第一章動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

1、李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,,指導(dǎo)教師：李傳東學(xué)生姓名：陳繼陽(yáng)學(xué)號(hào) ：112015333002113,目錄(1/1),目 錄概述5.1 李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義5.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本定理5.3 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析5.4 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析5.5 Matlab問(wèn)題 本章小結(jié),,,非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(1/4),5.4 非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析在線性系統(tǒng)中,如果平衡態(tài)是漸近

2、穩(wěn)定的,則系統(tǒng)的平衡態(tài)是唯一的,且系統(tǒng)在狀態(tài)空間中是大范圍漸近穩(wěn)定的。對(duì)非線性系統(tǒng)則不然。非線性系統(tǒng)可能存在多個(gè)局部漸近穩(wěn)定的平衡態(tài)(吸引子),同時(shí)還存在不穩(wěn)定的平衡態(tài)(孤立子),穩(wěn)定性的情況遠(yuǎn)比線性系統(tǒng)來(lái)得復(fù)雜。與線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析相比,由于非線性系統(tǒng)的多樣性和復(fù)雜性,所以非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析也要復(fù)雜得多。,,,非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(2/4),本節(jié)主要研究Lyapunov方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用。由于非線性系統(tǒng)千差

3、萬(wàn)別,沒(méi)有統(tǒng)一的描述,目前也不存在統(tǒng)一的動(dòng)力學(xué)分析方法,因此對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定性分析是困難的。對(duì)于非線性系統(tǒng),李雅普諾夫第二法雖然可應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定,但其只是一個(gè)充分條件,并沒(méi)有給出建立李雅普諾夫函數(shù)的一般方法。而只能針對(duì)具體的非線性系統(tǒng)進(jìn)行具體分析。,,,非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(3/4),對(duì)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問(wèn)題,目前切實(shí)可行的途徑為:針對(duì)各類(lèi)非線性系統(tǒng)的特性,分門(mén)別類(lèi)地構(gòu)造適宜的Lyapunov函數(shù)。如,

4、通過(guò)特殊函數(shù)來(lái)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的克拉索夫斯基法(也叫雅克比矩陣法)針對(duì)特殊函數(shù)的變量梯度構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的變量梯度法(也叫舒爾茨-吉布生法)針對(duì)特殊非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性近似處理的阿依捷爾曼法(也叫線性近似法)、魯立葉法等。,,,非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析(4/4),由于非線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性具有局部的性質(zhì),因此在尋找Lyapunov函數(shù)時(shí),須通過(guò)將系統(tǒng)的坐標(biāo)軸平移,將系統(tǒng)的所討論的平衡態(tài)移至原點(diǎn)。在討論穩(wěn)

5、定性時(shí),通常還要確定該局部漸近穩(wěn)定的平衡態(tài)的范圍。下面分別討論如下3種非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法?？死鞣蛩够ㄗ兞刻荻确ò⒁澜轄柭?,,克拉索夫斯基法(1/7),5.4.1 克拉索夫斯基法設(shè)非線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為對(duì)該系統(tǒng)有如下假設(shè):1) 所討論的平衡態(tài)xe=0;2) f(x)對(duì)狀態(tài)變量x是連續(xù)可微的,即存在雅可比矩陣對(duì)上述非線性系統(tǒng),有如下判別漸近穩(wěn)定性的克拉索夫斯基定理。,,,克拉索夫斯基法(2/7

6、),定理5-11 非線性定常連續(xù)系統(tǒng)的平衡態(tài)xe=0為漸近穩(wěn)定的充分條件為 為負(fù)定的矩陣函數(shù),且為該系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。更進(jìn)一步,當(dāng)||x||→∞時(shí),有||f(x)||→∞,則該平衡態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,,,證明 當(dāng)非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為 則其導(dǎo)數(shù)為,克拉索夫斯基法(3/7),由于 為系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù),即

7、 正定。因此,若 負(fù)定,則 必為負(fù)定。所以,由定理5-4知,該非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。 ???,,,克拉索夫斯基法(4/7),在應(yīng)用克拉索夫斯基定理時(shí),還應(yīng)注意下面幾點(diǎn)。

8、克拉索夫斯基定理只是漸近穩(wěn)定的一個(gè)充分條件,不是必要條件。如對(duì)于漸近穩(wěn)定的線性定常連續(xù)系統(tǒng)由于不是負(fù)定矩陣,故由克拉索夫斯基定理判別不出該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的?？梢?jiàn),該定理僅是一個(gè)充分條件判別定理。,,,克拉索夫斯基法(5/7),若V(x)=f?(x)f(x)正定,為L(zhǎng)yapunov函數(shù),則說(shuō)明只有當(dāng)x=0時(shí),才有V(x)=0,即原點(diǎn)是唯一的平衡態(tài)。因此,只有原點(diǎn)是系統(tǒng)的唯一平衡態(tài),才能用克拉索夫斯基定理判別漸近穩(wěn)定性,

