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文檔簡介
1、第二章:信號與噪聲,2.1 信號的分類2.2 確知信號的分析2.3 隨機(jī)變量的統(tǒng)計特征2.4 隨機(jī)過程的一般表述2.5 平穩(wěn)隨機(jī)過程2.6 高斯隨機(jī)過程2.7 隨機(jī)過程通過系統(tǒng)的分析2.8 窄帶高斯噪聲2.9 周期平穩(wěn)隨機(jī)過程,2.1信號的分類,2.1.1確知信號與隨機(jī)信號,確知信號是指能夠以確定的時間函數(shù)表示的信號,它在定義域內(nèi)任意時刻都有確定的函數(shù)值。例如電路中的正弦信號和各種形狀的周期信號等。在事件發(fā)生之前無法
2、預(yù)知信號的取值,即寫不出明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式,通常只知道它取某一數(shù)值的概率,這種具有隨機(jī)性的信號稱為隨機(jī)信號。例如,半導(dǎo)體載流子隨機(jī)運(yùn)動所產(chǎn)生的噪聲和從目標(biāo)反射回來的雷達(dá)信號(其出現(xiàn)的時間與強(qiáng)度是隨機(jī)的)等都是隨機(jī)信號。所有的實(shí)際信號在一定程度上都是隨機(jī)信號。,,,,,,2.1.2周期信號與非周期信號,周期信號是每隔一個固定的時間間隔重復(fù)變化的信號。周期信號滿足下列條件,,(2.1-1),式中,為的周期,是滿足式(2.1-1)條件的最小時段
3、。非周期信號是不具有重復(fù)性的信號。,設(shè)能量信號為時間的實(shí)函數(shù),通常把能量信號的歸一化能量(簡稱能量)定義為由電壓加于單位電阻上所消耗的能量,即為,(2.1-3),2.2確知信號的分析,確知信號的性質(zhì)可以從頻域和時域兩方面進(jìn)行分析。頻域分析常采用傅里葉分析法,時域分析主要包括卷積和相關(guān)函數(shù)。本節(jié)我們將概括性地介紹傅里葉分析法,重點(diǎn)介紹相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和能量譜密度等概念。,2、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù),利用歐拉公式
4、 可得的指數(shù)表達(dá)式式中,,,(2.2-6),,,,,(稱為復(fù)振幅);,,(是,,的共軛)。,(a)非周期信號 (b)構(gòu)造的周期信號圖2-1 非周期信號,,信號的傅里葉變換具有一些重要的特性,靈活運(yùn)用這些特性可較快地求出許多復(fù)雜信號的頻譜密度函數(shù),或從譜密度函數(shù)中求出原信號,因此掌握這些特性是非常有益的。其中較為重要且經(jīng)常用到的一些性質(zhì)和傅里葉變換對見附錄二。下面討論周期信號的傅里葉變換。,由以上兩式
5、可見,互相關(guān)函數(shù)反映了一個信號與另一個延遲τ秒后的信號間相關(guān)的程度。需要注意的是,互相關(guān)函數(shù)和兩個信號的前后次序有關(guān),即有,,則整個頻率范圍內(nèi)信號的總功率與功率譜之間的關(guān)系可表示為可以證明:功率信號 的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度是一對傅里葉變換,即,,,(2.2-31),,(2.2-32),,2.3 隨機(jī)變量的統(tǒng)計特征,前面我們對確知信號進(jìn)行了分析。但實(shí)際通信系統(tǒng)中由信源發(fā)出的信息是隨機(jī)的,或者說是不可預(yù)知的,因而攜帶信息的信號
6、也都是隨機(jī)的,如語言信號等,另外通信系統(tǒng)中還必然存在噪聲,它也是隨機(jī)的,這種具有隨機(jī)性的信號稱為隨機(jī)信號。盡管隨機(jī)信號和隨機(jī)噪聲具有不可預(yù)測性和隨機(jī)性,我們不可能用一個或幾個時間函數(shù)準(zhǔn)確地描述它們,但它們都遵循一定的統(tǒng)計規(guī)律性。在給定時刻上,隨機(jī)信號的取值就是一個隨機(jī)變量。本節(jié)我們介紹基于概率論的隨機(jī)變量及其統(tǒng)計特征,它是隨機(jī)過程和隨機(jī)信號分析的基礎(chǔ)。,2.3.1 隨機(jī)變量,在概率論中,將每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果用一個變量來表示,如果變量的取
