b></p><p>　　那么循環(huán)矩陣相加、相

40、加，</p><p>　　又由性質(zhì)3 可知與的和也為循環(huán)矩陣，可以表示為circ(，，，…，)。</p><p>　　性質(zhì)5 n階循環(huán)矩陣、相乘，其乘積為循環(huán)矩陣，且有。</p><p>　　證明：設(shè)循環(huán)矩陣= circ(， ，，…，)， =circ(，，，…，)。</p><p><b>　　所以有， 。</b>

41、</p><p><b>　　則</b></p><p>　　顯然我們清楚的發(fā)現(xiàn)同階循環(huán)矩陣的乘積仍為循環(huán)矩陣。</p><p><b>　　同理我們可以得到</b></p><p>　　所以可以知道循環(huán)矩陣相乘，矩陣可以交換。</p><p>　　性質(zhì)6 可逆的n階循環(huán)矩

42、陣的逆也為n階循環(huán)矩陣。</p><p><b>　　證明：設(shè)循環(huán)矩陣，</b></p><p><b>　　設(shè)其逆矩陣存在為。</b></p><p>　　通過性質(zhì)(5)的證明，我們知道，</p><p>　　又因?yàn)椋覀冾}設(shè)中的、兩個(gè)矩陣是可逆的，即。</p><p>　

43、　所以我們得到方程組，</p><p><b>　　即，</b></p><p><b>　　也就是</b></p><p>　　也就是為可逆矩陣，則，因而由克拉默法則我們知道方程組有且僅有一組解，即是唯一確定的一組數(shù)，并且這組數(shù)確定了我們所求的逆矩陣為，是循環(huán)矩陣。至于循環(huán)矩陣可逆的條件，下一小節(jié)中將進(jìn)一步討論。<

44、/p><p>　　循環(huán)矩陣求逆的算法和可逆條件 </p><p>　　一般結(jié)構(gòu)的循環(huán)矩陣可逆條件及其具體算法。</p><p>　　性質(zhì)6給出了一個(gè)很好計(jì)算循環(huán)矩陣逆的思路。</p><p>　　設(shè)可逆循環(huán)矩陣，則要求該矩陣的逆，我們可以先設(shè)它的逆為。</p><p><b>　　所以由，得到</b>

45、</p><p>　　方程組， </p><p><b>　　即，</b></p><p><b>　　也就是</b></p><p>　　要得到。只需要計(jì)算、、、…、這組數(shù)的值即可也就是解上面列出的方程組。</p><p>　　定理1 循環(huán)矩陣可逆的充要條

46、件為。</p><p>　　這個(gè)定理可以直接從所給的算法中理解，同時(shí)性質(zhì)(6)的證明中也給出了說明,要解得逆矩陣，必須使得所求解的方程組有解，也就必須滿足該定理。這里也就不進(jìn)一步證明了。</p><p>　　推論1 循環(huán)矩陣，存在可逆矩陣時(shí)一定滿足。</p><p>　　證明： 循環(huán)矩陣的行列式為</p><p>　　對行列式作初等行變換，

47、從第二行開始，每一行都加一次到第一行，得到:</p><p>　　假設(shè)推論不成立，那么有，這樣顯然上面的行列式可以寫</p><p>　　顯然這個(gè)行列式的值為0。</p><p>　　即，根據(jù)定理1，可知循環(huán)矩陣不可逆，顯然與題設(shè)向矛盾，所以假設(shè)不成立。因而一個(gè)循環(huán)矩陣可逆，必然滿足。</p><p>　　下面可以通過具體的例子，來體會這種算

48、法的優(yōu)越性。</p><p>　　例1：求矩陣的逆矩陣。</p><p>　　解：可以看到矩陣為循環(huán)矩陣，我們知道循環(huán)矩陣的逆也為循環(huán)矩陣，不妨設(shè)所求的逆矩陣為，</p><p><b>　　根據(jù)</b></p><p>　　我們得到方程組： </p><p>　　解得

49、 </p><p>　　所以，得到所求的逆矩陣為。</p><p>　　如果仔細(xì)體會過這種計(jì)算方法后會發(fā)現(xiàn)比傳統(tǒng)的方法明顯少了不少計(jì)算量。</p><p>　　一些具有特殊結(jié)構(gòu)的循環(huán)矩陣求逆</p><p>　　上一章節(jié)中已經(jīng)給出了循環(huán)矩陣的求逆特殊算法其優(yōu)越性也有一定的體現(xiàn)，于是我想通過兩個(gè)具體的例子，特殊

