2005年自動化教研室工作匯報

1、第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2.1 數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ),2.2 線性系統(tǒng)的微分方程,2.3 線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),2.4 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,2.5 信號流圖及梅遜公式,,,,,,End,本章作業(yè),,1.定義：數(shù)學(xué)模型(mathematical model)是指出系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間動態(tài)關(guān)系的表達(dá)式。,2.1 數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ),2.5,2.建立數(shù)學(xué)模型的目的 ●建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的首要工作（或基礎(chǔ)工作）。

2、 ●自控系統(tǒng)的組成可以是電氣的、機(jī)械的、液壓或氣動的等等，然而描述這些系統(tǒng)發(fā)展的模型卻可以是相同的。因此，通過數(shù)學(xué)模型來研究自動控制系統(tǒng)，可以擺脫各種不同類型系統(tǒng)的外部特征，研究其內(nèi)在的共性運(yùn)動規(guī)律。,,2.2,2.3,2.4,3.建模方法,微分方程(differential equation)（或差分difference方程） 傳遞函數(shù)(transfer function) （或結(jié)構(gòu)圖block dia

3、gram ） 頻率特性(frequency characteristics) 狀態(tài)空間表達(dá)式（或狀態(tài)模型state space model ）,5.由數(shù)學(xué)模型求取系統(tǒng)性能指標(biāo)的主要途徑,,4.常用數(shù)學(xué)模型,,2.2.1 微分方程的列寫,2.2 線性系統(tǒng)的微分方程,微分方程的列寫步驟,1）確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量； 2）從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，根據(jù)各

4、變量所遵循的物理定理寫出各微分方程； 3）消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程； 4）變換成標(biāo)準(zhǔn)形式。,,2.5,2.1,2.3,2.4,2.2.2,2.2.3,2.2.4,動畫演示,試列寫質(zhì)量m在外力F作用下位移y(t)的運(yùn)動方程。,例2.1 圖為機(jī)械位移系統(tǒng)。,例2.2 如圖RLC電路，試列寫以ur(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。,整理得:,解: 阻尼器的阻尼力:彈簧彈性力:,解

5、:,,返回,動畫演示,非線性(nonlinear)系統(tǒng)：用非線性微分方程描述。,2.2.2 微分方程的類型,線性定常系統(tǒng)：用線性微分方程描述,微分方程的系數(shù)是常數(shù)。,線性系統(tǒng)的重要性質(zhì)：滿足疊加性和均勻性（齊次性）。即： 如果輸入r1(t)—>輸出y1(t)，輸入r2(t)—>輸出y2(t) 則輸入a r1(t)+b r2(t) —>輸出a y1(t)+by2(t),線性(li

6、near)系統(tǒng)：用線性微分方程描述。,線性時變系統(tǒng)：用線性微分方程描述，微分方程的系數(shù)是隨時間而變化的。,,2.2.1,2.2.3,2.2.4,2.2.3 非線性元件微分方程的線性化,小偏差線性化：用臺勞級數(shù)展開，略去二階以上導(dǎo)數(shù)項。 一、假設(shè)：x,y在平衡點（x0,y0)附近變化，即 x=x0+△x, y=y0+△y,二、近似處理,略去高階無窮小項:,嚴(yán)格地說，實際控制系統(tǒng)的某些元件含有一

7、定的非線性特性，而非線性微分方程的求解非常困難。如果某些非線性特性在一定的工作范圍內(nèi)，可以用線性系統(tǒng)模型近似，稱為非線性模型的線性化。,三、數(shù)學(xué)方法,,2.2.1,2.2.4,2.2.2,求解方法：經(jīng)典法、拉氏變換法。零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)。,2.2.4 線性定常微分方程的求解,例2.3 已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v, ur(t)=1(t)，求 uc(t),拉氏變換法求解步驟： 1.

8、 考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進(jìn)行拉氏變換，得到變量s的代數(shù)方程； 2. 求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式； 3. 對輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時域表達(dá)式，即為所求微分方程的解。,解：,,零初始條件下取拉氏變換：,2.2.1,2.2.3,2.2.2,動畫演示,2.3.1 傳遞函數(shù)的定義,2.3 傳遞函數(shù),線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為傳遞函數(shù)。,,2.5

9、,2.1,2.4,2.2,2.3.2,2.3.3,2.3.4,試列寫網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù) Uc(s)/Ur(s).,例2.4 如圖RLC電路，,1) 傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，分子多項式的次數(shù)m 低于或等于分母多項的次數(shù)n，所有系數(shù)均為實數(shù)； 2) 傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)和元件的結(jié)構(gòu)，與輸入信號無關(guān)； 3) 傳遞函數(shù)與微分方程有相通性，可經(jīng)簡單置換而轉(zhuǎn)換； 4) 傳遞函數(shù)的拉氏反變換是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。

