第二章 有限元法的直接剛度法

1、單元分析方法：1、直接剛度法2、數(shù)值法：變分法；加權(quán)余量法（參照清華教材）,第二章 有限元法的直接剛度法,【教學(xué)目的和教學(xué)要求】掌握有限元求解問(wèn)題的基本過(guò)程，掌握有限元法的基本原理。,授課大綱,2.1直梁的有限元分析2.2 平面剛架的有限元分析,引子,有限元模型 是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。,2.1直梁的有限元分析,有限元法基本概念結(jié)構(gòu)（或連續(xù)體）離散（有限元建模）1）網(wǎng)格劃分---即把結(jié)構(gòu)按一定規(guī)則分割成有限單元 2）邊

2、界處理---即把作用于結(jié)構(gòu)邊界上約束和載荷處理為節(jié)點(diǎn)約束和節(jié)點(diǎn)載荷要求1）離散結(jié)構(gòu)必須與原始結(jié)構(gòu)保形--單元的幾何特性2）一個(gè)單元內(nèi)的物理特性必須相同--單元的物理特性,單元：即原始結(jié)構(gòu)離散后，滿足一定幾何特性和物理特性的最小結(jié)構(gòu)域。簡(jiǎn)言之，將連續(xù)體用假想的線或面分割成有限個(gè)部分，各部分之間用有限個(gè)點(diǎn)相連。本書(shū)中，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的桿件構(gòu)成一個(gè)單元。節(jié)點(diǎn)：?jiǎn)卧c單元間的連接點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)位移：結(jié)構(gòu)在受力變形過(guò)程中節(jié)點(diǎn)位置的改變。分為線位

3、移與角位移，單元類型不同，節(jié)點(diǎn)位移不同。節(jié)點(diǎn)力：?jiǎn)卧c單元間通過(guò)節(jié)點(diǎn)的相互作用力。節(jié)點(diǎn)載荷：作用于節(jié)點(diǎn)上的外載。節(jié)點(diǎn)載荷包括直接作用在節(jié)點(diǎn)上的外載荷和等效移置到節(jié)點(diǎn)上的載荷。,,注意1)節(jié)點(diǎn)是有限元法的重要概念，有限元模型中，相鄰單元的作用通過(guò)節(jié)點(diǎn)傳遞，而單元邊界不傳遞力，這是離散結(jié)構(gòu)與實(shí)際結(jié)構(gòu)的重大差別；2）節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)載荷的差別。,,每個(gè)單元的特性是通過(guò)一些線性方程式來(lái)描述的。 作為一個(gè)整體，單元形成了整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。

4、 盡管梯子的有限元模型低于100個(gè)方程（即“自由度”），然而在今天一個(gè)小的 ANSYS分析就可能有5000個(gè)未知量，矩陣可能有25，000，000個(gè)剛度系數(shù)。,2.1.1劃分單元,單元：應(yīng)該是規(guī)則形狀的簡(jiǎn)單幾何體，以便進(jìn)行單元分析。常用的單元形式線性元：精密元：,,等參元：（曲邊、直線邊均可）離散化模型,,彈性力學(xué)問(wèn)題的位移法中，節(jié)點(diǎn)大都為鉸接點(diǎn),單元節(jié)點(diǎn)數(shù)：r,結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)數(shù)：n,節(jié)點(diǎn)自由度：Wi - 節(jié)點(diǎn)上獨(dú)

5、立參變量的個(gè)數(shù)，按位移求解時(shí)：,,桿件結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)可按以下原則選取：桿件的交點(diǎn)一定要選為節(jié)點(diǎn)。階梯形桿截面變化處一定要取為節(jié)點(diǎn)。支承點(diǎn)和自由端要取為節(jié)點(diǎn)。集中載荷作用處要取為節(jié)點(diǎn)。欲求位移的點(diǎn)要取為節(jié)點(diǎn)。單元長(zhǎng)度不要相差太多。按照桿件結(jié)構(gòu)劃分單元的原則，對(duì)圖2.1(a)所示結(jié)構(gòu)劃分的單元如圖2.1(b)所示。,,,圖2.1 直梁及其有限元模型,2.1.2 以節(jié)點(diǎn)位移表示單元節(jié)點(diǎn)力,任取一單元進(jìn)行分析。根據(jù)材料力學(xué)的知識(shí)，梁