50、結(jié)構(gòu)的循環(huán)矩陣，去進(jìn)一步說明其意義。</p><p>　　求解形如的逆矩陣，其中</p><p>　　通過分析求解普通循環(huán)矩陣的方法，設(shè)所求的逆矩陣為</p><p><b>　　根據(jù)</b></p><p>　　則，我們可以得到方程組：</p><p><b>　　寫成增廣矩陣的形式&

51、lt;/b></p><p>　　對增廣矩陣作行列式初等變換，從第二行開始每行都加到第一行得到：</p><p>　　由推論1，我們知道循環(huán)矩陣要有逆必須滿足，所以有</p><p>　　進(jìn)一步作行列式初等變換，將第一行乘以，分別加到第二行至第行中，</p><p>　　得到： </p><p>

52、;<b>　　解得：</b></p><p><b>　　所以循環(huán)矩陣為。</b></p><p>　　例2：求循環(huán)矩陣的逆矩陣。</p><p>　　解:觀察矩陣，可以看到完全可以套用本節(jié)上面講到的模型。直接套用公式就可以得該逆矩陣，</p><p><b>　　因?yàn)?，，所?lt;/b

53、></p><p>　　所以所求的逆矩陣為。</p><p>　　求解等差循環(huán)矩陣的逆</p><p>　　若，則我們把稱為等差循環(huán)矩陣。</p><p>　　如果可逆，設(shè)其可逆矩陣為。</p><p>　　根據(jù)根據(jù) 得到線性方程組 所以其增廣矩陣為對增廣矩陣作行列式初等行變換，將從第二行開始的每一行都加

54、到第一行中去，得到： </p><p>　　由推論1，我們知道要使循環(huán)矩陣可逆滿足。則進(jìn)一步做行列式初等變換，第一行都去除以 進(jìn)一步做行列式初等變換，將從第二行開始每一行，第一個(gè)數(shù)化為0 繼續(xù)做行列式變換，從第n-1行開始，做n-1行乘以-1加到下一行，一直做到第二行停止，得到矩陣 所以得到

55、其中，代表了循環(huán)矩陣第一行中第個(gè)數(shù)。循環(huán)矩陣的逆矩陣得解。</p><p>　　例3求解循環(huán)矩陣的逆。</p><p>　　分析：這個(gè)矩陣也是符合本小節(jié)上面講的模型。矩陣也符合逆存在的條件。</p><p>　　解：根據(jù)上面給出的公式，由題意我們知道，，，。設(shè)逆矩陣為，</p><p>　　解得 <

56、/p><p>　　所以循環(huán)矩陣的逆為。</p><p>　　用矩陣分塊的方法對循環(huán)矩陣求逆</p><p>　　用循環(huán)矩陣分塊算法求逆的條件</p><p>　　若循環(huán)矩陣為階，可以分塊為。則先給出循環(huán)矩陣分塊算法的可逆條件。 </p><p>　　定理2：當(dāng)為可逆，則循環(huán)矩陣可逆的充要條件是為可逆矩陣，且有關(guān)系式，其中。

57、</p><p>　　證明：由分塊理論可以知道</p><p><b>　?。?），</b></p><p><b>　　其中為單位矩陣。</b></p><p>　　并且 ，</p><p>　　所以（1）式兩邊同時(shí)取行列式</p>

58、<p><b>　　則</b></p><p>　　定理2中要求為可逆矩陣，所以顯然。</p><p>　　又由定理1，我們知道循環(huán)矩陣可逆的充要條件為。</p><p>　　所以成立的充要條件為。</p><p>　　即當(dāng)可逆時(shí)，循環(huán)矩陣可逆的充要條件是可逆。</p><p>　　

59、由題意可以知道，要計(jì)算的逆，可以設(shè)的逆為，則</p><p>　　即得到 </p><p>　　解得 （其中）</p><p><b>　　定理證畢。</b></p><p>　　通過定理2，不僅知道了循環(huán)矩陣分塊之后逆的存在條件，也反應(yīng)了求解具體方法。</p&

