第1章離散時間信號與系統(tǒng)

1、1,第1章 離散時間信號與系統(tǒng),離散時間信號序列的表示序列的產(chǎn)生常用序列序列的基本運算系統(tǒng)分類線性系統(tǒng)移不變系統(tǒng)因果系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)常系數(shù)線性差分方程連續(xù)時間信號的抽樣,2,x [k]={1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,3},離散信號(序列)的表示,3,對連續(xù)信號抽樣 x[k]=x(kT) 信號本身是離散的計算機產(chǎn)生注意：離散信號: 時間上都量化的信號數(shù)字信號: 時間和幅

2、度上都量化的信號,離散序列的產(chǎn)生,4,1．單位脈沖序列,2.單位階躍序列,3．矩形序列,常用序列,5,4．指數(shù)序列,有界序列： ?k?Z |x [k]| ? Mx 。 Mx是與 k無關(guān)的常數(shù),aku[k]： 右指數(shù)序列,,|a| ?1序列有界,aku[-k]： 左指數(shù)序列,,|a| ?1序列有界,5．虛指數(shù)序列(單頻序列),角頻率為w 的模擬信號,數(shù)字信號角頻率W=T w,6,虛指數(shù)序列 x [k]=exp( jW k) 是否

3、為周期的? 如是周期序列其周期為多少？,即W / 2p為有理數(shù)時，信號才是周期的。,如果W / 2p=m / L , L, m 是不可約的整數(shù)，則信號的周期為L。,7,6．正弦型序列,例 試確定余弦序列x[k] = cosW0k 當(a) W0=0 (b) W0=0.1p (c) W0=0.2p (d) W0=0.8p (e) W0=0.9p (f) W0=p 時的基本周期。,解

4、：(a) W0 /2p= 0/1， N=1。(b) W0 /2p=0.1/2=1/20， N=20。(c) W0 /2p=0.2/2=1/10， N=10。(d) W0 /2p=0.8/2=2/5， N=5。(e) W0 /2p=0.9/2=9/20,? N=20。(f) W0 /2p=1/2,

5、 N=2。,8,x[k] = cosW0 k , W0=0.2p,x[k] = cosW0 k , W0=0.8p,x[k] = cosW0 k , W0=p,x[k] = cosW0 k , W0=0,9,當W0從p增加到2p時，余弦序列幅度的變化將會逐漸變慢。,即兩個余弦序列的角頻率相差2p的整數(shù)倍時，所表示的是同一個序列。,cos[(2p-W0 )k]= cos(W0 k),W0

6、 在p 附近的余弦序列是 高頻信號。W0 0或2p 附近的余弦序列是 低頻信號。,10,11,,序列的基本運算,翻轉(zhuǎn)(time reversal) x[k]?x[-k]位移(延遲) x[k]? x[k-N]抽取(decimation) x[k]? x[Mk] 內(nèi)插(interpolation)卷積,12,例：已知x1[k] * x2[k]=

7、y[k]，試求y1[k]= x1[k-n] * x2[k-m]。,結(jié)論： y1[k]= y[k-(m+n)],例：x[k] 非零范圍為 N1? k ? N2 ， h[k] 的非零范圍為 N3? k? N4 求： y[k]=x[k]* h[k]的非零范圍。,結(jié)論：N1+N3? k ? N4+N2,13,實序列的偶部和奇部序列的單位脈沖序列表示,14,系統(tǒng)分類,線性(Linearity)注意：齊次性疊

8、加性,15,例: 設(shè)一系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為 y[k]=x2[k] 試判斷系統(tǒng)是否為線性？解：輸入信號x [k]產(chǎn)生的輸出信號T{x [k]}為 T{x [k]}=x2[k] 輸入信號ax [k]產(chǎn)生的輸出信號T{ax [k]}為 T{ax [k]}= a2x2[k] 除了a=0,1情況，T{ax [k]}? aT{x [k]}。

9、故系統(tǒng)不滿足線性系統(tǒng)的的定義，所以系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。,16,例  y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。,計算T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3，而ay1(n)+by2(n)＝5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b),17,時不變(Time-Invatiance)定義：如T{x [k]}=y[k]，則T{x [k-n]}=y[k-n]線性時不變

10、系統(tǒng)簡稱為：LTI在n表示離散時間的情況下，“非移變”特性就是“非時變”特性。,例  證明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移變系統(tǒng)。,計算T[x(n-k)]=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。,18,解：輸入信號x[k]產(chǎn)生的輸出信號y[k]為 y[k]=T{ x[k]}= x[Mk] 輸入信號x[k-n]產(chǎn)生的輸出信號T{x[k-n]}為