9、并且由該定理判別出的漸近穩(wěn)定的平衡態(tài)一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。由克拉索夫斯基定理可知,系統(tǒng)的平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的條件是J(x)+J?(x)為負(fù)定矩陣函數(shù)。由負(fù)定矩陣的性質(zhì)知,此時(shí)雅可比矩陣J(x)的對(duì)角線元素恒取負(fù)值,因此向量函數(shù)f(x)的第i個(gè)分量必須包含變量xi,否則,就不能應(yīng)用克拉索夫斯基定理判別該系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。將克拉索夫斯基定理推廣到線性定常連續(xù)系統(tǒng)可知:對(duì)稱(chēng)矩陣A+A?負(fù)定,則系統(tǒng)的原點(diǎn)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,,,

10、克拉索夫斯基法(6/7),例4-12 試確定如下非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)的穩(wěn)定性:解 由于f(x)連續(xù)可導(dǎo)且可取作李雅普諾夫函數(shù),因此,有,,,克拉索夫斯基法(7/7),由塞爾維斯特準(zhǔn)則有故矩陣函數(shù) 負(fù)定,所以由克拉索夫斯基定理可知,平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。,,,變量梯度法 (1/10),5.4.2 變量梯度法 舒爾茨和吉布生在1962年提出的變量梯度法,為構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)提供了一種比較實(shí)用的方法。該方法

11、的思想是設(shè)法構(gòu)造出Lyapunov函數(shù)的梯度來(lái)分析Lyapunov函數(shù)的定號(hào)性。設(shè)非線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為且所討論的平衡態(tài)為原點(diǎn),即xe=0。,,,變量梯度法 (2/10),設(shè)所找到的非線性系統(tǒng)的判定平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的李雅普諾夫函數(shù)為V(x),它是x的顯函數(shù),而不是時(shí)間t的顯函數(shù),則V(x)的單值梯度gradV存在。梯度gradV是如下定義的n維向量:舒爾茨和吉布生建議,先假設(shè)gradV具有某種形式,并

12、由此求出符合要求的V(x)和V'(x)。,,,變量梯度法 (3/10),由可知,V(x)可由gradV的線積分求取,即 式中,積分上限x是狀態(tài)空間的一點(diǎn)(x1,x2,…,xn)。由場(chǎng)論知識(shí)可知,若梯度gradV的n維旋度等于零,即rot(gradV)=0,則V可視為保守場(chǎng),且上式所示的線積分與路徑無(wú)關(guān)。,,,變量梯度法 (4/10),而rot(gradV)=0的充分必要條件是:gradV的雅可比矩陣是對(duì)稱(chēng)矩

13、陣,即當(dāng)上述條件滿(mǎn)足時(shí),式(5-29)的積分路徑可以任意選擇,故可以選擇一條簡(jiǎn)單的路徑,即依各個(gè)坐標(biāo)軸xi的方向積分,,,,變量梯度法 (5/10),按變量梯度法構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)方法的步驟如下。1) 將李雅普諾夫函數(shù)V(x)的梯度假設(shè)為式中,aij(i,j=1,2,…,n)為待定系數(shù),它們可以是常數(shù),也可以是t的函數(shù)或x1,x2,…,xn的函數(shù)。通常將aij選擇為常數(shù)或t的函數(shù)。,,,,變量梯度法 (6/10),2

14、) 由 定義 。由平衡態(tài)漸近穩(wěn)定時(shí) 為負(fù)定的條件,可以決定部分待定參數(shù)aij。3) 由限制條件 式中決定其余待定參數(shù)aij。4) 按式(5-31)求線積分,獲得V(x)。驗(yàn)證V(x)的正定性,若不正定則需要重新選擇待定參數(shù)aij,直至V(x)正定為止。5) 確定平衡態(tài)xe=0漸近穩(wěn)定的范圍。,,,,變量梯度法 (7/10)—例5-14,由上述構(gòu)

15、造過(guò)程可知,變量梯度法只是建立非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)的充分性方法。用這種方法沒(méi)有找到適宜的李雅普諾夫函數(shù),并不意味著平衡態(tài)就不是漸近穩(wěn)定的。例5-14 試確定如下非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)的穩(wěn)定性。解 顯然xe=0是系統(tǒng)的平衡態(tài)。可設(shè)李雅普諾夫函數(shù)V(x)的梯度為,,,,,變量梯度法 (8/10),由gradV可得如下V(x)的導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí),V'(x)為負(fù)定。即上述aij所滿(mǎn)足的條件是V'(x

16、)負(fù)定的一個(gè)充分條件。,,,,變量梯度法 (9/10),由限制條件(5-30),并設(shè)a12和a21為常數(shù),有綜上所述,有,,,,變量梯度法 (10/10),計(jì)算線積分式(5-31),得由于0<a12<a22,故V(x)是正定的。因此,該系統(tǒng)原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。當(dāng)||x||→∞時(shí),有V(x)→∞,所以該系統(tǒng)原點(diǎn)是系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定的。,,,,阿依捷爾曼法(1/10),5.4.3 阿依捷爾曼法假設(shè)系統(tǒng)

