chap07-樣條函數(shù)

1、第7章 樣條函數(shù)(Spline),7.1 二次樣條函數(shù)7.2 三次樣條函數(shù),概述,樣條函數(shù)的實質：是分段的低階插值多項式。高階易產(chǎn)生Runge現(xiàn)象?！皹訔l”的來源：工程繪圖人員為了將一些指定點連接成一條光順曲線所使用的工具，即富有彈性的細木條或薄鋼條。由這樣的樣條形成的曲線在連接點處具有連續(xù)的坡度與曲率。分段低次多項式、在分段處具有一定光滑性的函數(shù)插值就是模擬以上原理發(fā)展起來的，它克服了高次多項式插值可能出現(xiàn)的振蕩現(xiàn)象，

2、具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性和收斂性。,概述,樣條函數(shù)的分類：B(Basis-基)樣條函數(shù)典型：貝塞爾曲線（也稱貝茲曲線）一般樣條函數(shù)二次樣條函數(shù)三次樣條函數(shù),7.1 二次樣條函數(shù),它是分段的二次插值多項式7.1.1 二次樣條函數(shù)的定義和特性1、定義,7.1 二次樣條函數(shù),2、特性(1) 插值特性，即：Si(xi)的函數(shù)值 = 節(jié)點值yi(2) S(x)是連續(xù)函數(shù)；特別地，在節(jié)點處有：(3) 是一階導數(shù)連續(xù)的函

3、數(shù),7.1 二次樣條函數(shù),7.1.2 二次樣條函數(shù)系數(shù)的確定1、系數(shù)的個數(shù)：,7.1 二次樣條函數(shù),2、系數(shù)的計算：(1) ci的計算(2) bi的計算(3) ai的計算,7.1 二次樣條函數(shù),3、等距節(jié)點的系數(shù)計算公式,7.1 二次樣條函數(shù),7.1.3 二次樣條計算過程和算例7.1.4 插值余項,7.2 三次樣條函數(shù),是分段的三次插值多項式7.2.1 三次樣條函數(shù)的定義,7.2 三次樣條函數(shù),三次樣條函數(shù)的一般

4、形式：,7.2 三次樣條函數(shù),7.2.2 邊界條件和邊界條件類型三次樣條的系數(shù)個數(shù)：4n個可列方程的個數(shù)：---(4n-2)個插值特性：n+1個函數(shù)連續(xù)性：n-1個一階導數(shù)連續(xù)性：n-1個二階導數(shù)連續(xù)性：n-1個,7.2 三次樣條函數(shù),邊界條件必須增加2個條件，由于這些條件通常是在邊界處產(chǎn)生，故稱為邊界條件。邊界條件的類型：(1)給出兩個端點 的一階導數(shù)值(2)給出兩個端點 的二

5、階導數(shù)值(3)若被逼近函數(shù)f(x)是 以T=b-a為周期的函數(shù),7.2 三次樣條函數(shù),7.2.3 三次樣條函數(shù)的構造為什么要構造?若三次樣條函數(shù)取一般的三次多項式，則其4n個系數(shù)并不容易求得。因此，通常需要構造三次樣條函數(shù)的解析式，目的就是為了更容易求得系數(shù)。如何構造?先構造三次樣條函數(shù)S(x)的二階導數(shù)；再通過積分推導出S(x)的形式；并獲得求解系數(shù)的方法,7.2 三次樣條函數(shù),構造過程：,,7.2 三次樣條