7、值是隨機(jī)的,則稱變量為隨機(jī)變量。例如,在一定時間內(nèi)電話交換臺收到的呼叫次數(shù)是一個隨機(jī)變量。當(dāng)隨機(jī)變量的取值個數(shù)是有限個時,則稱它為離散隨機(jī)變量。否則就稱為連續(xù)隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律用概率分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。,,,,,,,,,,,,,(2.3-1),(2.3-2),可見,概率密度函數(shù)是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。從圖形上看,概率密度就是分布函數(shù)曲線的斜率。概率密度函數(shù)有如下性質(zhì):(1)(2)(3),,,,(2.3
8、-5),(2.3-6),(2.3-7),對于離散隨機(jī)變量,其概率密度函數(shù)為,,(2.3-8),均勻分布的概率密度函數(shù)的曲線如圖2-2所示。 圖2-2 均勻分布的概率密度函數(shù),,圖2-3 高斯分布的概率密度函數(shù)高斯分布是一種重要而又常見的分布,并具有一些有用的特性。在后面我們將專門進(jìn)行討論。,,,,,圖2-4 瑞利分布后面我們將介紹的窄帶高斯噪聲的包絡(luò)就是服從瑞利分布。,2.3.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征
9、,前面討論的分布函數(shù)和概率密度函數(shù),能夠較全面地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計特性。然而,在許多實(shí)際問題中,我們往往并不關(guān)心隨機(jī)變量的概率分布,而只想了解隨機(jī)變量的某些特征,例如隨機(jī)變量的統(tǒng)計平均值,以及隨機(jī)變量的取值相對于這個平均值的偏離程度等。這些描述隨機(jī)變量某些特征的數(shù)值就稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征。,除了原點(diǎn)矩外,還定義相對于均值a的n階矩為n階中心矩,即顯然,隨機(jī)變量的二階中心矩就是它的方差,即,,(2.3-28),,2.4隨機(jī)過程
10、的一般表述,2.4.1 隨機(jī)過程的概念前面所討論的隨機(jī)變量是與試驗(yàn)結(jié)果有關(guān)的某一個隨機(jī)取值的量。例如,在給定的某一瞬間測量接收機(jī)輸出端上的噪聲,所測得的輸出噪聲的瞬時值就是一個隨機(jī)變量。顯然,如果連續(xù)不斷地進(jìn)行試驗(yàn),那么在任一瞬間都有一個與之相應(yīng)的隨機(jī)變量,于是這時的試驗(yàn)結(jié)果就不僅是一個隨機(jī)變量,而是一個在時間上不斷變化的隨機(jī)變量的集合。,我們定義隨時間變化的無數(shù)個隨機(jī)變量的集合為隨機(jī)過程。隨機(jī)過程的基本特征是:它是時間t的函數(shù),但
11、在任一確定時刻上的取值是不確定的,是一個隨機(jī)變量;或者,可將它看成是一個事件的全部可能實(shí)現(xiàn)構(gòu)成的總體,其中每個實(shí)現(xiàn)都是一個確定的時間函數(shù),而隨機(jī)性就體現(xiàn)在出現(xiàn)哪一個實(shí)現(xiàn)是不確定的。通信過程中的隨機(jī)信號和噪聲均可歸納為依賴于時間t的隨機(jī)過程。,圖2-5 隨機(jī)過程波形,,二、隨機(jī)過程的數(shù)字特征分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性, 但在實(shí)際工作中,有時不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù),而用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來描