10、 5) 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，它只反應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)特性；零初始條件含義要明確。,參見,解: 1) 零初始條件下取拉氏變換：,傳遞函數(shù)：,2) 變換到復(fù)頻域來求。,,? 傳遞函數(shù)的性質(zhì),求零狀態(tài)條件下階躍響應(yīng)uc(t) ； 2) uc(0)=0.1v，ur(t)=1(t)，求 uc(t) ; 3）求脈沖響應(yīng)g(t)。,例2.5 已知R1=1，C1=1F， 1）,對上式進(jìn)行拉氏反變換：,3）,解: 1）,2）,,傳遞

11、函數(shù)分子多項式與分母多項式經(jīng)因式分解可寫為如下形式：,K稱為傳遞系數(shù)或增益，在頻率法中使用較多。,2.3.2 傳遞函數(shù)的零點(zero) 和極點(pole),零、極點分布圖。,傳遞函數(shù)分子多項式與分母多 項式也可分解為如下形式：,傳遞函數(shù)分子多項式的根zi稱為傳遞函數(shù)的零點；分母多項式的根pj稱為傳遞函數(shù)的極點。K*稱為傳遞系數(shù)或根軌跡增益。,,2.3.3,2.3.4,2.3.1,首1型,尾1型,例2.6 具有相同極點不同零

12、點的兩個系統(tǒng) ,它們零初始條件下的單位階躍響應(yīng)分別為,極點決定系統(tǒng)響應(yīng)形式（模態(tài)），零點影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占比重。,2.3.3 傳遞函數(shù)的零點和極點對輸出的影響,,2.3.2,2.3.4,2.3.1,比例環(huán)節(jié): G(s)=K 積分環(huán)節(jié): G(s)=1/s微分環(huán)節(jié): G(s)=s,2.3.4 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),慣性環(huán)節(jié): 一階微分環(huán)節(jié):

13、 振蕩環(huán)節(jié) :,,2.3.2,2.3.3,2.3.1,動畫演示,2.4.1 結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制,2.4 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,信號線：表示信號傳遞通路與方向。 方框：表示對信號進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換。方框中寫入元件或子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 相加點：對兩個以上的信號進(jìn)行加減運(yùn)算。“+”表示相加，“-”表示相減。 引出點：表示信號引出或測量的位置。同一位置引出的信號數(shù)值和性質(zhì)完全相同。,系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各組成元部件之間信號傳

14、遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形。,,2.5,2.1,2.2,2.3,2.4.2,引例1,結(jié)構(gòu)圖由許多對信號進(jìn)行單向運(yùn)算的方框和一些信號流向線組成，它包括：,引例2,引例3,例2.7 繪出RC電路的結(jié)構(gòu)圖。,解：繪出網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的復(fù)頻域圖，可得：,例2.8 繪出圖示雙RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。,,返回,解：繪出網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的復(fù)頻域圖，可得：,動畫演示,串聯(lián)方框的簡化(等效)：,2.4.2 結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化,反饋連接方框的簡化（等效）：,并聯(lián)方框的簡化（等效

15、）：,E(s)=R(s) ? H(s) C(s) C(s)=G(s)E(s)=G(s)[R(s) ? H(s)C(s)],,例,2.4.1,等效規(guī)則,例2.9 求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,,解：根據(jù)串聯(lián)、并聯(lián)及反饋連接的等效方法，可得：,練習(xí)1,練習(xí)2,?相加點和引出點的移動： 等效原則：前向通道和反饋通道傳遞函數(shù)都不變。,2.引出點后移,,1.引出點前移,C(s)=G(s)R(s),等價關(guān)系演示 (1) (2),引出點的移動

16、,1.相加點前移,相加點的移動,3. 交換或合并相加點,2.相加點后移,C(s)=G(s)R(s)-B(s),C(s)=G(s)[R(s)-B(s)] = G(s)R(s)-G(s)B(s),C(s)=E1(s)+V2(s) = R(s)-V1(s)+V2(s) = R(s)+V2(s)-V1(s),,等價關(guān)系演示 (1) (2),等效規(guī)則,例2.10 結(jié)構(gòu)圖化簡,(1) 結(jié)構(gòu)圖化簡方案Ⅰ,

