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文檔簡介
1、<p> ?。?2)設(shè)均為維列向量,為矩陣,下列選項正確的是</p><p> 若線性相關(guān),則線性相關(guān). </p><p> 若線性相關(guān),則線性無關(guān). </p><p> (C) 若線性無關(guān),則線性相關(guān). </p><p> (D) 若線性無關(guān),則線性無關(guān). [ A ] </p>
2、<p> 【分析】 本題考查向量組的線性相關(guān)性問題,利用定義或性質(zhì)進行判定.</p><p><b> 【詳解】 記,則.</b></p><p> 所以,若向量組線性相關(guān),則,從而,向量組也線性相關(guān),故應(yīng)選(A).</p><p> ?。?3)設(shè)為3階矩陣,將的第2行加到第1行得,再將的第1列的倍加到第2列得,記,則<
3、;/p><p> ?。ǎ粒? (B).</p><p> ?。ǎ茫? (D). [ B ]</p><p> 【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.</p><p><b> 【詳解】由題設(shè)可得</b></p><p><
4、;b> ,</b></p><p> 而 ,則有.故應(yīng)選(B).</p><p> ?。?4)設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布,且</p><p><b> 則必有</b></p><p><b> (B) </b></p><p> (C
5、) (D) [ A ]</p><p> 【分析】 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.</p><p> 【詳解】 由題設(shè)可得</p><p><b> ,</b></p><p><b> 則 ,即.</b></
6、p><p> 其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).</p><p> 又是單調(diào)不減函數(shù),則,即.</p><p><b> 故選(A).</b></p><p> 三 、解答題:15-23小題,共94分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.</p><p> ?。?5)(本題滿分7分)<
7、/p><p><b> 設(shè),求</b></p><p><b> (Ⅰ) ;</b></p><p><b> (Ⅱ) .</b></p><p> 【分析】第(Ⅰ)問求極限時注意將作為常量求解,此問中含型未定式極限;第(Ⅱ)問需利用第(Ⅰ)問的結(jié)果,含未定式極限.<
8、/p><p><b> 【詳解】(Ⅰ) </b></p><p><b> .</b></p><p><b> (Ⅱ) (通分)</b></p><p> ?。?6)(本題滿分7分) </p><p> 計算二重積分,其中是由直線所圍成的平面區(qū)域
9、.</p><p> 【分析】畫出積分域,將二重積分化為累次積分即可.</p><p> 【詳解】積分區(qū)域如右圖.因為根號下的函數(shù)為關(guān)于的一次函數(shù),“先后”積分較容易,所以</p><p> ?。?7)(本題滿分10分)</p><p><b> 證明:當(dāng)時,</b></p><p><
10、;b> . </b></p><p> 【分析】 利用“參數(shù)變易法”構(gòu)造輔助函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性證明.</p><p><b> 【詳解】 令,</b></p><p><b> 則 ,且.</b></p><p><b> 又 ,(),</b>
11、</p><p> 故當(dāng)時,單調(diào)減少,即,則單調(diào)增加,于是,即</p><p><b> .</b></p><p> ?。?8)(本題滿分8分)</p><p> 在坐標(biāo)平面上,連續(xù)曲線過點,其上任意點處的切線斜率與直線的斜率之差等于(常數(shù)).</p><p><b> (Ⅰ)
12、 求的方程;</b></p><p> (Ⅱ) 當(dāng)與直線所圍成平面圖形的面積為時,確定的值.</p><p> 【分析】(Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立微分方程,并求解;(Ⅱ)利用定積分計算平面圖形的面積,確定參數(shù).</p><p> 【詳解】(Ⅰ) 設(shè)曲線的方程為,則由題設(shè)可得</p><p> ,這是一階線性微分方程,其中
13、,代入通解公式得</p><p><b> ,</b></p><p><b> 又,所以.</b></p><p><b> 故曲線的方程為 .</b></p><p> (Ⅱ) 與直線()所圍成平面圖形如右圖所示. 所以 </p><p>
14、<b> ,</b></p><p><b> 故.</b></p><p> ?。?9)(本題滿分10分)</p><p> 求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).</p><p> 【分析】因為冪級數(shù)缺項,按函數(shù)項級數(shù)收斂域的求法計算;利用逐項求導(dǎo)或積分并結(jié)合已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式計算和函數(shù).<