12、述隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性,更簡單直觀。1、數(shù)學(xué)期望(統(tǒng)計平均值)隨機(jī)過程 的數(shù)學(xué)期望定義為并記為 。隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望是時間的函數(shù)。,,,,(2.4-5),2、 (2.5-6)3、 (2.5-7)4、
13、 (2.5-8)5、 (2.5-9)由上述性質(zhì)可知,用自相關(guān)函數(shù)幾乎可以表述的主要特征,因而上述性質(zhì)有明顯的實(shí)用價值。,,,,,二、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。由式(2.2-31)可知,對于任意的確定功率信號f(t)其功率譜密度為
14、 (2.5-10) 式中, 是f(t)的截短函數(shù) 的頻譜函數(shù)。f(t)和 的波形如圖2-6所示。,,,,,圖2-6 功率信號及其截短函數(shù),,下面結(jié)合自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),歸納功率譜的性質(zhì)如下:1、 (非負(fù)性)2、3、 (偶函
15、數(shù)),,,,2.6.2高斯過程的性質(zhì),1、若高斯過程是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程,則它也是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。也就是說,對于高斯過程來說,寬平穩(wěn)和嚴(yán)平穩(wěn)是等價的。2、若高斯過程中的隨機(jī)變量之間互不相關(guān),則它們也是統(tǒng)計獨(dú)立的;3、高斯過程的線性組合仍是高斯過程;4、高斯過程經(jīng)過線性變換(或線性系統(tǒng))后的過程仍是高斯過程。,圖2-7 一維概率密度函數(shù),,圖2-8 白噪聲的雙邊帶功率譜密度和自相關(guān)函數(shù),如果白噪聲又是高斯分布的,我們就稱之為高斯白
16、噪聲。由式(2.6-22)可以看出,高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間,不僅是互不相關(guān)的,而且還是統(tǒng)計獨(dú)立的。應(yīng)當(dāng)指出,我們所定義的這種理想化的白噪聲在實(shí)際中是不存在的。但是,如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶,我們就可以把它視為白噪聲。,2.7.2 隨機(jī)過程通過乘法器,在通信系統(tǒng)中,經(jīng)常進(jìn)行乘法運(yùn)算,所以乘法器在通信系統(tǒng)中應(yīng)用非常廣泛,下面我們計算平穩(wěn)隨機(jī)過程通過乘法器后,輸出過程的功率譜密度。平穩(wěn)隨
17、機(jī)過程通過乘法器的數(shù)學(xué)模型如圖2-10所示 圖2-10平穩(wěn)隨機(jī)過程通過乘法器,,(4)X(t)的平均功率為,,2.8窄帶高斯噪聲,2.8.1 窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計特征一、窄帶高斯噪聲的概念設(shè)系統(tǒng)的帶寬為,中心頻率為,當(dāng)時稱該系統(tǒng)為窄帶系統(tǒng)。當(dāng)高斯白噪聲通過窄帶系統(tǒng)時,其輸出噪聲只能集中在中心頻率附近的帶寬之內(nèi),稱這種噪聲為窄帶高斯噪聲。窄帶高斯噪聲的原理框圖及相關(guān)波形如圖2-11所示。,,(a)原理框圖,
18、(b)窄帶噪聲的功率譜 (c)窄帶噪聲的波形 圖2-11 窄帶噪聲的原理框圖及波形,,2.8.2 正弦波加窄帶高斯噪聲,通信系統(tǒng)中傳輸?shù)男盘柾ǔJ且粋€正弦波作為載波的已調(diào)信號,信號經(jīng)過信道傳輸時總會受到噪聲的干擾,為了減少噪聲的影響,通常在接收機(jī)前端設(shè)置一個帶通濾波器,以濾除信號頻帶以外的噪聲。因此,帶通濾波器的輸出是正弦波信號與窄帶噪聲的合成信號。這是通信系統(tǒng)中常會遇到的一種情況,所以有必要了解合成信號的包絡(luò)和相
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