6、單元上每個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移分量有2個(gè)：撓度和轉(zhuǎn)角，一般規(guī)定，向上為正，逆時(shí)針為正。寫成列陣形式見(jiàn)式（2-1），表示節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移。,（2-1）,,上圖所示梁?jiǎn)卧衖、j兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，共有4個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量：fi、θi、fj、θj，可用一個(gè)列陣表示，稱為單元的節(jié)點(diǎn)位移列陣。,梁在外力作用下，橫截面上的內(nèi)力有2個(gè)：剪力Q、彎矩M。,所以，梁?jiǎn)卧厦總€(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力有2個(gè)，用q、m來(lái)表示，規(guī)定：q向上為正，m逆時(shí)針為正 寫成列陣形式，表

7、示 i 節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力。,上圖所示梁?jiǎn)卧灿?個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量：qi、mi、qj、mj，可用一個(gè)列陣表示，稱為單元的節(jié)點(diǎn)力列陣。,梁?jiǎn)卧厦總€(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)載荷有2個(gè)：橫向力Z和力偶M，一般規(guī)定，Z向上為正，M 逆時(shí)針為正。寫成列陣形式，表示節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)載荷。,梁?jiǎn)卧灿?個(gè)節(jié)點(diǎn)載荷分量：Zi、Mi、Zj、Mj，可用一個(gè)列陣表示，稱為單元的節(jié)點(diǎn)載荷列陣。,,節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)載荷的區(qū)別：節(jié)點(diǎn)力是單元和節(jié)點(diǎn)之間的作用力，如果取整個(gè)結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，節(jié)點(diǎn)力是內(nèi)

8、力；而節(jié)點(diǎn)載荷是結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)上所受到的外載荷或等效移置到節(jié)點(diǎn)上的外載荷。,梁?jiǎn)卧拿總€(gè)節(jié)點(diǎn)有2個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量（撓度f(wàn)和轉(zhuǎn)角θ），我們稱每個(gè)節(jié)點(diǎn)有2個(gè)自由度。圖2.1所示的梁結(jié)構(gòu)共有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，8個(gè)位移分量，我們稱整個(gè)梁結(jié)構(gòu)有8個(gè)自由度。,圖2.1所示梁上全部節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移分量可用一個(gè)列陣表示，稱為結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移列陣，全部節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)載荷分量可用一個(gè)列陣表示，稱為結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)載荷列陣。,,,根據(jù)材料力學(xué)的知識(shí)可知，在彈性范圍和小變形的前提下，節(jié)點(diǎn)

9、力和節(jié)點(diǎn)位移之間是線性關(guān)系。所以，單元的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系可以表示為：,,寫成矩陣形式：,,簡(jiǎn)寫為 :,,,,式中：,為單元節(jié)點(diǎn)力列陣,為單元節(jié)點(diǎn)位移列陣,為單元?jiǎng)偠染仃?，是描述單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間關(guān)系的矩陣,（2-11）,單元?jiǎng)偠染仃囍懈髟氐奈锢硪饬x：,在j點(diǎn)固定，令i點(diǎn)有如圖所示的位移，即有,,,,,圖2-3（a）,代入公式中，得,,a11的物理意義：?jiǎn)卧冢眰€(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量等于1，其它節(jié)點(diǎn)位移分量等于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的第1個(gè)

10、節(jié)點(diǎn)力分量。a21的物理意義：?jiǎn)卧冢眰€(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量等于1，其它節(jié)點(diǎn)位移分量等于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的第2個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量。a31的物理意義：?jiǎn)卧冢眰€(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量等于1，其它節(jié)點(diǎn)位移分量等于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的第3個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量。a41的物理意義：?jiǎn)卧冢眰€(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量等于1，其它節(jié)點(diǎn)位移分量等于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的第4個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量。,（2-12）,單元?jiǎng)偠染仃囍性豠ml的物理意義：?jiǎn)卧趌個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量等于1，其它節(jié)點(diǎn)位移分量等于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的第m個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量。,

11、求單元?jiǎng)偠染仃嚨牡谝涣性?，由疊加原理，可得,,,,,單獨(dú)作用所產(chǎn)生的位移,,,,單獨(dú)作用所產(chǎn)生的位移,圖2-3（b）,圖2-3（b）中,圖2-3（b）中,,,,,,,解方程得,對(duì)梁?jiǎn)卧治鍪芰?，列平衡方?,圖2-3（c）,解方程得,單元?jiǎng)偠染仃囍械诙性氐奈锢硪饬x是：fi=0，θi=1，fj=0，θj=0時(shí)，作用在單元節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)力,,求單元?jiǎng)偠染仃?的第二列元素由疊加原理，可得：,,解方程得,,圖2-4 單元?jiǎng)偠染仃嚨诙?/p>