數學物理思想數學物理方程（簡稱數理方程）-電子科技大學

1、,第二篇 數學物理方程,本篇主要內容：二階線性偏微分方程的建立和求解重點：數學物理方程求解方法中的分離變量法和行波法.特點：加強物理模型和數學物理思想的介紹，以便充分了解模型的物理意義，有利于根據數學物理模型建立數學物理方程．,數學物理思想,數學物理方程（簡稱數理方程）是指從物理學及其它各門自然科學、技術科學中所導出的函數方程，主要指偏微分方程和積分方程．,數學物理方程所研究的內容和所涉及的領域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的

2、許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律.,,,,,從物理規(guī)律角度來分析，數學物理定解問題表征的是場和產生這種場的源之間的關系．,根據分析問題的不同出發(fā)點，把數學物理問題分為正向問題和逆向問題.,不同出發(fā)點,正向問題，即為已知源求場,逆向問題，即為已知場求源.,,前者是經典數學物理所討論的主要內容. 后者是高等數學物理（或稱為現(xiàn)代數學物理）所討論的主要內容,多數為二階線性偏微分方程,振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足波動方程,熱傳導問題和擴散問題滿足熱傳

3、導方程,靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方程或泊松方程,數學物理方程的類型和所描述的物理規(guī)律,三類典型的數學物理方程,三類典型的數學物理方程,,,,,,,退化為拉普拉斯方程,,分離變量法,偏微分方程,標準的常微分方程,,,,標準解，即為各類特殊函數,三類數學物理方程的一種最常用解法,第九章 數學建模---數學物理定解問題,9.1 數學建模----波動方程類型的建立,具有波動方程的數理方程的建立,定解條件,傳輸線方程,9.1.1波動方程的建立,

4、1. 弦的微小橫振動,考察一根長為,且兩端固定、水平拉緊的弦．,討論如何將這一物理問題轉化為數學上的定解問題．要確定弦的運動方程，需要明確：,確定弦的運動方程,（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.,（3）按物理定理寫出數學物理方程（即建立泛定方程）,,,,要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移,注意： 物理問題涉及的因素較多，往往還需要引入適當假設才能使方程簡化． 數學物理方程必須反映弦上任一位置

5、上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點不能取在端點上，但可以取除端點之外的任何位置作為考察點．,,（9.1.1）,,(9.1.2),,注意到:,故由圖9.11得,,這樣，(9.1.1)和(9.1.2)簡化為,,因此在微小橫振動條件下，可得出,,,故有,,(9.1.5),,(9.1.6),即為,（9.1.7）,上式即為弦作微小橫振動的運動方程，簡稱為弦振動方程．,,,其中,討論：,（1）若設弦的重量遠小于弦的張力，則上式(9.1.7)右

6、端的重力加速度項可以忽略．由此得到下列齊次偏微分方程：,,（9.1.8）,稱式（9.1.8）為弦的自由振動方程,,(9.1.9),處單位質量上的橫向外力,式（9.1.9）稱為弦的受迫振動方程.,2、 均勻桿的縱振動,,段的運動方程為,（9.1.10）,可得,,（9.1.11）,這就是桿的縱振動方程．,討論,,,（9.１.12）,,,其中,這與弦振動方程（9.１.8）具有完全相同的形式．,3. 傳輸線方程（電報方程）,,（9.1.13）,

7、同理可得：,,(9.1.14),式（9.1.13）及（9.1.14）即為一般的傳輸線方程（或電報方程）．,(1)無失真線,,(9.1.15),其中,,(2)無損耗線,,（9.1.16）,,(9.1.17),具有與振動方程類似的數學形式，盡管它們的物理本質根本不同,(3)無漏導，無電感線,,（9.1.18）,,(9.1.19),它們具有與下節(jié)將討論的一維熱傳導方程類似的數學形式，盡管它們的物理本質根本不同．,9.1.2 波動方程的定解條

8、件,定解條件：初始條件和邊界條件,1.初始條件,波動方程的初始條件通常是,,（9.1.22）,,，如圖9.5所示，然后放手任其振動，試寫出初始條件。,【解】 初始時刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有,,初始位移如圖所示,,2.邊界條件,常見的線性邊界條件分為三類：,第一類邊界條件,直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數值,第二類邊界條件,規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向導數的數值,,（9.1.23）,,（9.1.