11、T{x[k-n]}= x[Mk-n] 由于 x[Mk-n] ?y[k-n]故系統(tǒng)是時變的。,例: 已知抽取器的輸入和輸出關(guān)系為 y[k]=x[Mk] 試判斷系統(tǒng)是否為時不變的？,19,抽取器時變特性的圖示說明,,20,定義：,例：累加器:,單位脈沖響應(yīng)（Impulse response）,21,LTI系統(tǒng)對任意輸入的響應(yīng),22,當任意輸入x(n)

12、用前式表示時，則系統(tǒng)輸出為,因為系統(tǒng)是線性非移變的，所以,通常把上式稱為離散卷積或線性卷積。這一關(guān)系常用符號“*”表示：,23,離散卷積滿足以下運算規(guī)律：(1)交換律,24,(2)結(jié)合律,25,(3)分配律,26,離散卷積的計算,27,計算卷積的步驟如下：     (1)折疊：先在啞變量坐標軸k上畫出x(k)和h(k)，將h(k)以縱坐標為對稱軸折疊成 h(-k)。   

13、;  (2)移位：將h(-k)移位n，得h(n-k)。當n為正數(shù)時，右移n；當n為負數(shù)時，左移n。     (3)相乘：將h(n-k)和x(k)的對應(yīng)取樣值相乘。     (4)相加：把所有的乘積累加起來，即得y(n)。,上圖為：,與,的線性卷積。,28,計算線性卷積時，一般要分幾個區(qū)間分別加以考慮，下面舉例說明。,例 &#

14、160;已知x(n)和h(n)分別為：,和,試求x(n)和h(n)的線性卷積。,解  參看圖2. 15，分段考慮如下：,(1)對于n4，且n-6≤0，即46，且n-6≤4，即64，即n>10時：,29,30,綜合以上結(jié)果，y(n)可歸納如下：,31,卷積結(jié)果y(n)如圖2. 16所示,32,因果性,定義定理證明（充分性、必要性）舉例,33,穩(wěn)定性,定義定理證明（充分性、必要性）舉例,34,線性常系數(shù)

15、差分方程,用迭代法求解差分方程－－－求單位抽樣響應(yīng)差分方程的優(yōu)點：在一定條件下，可得到系統(tǒng)的輸出可直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)舉例,35,信號的抽樣,連續(xù)信號頻譜X(jw)與抽樣信號頻譜X (ejW )的關(guān)系時域抽樣定理抗混疊濾波信號的重建連續(xù)信號的離散處理,36,點抽樣,抽樣間隔(周期) T (s)抽樣角頻率 wsam=2p/T (rad/s)抽樣頻率

16、 fsam=1/T (Hz),抽樣過程的兩種數(shù)學(xué)模型,37,理想抽樣,38,連續(xù)信號頻譜X(jw)與理想抽樣信號頻譜Xs(jw)的關(guān)系,39,點抽樣信號頻譜X(ejW)與理想抽樣信號頻譜Xs(jw)的關(guān)系,40,連續(xù)信號頻譜X(jw)與點抽樣信號頻譜X (ejW )的關(guān)系,41,,X(jw)=0 |w|>wm稱為wm 為信號的最高(角)頻率。ωm,帶限(band limit)信號,42,例: 已知某帶限信號抽樣信

17、號x(t)的頻譜如圖所示， 試分別抽樣角頻率wsam=2.5wm, 2wm , 1.6wm抽樣時，抽樣后離散序列x[k]的頻譜。,解：,43,44,45,設(shè)x(t)是帶限實信號，則抽樣后信號頻譜不混疊的(充分)條件為：,T ? p/wm=1/(2fm),時域抽樣定理,fsam? 2fm （或wsam ? 2 wm）,抽樣頻率fs滿足：,或抽樣間隔T 滿足,fsam = 2fm 頻譜不混疊最小抽樣頻率(Nyquist r

18、ate)T=1/(2fm) 頻譜不混疊最大抽樣間隔,,46,例：已知x(t)=Sa(pf0t), 試確定頻譜不混疊最大抽樣間隔T及抽樣后的序列x[k]。,解：,所以wsam=2pf0，即T=1/f0。,若信號x(t)以T為抽樣間隔抽樣后的序列為d[k]，則稱該信號Nyquist-T 信號。,在所有的Nyquist-T 信號中，只有x(t)=Sa(pf0t)是帶限的。,47,例：已知連續(xù)帶通信號x(t)的頻譜如下圖所示, 試分別

19、畫出wsam1=0.5wm 及wsam2=0.8wm時，抽樣后離散序列的頻譜。,解：,wsam1=0.5wm ,,T1=2p/wsam1 =4p/wm,wsam2=0.8wm ,,T2=2p/wsam2=2.5p/wm,48,抗混疊濾波,許多實際工程信號不滿足帶限條件,,49,信號的重建,理想D/A模型框圖,理想D/A輸入和輸出,,50,51,,52,零階保持D/A,零階保持D/A模型框圖,53,零階保持D/A輸出信號的頻譜為