60、gt;<p>　　循環(huán)矩陣分塊求逆的具體算法</p><p>　　由定理2，我們知道如果循環(huán)矩陣滿足各種矩陣分塊算法的可逆條件，則有</p><p><b>　　。</b></p><p>　　這里我們看到只要求出個(gè)各個(gè)分塊矩陣就可以完成對原循環(huán)矩陣的逆的求解。不過這里其實(shí)我們可以不必要那么麻煩，因?yàn)樗竽娴木仃嚍榭赡婢仃?，我們?/p>

61、全可以去通過考慮它所特有的一些性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步簡化求解過程。</p><p>　　通過性質(zhì)(6)我們知道n階循環(huán)矩陣逆也為n階循環(huán)矩陣。那么我們可以去考慮分塊的具體方法，思考簡化過程的方法。</p><p>　　首先觀察2n+1階的循環(huán)矩陣的，對他進(jìn)行分塊，分成，其中使得為階矩陣，為階矩陣，為階矩陣，為階矩陣?？梢灾溃敲粗邪嗽h(huán)矩陣中的每一個(gè)數(shù)，也就是說分塊可以唯一的確定。

62、兩者之間有著一一對應(yīng)的關(guān)系。同理，我們知道也是一個(gè)循環(huán)矩陣，設(shè)他的分塊為并且由定理2，知道，則和為同階矩陣，所以我們也就知道了和也是相互確定的，也就是說只要計(jì)算出，則也就知道了。</p><p>　　再看下2n階的循環(huán)矩陣，如果平均分成四塊，那么、、、都為n階矩陣，先看下具體內(nèi)容，，可以看到比原矩陣中的元素少了個(gè)，所以也就導(dǎo)致無法通過完全知道。如果要達(dá)到2n+1階循環(huán)矩陣中分塊矩陣的求逆效果，我們可以對2n階循環(huán)

63、矩陣作一個(gè)重新分塊，只要滿足階數(shù)大于即可。</p><p>　　另外對于一個(gè)矩陣求解，我們總希望它的階數(shù)會比較第一點(diǎn)，這會很大程度上方便我們的求解，于是我們最后可以得到一個(gè)綜合上面內(nèi)容的分塊方案。即我們可以將n階循環(huán)呢矩陣分塊為，并且使得為階矩陣，為階矩陣，為階矩陣，為階矩陣。</p><p>　　在這種分塊方案下求解，我們只需求解，即可以知道所求的循環(huán)矩陣的逆。下面就通過具體的實(shí)例來運(yùn)用

64、這樣的算法。</p><p>　　例4：求循環(huán)矩陣的逆。</p><p><b>　　解：設(shè)逆矩陣，</b></p><p><b>　　可以將分塊成，則</b></p><p><b>　　，，，，</b></p><p><b>　　則&l

65、t;/b></p><p>　　所以 。</p><p>　　例5：求循環(huán)矩陣的逆矩陣。</p><p><b>　　解：設(shè)逆矩陣，</b></p><p><b>　　可以將分塊成，則</b></p><p><b>　　，，，，<

66、/b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　所以 。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　柳重堪、劉錦萼，分塊循環(huán)矩陣的性質(zhì)及其對數(shù)字圖像處理的應(yīng)用[J],湖北師院學(xué)報(bào)，1985, （2）：9-14。</p>

67、<p>　　何承源、黃廷祝，兩類循環(huán)分塊矩陣及其有關(guān)算法[J]，應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2002,25(2)： 279-288。</p><p>　　毛綱源，分塊矩陣為循環(huán)矩陣的循環(huán)分塊矩陣的特征根求法[J],武漢工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1992，14（4）：93-98。.</p><p>　　張佳靜、楊興東、孫蘇亞，循環(huán)分塊矩陣方程之解及其應(yīng)用[J],南京信息工程大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），201

68、0，2（1）：74-78。.</p><p>　　張光輝、葉曉麗，關(guān)于r-分塊循環(huán)矩陣及其對角化問題的討論[J],數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2007，27（1）：115-117</p><p>　　蔡子華、徐玉華,關(guān)于分塊反循環(huán)矩陣及其對角化的討論[J]，數(shù)學(xué)雜志,2004,24(4):433-446.</p><p>　　盧誠波，關(guān)于(R,r)-循環(huán)分塊矩陣求逆與相乘的一種

69、快速算法[J]，大學(xué)數(shù)學(xué)，2008,24（4）:122-126</p><p>　　[8] Davis P. Circulant matrices[M].New York: Wiley,1979.</p><p>　　[9]Blahut R E. Fast Algorithm for Digltal Signal Processing. Addison-Wesley Reading,Mas