17、,返回,2.4.2,2.4.1,動畫演示,(3) 結(jié)構(gòu)圖化簡方案Ⅲ,(2) 結(jié)構(gòu)圖化簡方案Ⅱ,,原電路,例2.11 雙RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖簡化。,,返回,動畫演示,1.等效為單位反饋系統(tǒng),其它等價法則,2.負(fù)號可在支路上移動 E(s)=R(s)-H(s)C(s) =R(s)+(-1)H(s)Cs) =R(s)+[-H(s)]C(s),,實際應(yīng)用舉例,練習(xí)3,信號流圖中常用的名詞術(shù)

18、語： 源節(jié)點（輸入節(jié)點）： 在源節(jié)點上，只有信號輸出支路而沒有信號輸入的支路，它一般代表系統(tǒng)的輸入變量。,信號流圖的基本性質(zhì)： 1) 節(jié)點標(biāo)志系統(tǒng)的變量，用“O”表示。變量是所有流向該節(jié)點信號的代數(shù)和; 2) 信號在支路上沿箭頭單向傳遞； 3) 支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變成另一信號; 4) 對一個給定系統(tǒng)，信號流圖不是唯一的。,2.5 信號流圖及梅遜公式,信號流圖(signal f

19、low diagram)是由節(jié)點和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。,阱節(jié)點（輸出節(jié)點）： 在阱節(jié)點上，只有信號輸入的支路而沒有信號輸出的支路，它一般代表系統(tǒng)的輸出變量。,,2.1,2.2,2.3,2.4,2.5.2,2.5.1,2.5.3,動畫演示,,混合節(jié)點：在混合節(jié)點上，既有信號輸出的支路而又有信號輸入的支路。,2.5.1 信號流圖的繪制,1. 由系統(tǒng)微分方程繪制信號流圖 1）將微分方程通過拉氏變換，得到關(guān)于s的代數(shù)方

20、程； 2）每個變量指定一個節(jié)點； 3）將方程按照變量的因果關(guān)系排列； 4）連接各節(jié)點，并標(biāo)明支路增益。,前向通路：信號從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點傳遞時，每個節(jié)點只通過一次的通路，叫前向通路。 前向通路上各支路增益之乘積稱前向通路總增益，一般用Pk表示。,回路：起點和終點在同一節(jié)點，而且信號通過每一節(jié)點不多于一次的閉合通路稱回路?；芈飞细髦吩鲆嬷朔e稱回路增益，一般用La表示。,不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點時，稱

21、它們?yōu)椴唤佑|回路。,,2.5.2,2.5.3,上式拉氏變換,例2.12,信號傳遞流程：,,動畫演示,1) 用小圓圈標(biāo)出傳遞的信號，得到節(jié)點。 2) 用線段表示結(jié)構(gòu)圖中的方框，用傳遞函數(shù)代表支路增益。注意信號流圖的節(jié)點只表示變量的相加。,2. 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖,,例2.13 繪制結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)的信號流圖(1) 。,,2.5.2,2.5.1,2.5.3,動畫演示,,例2.14 繪制結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)的信號流圖(2) 。,,特征式

22、： —所有單獨(dú)回路增益之和； —在所有互不接觸的單獨(dú)回路中，每次取其中兩個回路增益乘積和； —在所有互不接觸的單獨(dú)回路中，每次取其中三個回路增益的乘積之和。,梅遜公式為：,—余因子式，即在信號流圖中，把與第K條前向通路相接觸的回路去掉以后的Δ值。,2.5.2 梅遜

23、增益公式(Mason’s gain formula),其中： n—從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點之前向通路總數(shù)。 Pk—從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的第k條前向通路總增益 。,,2.5.1,2.5.3,動畫演示,例 題,，與所有回路不接觸：,，沒有與之不接觸的回路：,前向通路有兩條：,解：三個回路：,例2.15 已知系統(tǒng)信號流圖，求傳遞函數(shù)。,回路相互均接觸，則：,,參見,f,求傳遞函數(shù) X4/X1及 X2/X1。,例2.16

24、 已知系統(tǒng)信號流圖，,解：三個回路，,有兩個互不接觸回路。,,1.輸入信號作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)(N(s)=0),2.5.3 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù),2.擾動作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù) (R(s)=0),3.輸入信號和擾動信號同時作用時，系統(tǒng)的輸出,4.閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù) [定義誤差 E(s)=R(s)-B(s)],,2.5.2,例,2.5.1,本 章 作 業(yè),P662-2(c)(d)2-62-7(a)(c)2-12 (用梅遜公式