15、;/p><p><b> 【詳解】記,則</b></p><p><b> .</b></p><p> 所以當(dāng)時,所給冪級數(shù)收斂;當(dāng)時,所給冪級數(shù)發(fā)散;</p><p> 當(dāng)時,所給冪級數(shù)為,均收斂,</p><p> 故所給冪級數(shù)的收斂域為</p>&
16、lt;p><b> 在內(nèi),,</b></p><p><b> 而 ,</b></p><p><b> 所以 ,又,</b></p><p><b> 于是 .同理</b></p><p><b> ,</b><
17、;/p><p><b> 又 ,所以 .</b></p><p><b> 故 ..</b></p><p> 由于所給冪級數(shù)在處都收斂,且在 處都連續(xù),所以在成立,即 </p><p> ,.(20)(本題滿分13分)</p><p> 設(shè)4維向量組 ,問為何值時
18、線性相關(guān)?當(dāng)線性相關(guān)時,求其一個極大線性無關(guān)組,并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出.</p><p> 【分析】因為向量組中的向量個數(shù)和向量維數(shù)相同,所以用以向量為列向量的矩陣的行列式為零來確定參數(shù);用初等變換求極大線性無關(guān)組.</p><p> 【詳解】記以為列向量的矩陣為,則</p><p><b> .</b></p>
19、;<p> 于是當(dāng)時,線性相關(guān).</p><p> 當(dāng)時,顯然是一個極大線性無關(guān)組,且;</p><p><b> 當(dāng)時,</b></p><p><b> ,</b></p><p> 由于此時有三階非零行列式,所以為極大線性無關(guān)組,且.</p><p&
20、gt; ?。?1)(本題滿分13分)</p><p> 設(shè)3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.</p><p> (Ⅰ) 求的特征值與特征向量;</p><p> (Ⅱ) 求正交矩陣和對角矩陣,使得;</p><p> ?。á螅┣蠹埃渲袨?階單位矩陣.</p><p> 【分析】 由
21、矩陣的各行元素之和均為3及矩陣乘法可得矩陣的一個特征值和對應(yīng)的特征向量;由齊次線性方程組有非零解可知必有零特征值,其非零解是0特征值所對應(yīng)的特征向量.將的線性無關(guān)的特征向量正交化可得正交矩陣;由可得到和.</p><p> 【詳解】 (Ⅰ) 因為矩陣的各行元素之和均為3,所以</p><p><b> ,</b></p><p> 則由特
22、征值和特征向量的定義知,是矩陣的特征值,是對應(yīng)的特征向量.對應(yīng)的全部特征向量為,其中為不為零的常數(shù).</p><p> 又由題設(shè)知 ,即,而且線性無關(guān),所以是矩陣的二重特征值,是其對應(yīng)的特征向量,對應(yīng)的全部特征向量為 ,其中為不全為零的常數(shù).</p><p> (Ⅱ) 因為是實對稱矩陣,所以與正交,所以只需將正交.</p><p><b> 取 ,&
23、lt;/b></p><p><b> .</b></p><p><b> 再將單位化,得</b></p><p><b> ,</b></p><p> 令 ,則,由是實對稱矩陣必可相似對角化,得 </p><p><b>
24、 .</b></p><p> (Ⅲ)由(Ⅱ)知 ,所以</p><p><b> .</b></p><p><b> ,</b></p><p><b> 則.</b></p><p> ?。?2)(本題滿分13分)</p&
25、gt;<p> 設(shè)隨機變量的概率密度為</p><p><b> ,</b></p><p> 令為二維隨機變量的分布函數(shù).</p><p> (Ⅰ) 求的概率密度;</p><p><b> (Ⅱ) ;</b></p><p><b>
26、(Ⅲ) .</b></p><p> 【分析】 求一維隨機變量函數(shù)的概率密度一般先求分布,然后求導(dǎo)得相應(yīng)的概率密度或利用公式計算.</p><p> 【詳解】 (I) 設(shè)的分布函數(shù)為,即,則</p><p><b> 當(dāng)時,;</b></p><p><b> 當(dāng)時, </b>&
27、lt;/p><p><b> .</b></p><p><b> 當(dāng)時,</b></p><p><b> .</b></p><p><b> 當(dāng),.</b></p><p><b> 所以</b>&
28、lt;/p><p><b> .</b></p><p><b> (II) ,</b></p><p><b> 而 ,,</b></p><p><b> ,</b></p><p><b> 所以 .</
29、b></p><p><b> (Ⅲ) </b></p><p><b> .</b></p><p> ?。?3)(本題滿分13分)</p><p><b> 設(shè)總體的概率密度為</b></p><p> 其中是未知參數(shù),為來自總體的簡單
30、隨機樣本,記為樣本值中小于1的個數(shù).</p><p><b> ?。á瘢┣蟮木毓烙嫞?lt;/b></p><p> ?。á颍┣蟮淖畲笏迫还烙?lt;/p><p> 【分析】 利用矩估計法和最大似然估計法計算.</p><p> 【詳解】(Ⅰ)因為,</p><p> 令 ,可得的矩估計為 .<
31、/p><p> ?。á颍┯浰迫缓瘮?shù)為,則</p><p><b> .</b></p><p><b> 兩邊取對數(shù)得</b></p><p><b> ,</b></p><p> 令,解得為的最大似然</p><p>&l
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