9、24）,第三類邊界條件,規(guī)定了所研究的物理量及其外法向導數的線性組合在邊界上的數值,,（9.1.25）,9.2 數學建模－熱傳導方程類型的建立,9.2.1數學物理方程――熱傳導類型方程的建立,1.熱傳導方程,推導固體的熱傳導方程時，需要利用能量守恒定律和關于熱傳導的傅里葉定律：,熱傳導的傅里葉定律：,,,（9.2.1）,圖9.8,取直角坐標系Oxyz, 如圖9.8,表示t時刻物體內任一點（x,y,z）處的溫度,在dt 時間內通過ABC

10、D面流入的熱量為,,,,則根據能量守恒定律得熱平衡方程,,或寫成,(9.2.2),2. 擴散方程,,(9.2.3),,,其中,將一維推廣到三維，即得到,,(9.2.4),上述方程與一維熱傳導方程具有完全類似的形式,若外界有擴散源，且擴散源的強度為,這時，擴散方程應為,,（9.2.5）,從上面的推導可知，熱傳導和擴散這兩種不同的物理現(xiàn)象，但可以用同一類方程來描述.,9.2.2 熱傳導（或擴散）方程的定解條件,1 初始條件,熱傳導方程的初

11、始條件一般為,,（9.2.6）,2 邊界條件,,(9.2.7),直接給出函數u 在邊界上的數值,所以是第一類邊界條件.,2. 第二類,,,設單位時間內通過邊界上單位面積流入的熱量為,.,如圖9.10所示.,圖9.10,,,,,所以當,由熱平衡方程給出:,,,(9.2.8),3. 第三類,根據牛頓冷卻定律: 單位時間從周圍介質傳到邊界上單位面積的熱量與表面和外界的溫度差成正比, 即,,,,為常數,與推導條件(9.2.11)相似,此時可得

12、邊界條件,,(9.2.9),其中,9.3 數學建?！€(wěn)定場方程類型的建立,9.3.1 數學建?！€(wěn)定場方程類型的建立,1 靜電場的電勢方程,直角坐標系中泊松方程為,,(9.3.1),,(9.3.2),稱這個方程為拉普拉斯方程.,2. 穩(wěn)定溫度分布,導熱物體內的熱源分布和邊界條件不隨時間變化,故熱傳導方程中對時間的偏微分項為零，從而熱傳導方程（9.2.1)，(9.2.2) 即為下列拉普拉斯方程和泊松方程.,,(9.3.3),(9.3

13、.4),9.3.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件,泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件不包含初始條件,而只有邊界條件.,邊界條件分為三類:,2、在邊界上給定未知函數導數的值,即為第二類邊界條件．,3、在邊界上給定未知函數和它的導數的某種線性組合, 即第三類邊界條件.,第一、二、三類邊界條件可以統(tǒng)一地寫成,(9.3.5),,,為常數，它們不同時為零．,9.4 數學物理定解理論,9.4.1 定解條件和定解問題的提法,邊界條件的類

14、型,除了前面我們介紹的第一、第二、第三類邊界條件之外，還有其它邊界條件，如自然邊界條件，銜接條件, 周期性條件和無邊界條件．,9.4.2 數學物理定解問題的適定性,(1) 解的存在性,看所歸結出來的定解問題是否有解；,(2) 解的唯一性,看是否只有一個解,(3) 解的穩(wěn)定性,當定解問題的自由項或定解條件有微小變化時，解是否相應地只有微小的變化量,定解問題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性.,9.4.3 數學物理定解問題的

15、求解方法,1.行波法；2.分離變量法；3.冪級數解法；4.格林函數法； 5.積分變換法；6.保角變換法； 7.變分法；8.計算機仿真解法；9.數值計算法,9.5 本章典型綜合實例,【解】 （1）確定泛定方程：,弦作自由（無外力）橫振動，所以泛定方程為齊次波動方程,,(2)確定邊界條件,對于弦的固定端，顯然有,另一端自由，意味著其張力為零．故由式（9.1.39），則,(3)確定初始條件,,初始速度,綜上討論，故定解問題為,