17、中出現(xiàn)的非線性關(guān)系為如圖5-8所示的靜態(tài)非線性關(guān)系,即它是一個(gè)單值的非線性函數(shù),且滿(mǎn)足,,,,圖5-8 一類(lèi)靜態(tài)非線性特性,上述非線性函數(shù)fi(xi)為通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),且介于直線ki,1xi和ki,2xi之間的任意形狀的曲線函數(shù),因此具有一定的代表性,可用來(lái)描述一大類(lèi)非線性系統(tǒng)。,阿依捷爾曼法(2/10),考慮具有上述非線性函數(shù)關(guān)系的如下非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程:,,,,式中,x為n維狀態(tài)變量向量;A和B為適宜維數(shù)的常數(shù)矩陣;f(x)=[

18、f1(x1) f2(x2) … fn(xn)]T為n維關(guān)于狀態(tài)向量x的向量函數(shù)。由式(5-32)和式(5-33)可知,原點(diǎn)x=0是狀態(tài)空間的平衡態(tài)。,阿依捷爾曼法(3/10),對(duì)于上述系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,阿依捷爾曼法的思想是先用線性關(guān)系?ixi取代非線性關(guān)系fi(xi),即令?ixi=fi(xi)。因而對(duì)于該非線性系統(tǒng),其線性化后的系統(tǒng)同樣可以建立正定的李雅普諾夫函數(shù),并判定漸近穩(wěn)定性;若線性化后的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,則由使

19、李雅普諾夫函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為負(fù)定的漸近穩(wěn)定的充分條件來(lái)確定原非線性系統(tǒng)在ki,1<fi(xi)/xi< ki,2xi內(nèi)是否漸近穩(wěn)定的。因此,應(yīng)用阿依捷爾曼法判定非線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的步驟如下。1) 系統(tǒng)中的非線性函數(shù)fi (xi)用線性關(guān)系?ixi代替。,,,,阿依捷爾曼法(4/10),2) 對(duì)線性化后的系統(tǒng),找出其相應(yīng)的判定漸近穩(wěn)定的二次型李雅普諾夫函數(shù),即V(x)=x?Px,其中矩陣P為正定的,并滿(mǎn)足同時(shí)有V'

20、;(x)=-x?Qx;3) 將求取的V(x)作為原非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù),再求出它對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù),即將非線性狀態(tài)方程(5-33)代入,得到非線性系統(tǒng)的V'(x)。最后根據(jù)V'(x)應(yīng)是負(fù)定的系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件,確定非線性關(guān)系漸近穩(wěn)定時(shí)的ki,1和ki,2的取值范圍。,,,,阿依捷爾曼法(5/10)—例5-15,阿依捷爾曼法判定非線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性只是一個(gè)充分性的方法。當(dāng)非線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定時(shí),非線性關(guān)系中的k

21、i,1和ki,2的實(shí)際取值范圍可能要比用阿依捷爾曼法確定的大。而且,對(duì)線性化系統(tǒng)得到的李雅普諾夫函數(shù)不同,則與其相應(yīng)的ki,1和ki,2的取值范圍也不同。例5-15 設(shè)非線性控制系統(tǒng)如圖5-9所示,試用阿依捷爾曼法判定該系統(tǒng)在給定輸入r(t)=0時(shí)的漸近穩(wěn)定性。,,,,,,阿依捷爾曼法(6/10),解 圖5-9所示的非線性控制系統(tǒng)在給定輸入r(t)=0時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中，f(e)為單值非線性函數(shù)。如果選擇狀態(tài)變量x1

22、=e,x2=e‘,則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,,,,,阿依捷爾曼法(7/10),設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性如圖5-10所示,那么它可以用一條直線近似,即f(x1)≈2x1,于是線性化狀態(tài)方程為,,,,,圖5-10 非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性,由李雅普諾夫代數(shù)方程PA+A?P=-I,解出故線性化系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。,,阿依捷爾曼法(8/10),取原非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)V(x)=x?Px,則有,,,,,,阿依捷爾曼法(9/10),根據(jù)塞爾維

23、斯特準(zhǔn)則可知,當(dāng)時(shí),V‘(x)負(fù)定,從而求得在時(shí),該非線性系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。這樣就確定了,只要系統(tǒng)中的單值非線性特性的允許變化范圍為如圖5-10所示的兩條斜率分別為6.983和0.573的直線所夾成的對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)的兩個(gè)扇形區(qū),只要非線性環(huán)節(jié)的曲線在此允許范圍內(nèi)變化,則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,,,,阿依捷爾曼法(10/10),由上可見(jiàn),阿依捷爾曼法有以下優(yōu)點(diǎn)。1) 與克拉索夫斯基法在平衡態(tài)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法不同,此法