{范例18}角動(dòng)量空間量子化模型

1、{范例14.8} 角動(dòng)量空間量子化模型,,,,,,,,,,,,,,,,根據(jù)氫原子薛定諤方程的結(jié)論，說(shuō)明角動(dòng)量空間量子化模型，求出角動(dòng)量與特定方向(例如Bz方向)的夾角。,,,,,,,,,,,,,,[解析]氫原子是由質(zhì)子和電子組成的系統(tǒng)，質(zhì)子形成帶正電的原子核，其質(zhì)量是電子質(zhì)量的1836倍，因此在電子繞核運(yùn)動(dòng)時(shí)可認(rèn)為原子核是靜止的。,,,,,電子和原子核之間的電勢(shì)能為,,,其中，e為電子電量，r為電子到核的距離。,由于V(r)不隨時(shí)間改變

2、，所以是一個(gè)定態(tài)問(wèn)題。,,,,,,,電子繞核運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程為,,,,,,勢(shì)能是球?qū)ΨQ(chēng)的。,直角坐標(biāo)和球坐標(biāo)變換如下,x = rsinθcosφ，y = rsinθsinφ，z = rcosθ。,{范例14.8} 角動(dòng)量空間量子化模型,,,,,,,,,,,,,,,,根據(jù)氫原子薛定諤方程的結(jié)論，說(shuō)明角動(dòng)量空間量子化模型，求出角動(dòng)量與特定方向(例如Bz方向)的夾角。,,,,,,,,,,,,,,電子在球坐標(biāo)系中的薛定諤方程為,,,,,ψ=ψ(

3、r,θ,φ)是球坐標(biāo)系中的波函數(shù)。,,,設(shè)ψ(r,θ,φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)，,R(r)，Θ(θ)和Φ(φ)分別是r，θ和φ的函數(shù)。,,,,,,,經(jīng)過(guò)嚴(yán)密數(shù)學(xué)運(yùn)算，可得三個(gè)函數(shù)所滿(mǎn)足的三個(gè)常微分方程,,,,,,其中ml和λ是常數(shù)。,,,,,,解這些微分方程并利用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件(單值，連續(xù)和有限)和歸一化條件，可得出一些重要的結(jié)論。,{范例14.8} 角動(dòng)量空間量子化模型,,,,,,,,,,,,,,,,根據(jù)氫原子薛定諤方程的結(jié)

4、論，說(shuō)明角動(dòng)量空間量子化模型，求出角動(dòng)量與特定方向(例如Bz方向)的夾角。,,,,,,,,,,,,,,(1)氫原子的能量是不連續(xù)的，處在第n個(gè)定態(tài)的總能量為,,,,,n是主量子數(shù)。,,,根據(jù)氫原子的定態(tài)薛定諤方程解得的能級(jí)公式與玻爾氫原子理論所得結(jié)果完全相同，但是不需要象玻爾理論那樣人為地加上量子化條件。,,,,,,,(2)氫原子中電子的角動(dòng)量也只能取分立的值，其大小為,,,,,,(l = 0，1，2，…，n - 1),,,,,,l為角

5、量子數(shù)或副量子數(shù)。,,,對(duì)于同一個(gè)n值，l可以取從0到n - 1共n個(gè)不同的值。,l = 0，1，2，3，4，5的狀態(tài)通常用字母s，p，d，f，g，h表示。,{范例14.8} 角動(dòng)量空間量子化模型,,,,,,,,,,,,,,,,根據(jù)氫原子薛定諤方程的結(jié)論，說(shuō)明角動(dòng)量空間量子化模型，求出角動(dòng)量與特定方向(例如Bz方向)的夾角。,,,,,,,,,,,,,,(3)在量子力學(xué)中，氫原子核外電子的角動(dòng)量在空間任意方向(如外磁場(chǎng)方向)的投影也是不

6、連續(xù)的，只能取一些特殊的不連續(xù)的值Lz = ml? (ml = 0，±1，±2，…，±l),,,,,,,,,,,,,即：角動(dòng)量在空間任一方向的投影也是量子化的，這種現(xiàn)象稱(chēng)為角動(dòng)量空間量子化。,,,,,,對(duì)于確定的l，ml只能取0，±1，±2，…，±l共2l + 1個(gè)值，ml稱(chēng)為軌道磁量子數(shù)。,,,,,,如圖所示，角動(dòng)量與某一方向的夾角為,,,由于ml是整數(shù)，所以角動(dòng)量只能取一

7、些特定的方向。,(L在LxLy平面的投影用Lr表示。),,當(dāng)氫原子中電子的角量子數(shù)為1時(shí)，軌道角動(dòng)量為1.414?。,軌道磁量子數(shù)可取-1，0，1，這時(shí)，軌道角動(dòng)量與豎直方向的夾角分別為45º，90º和135º。,當(dāng)氫原子中電子的角量子數(shù)為2時(shí)，軌道角動(dòng)量為2.450?。,軌道磁量子數(shù)可取-2，-1，0，1，2，這時(shí)，軌道角動(dòng)量與豎直方向的夾角分別為35.26º，65.9º，和90

8、86;等。,當(dāng)氫原子中電子的角量子數(shù)為3時(shí)，軌道角動(dòng)量為3.464?。,軌道磁量子數(shù)可取-3，-2，-1，0，1，2，3，這時(shí)，軌道角動(dòng)量與豎直方向的最小夾角為30º，最大夾角為150º。,當(dāng)氫原子中電子的角量子數(shù)為4時(shí)，軌道角動(dòng)量為4.472?。,軌道磁量子數(shù)可取-4到4共9個(gè)整數(shù)，這時(shí)，軌道角動(dòng)量與豎直方向的最小夾角為26.57º，最大夾角為153.4º。,當(dāng)角量子數(shù)為5時(shí)，軌道角動(dòng)量為5.4