數(shù)學(xué)中的幾種創(chuàng)造性思維

1、,,高等數(shù)學(xué)與創(chuàng)新思維,北京航空航天大學(xué) 李心燦,引言 全國(guó)科技大會(huì)上指出：“創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力?！粋€(gè)沒有創(chuàng)新能力的民族難于屹立于世界民族之林?！?教育部的一個(gè)報(bào)告指出： “實(shí)施素質(zhì)教育重點(diǎn)是改變教育觀念，……尤其是要以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造精神為主?！?“一個(gè)民族要想站在科學(xué)的最高峰，就一刻也不能沒有理論思維?！?,-------恩格斯,創(chuàng)造性人才的創(chuàng)造活動(dòng)是在相應(yīng)的創(chuàng)造

2、性思維的支配下，所進(jìn)行的一種積極的能動(dòng)的活動(dòng)。創(chuàng)造性思維是一切創(chuàng)造活動(dòng)的核心和靈魂。,R·培根指出：“數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙。”H·G·格拉斯曼說：“數(shù)學(xué)除了鍛煉敏銳的理解力，發(fā)現(xiàn)真理外，它還有另一個(gè)訓(xùn)練全面考查科學(xué)系統(tǒng)的頭腦的開發(fā)功能。”赫巴特說：“數(shù)學(xué)一般通過直接激發(fā)創(chuàng)造精神和活躍思維的方式來提供最佳服務(wù)?！?K·L·米斯拉指出：“數(shù)學(xué)是代表人類抽象思維方面的最高成就和勝利?！?/p>

3、,因此我認(rèn)為：數(shù)學(xué)教學(xué)不但應(yīng)該給數(shù)學(xué)知識(shí)，還應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。,我主要結(jié)合高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)容來講解，同時(shí)也適當(dāng)講解一些數(shù)學(xué)史上的問題。,講五個(gè)問題一、歸納思維二、類比思維三、發(fā)散思維四、逆（反）向思維五、（數(shù)學(xué)）猜想,著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯指出：“在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具和手段是歸納和類比?！?著名數(shù)學(xué)家高斯曾說：“我的許多發(fā)現(xiàn)都是靠歸納取得的?！?一、歸納思維,歸納是人類賴以發(fā)現(xiàn)真理的基本的、重要的思維方法。,歸納是在通

4、過多種手段（觀察、實(shí)驗(yàn)、分析……）對(duì)許多個(gè)別事物的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，總結(jié)出原理或定理。歸納是從觀察到一類事物的部分對(duì)象具有某一屬性，而歸納出該事物都具有這一屬性的推理方法?；蛘哒f，歸納思維就是要從眾多的事物和現(xiàn)象中找出共性和本質(zhì)的東西的抽象化思維。,從數(shù)學(xué)的發(fā)展可以看出，許多新的數(shù)學(xué)概念、定理、法則、……的形成，都經(jīng)歷過積累經(jīng)驗(yàn)的過程，從大量觀察、計(jì)算……,然后歸納出其共性和本質(zhì)的東西，例如：哥德巴赫猜想，費(fèi)馬猜想，素?cái)?shù)定理

5、等。,歸納的方法 例如，我們看到： 3+7=10， 3+17=20， 13+17=30 3，7，13，17都是奇素?cái)?shù)*。 10， 20， 30 都是偶數(shù)。 是否兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和都是偶數(shù)呢？,這是顯然的。但是（逆向思維）,任何一個(gè)偶數(shù)，都能分解為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和？,6=3+3 8=3+5 10=3+7 12=5+7 14=3+11=7+

6、7 16=3+13=5+11 …這樣下去總是對(duì)的嗎？即任何一個(gè)大于4的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和？大于4的偶數(shù)=奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)？ （哥德巴赫猜想）,60=3+57 （57=19×3，不是素?cái)?shù)） 60=5+55 （55=11×5，不是素?cái)?shù)) ？！,60=7

7、+53（7和53都是素?cái)?shù)） ……. 一直到現(xiàn)在還沒有一個(gè)人推翻它，但也還沒有一個(gè)人證明它。,哥德巴赫提出這個(gè)問題時(shí)，歐拉在1742年6月30日的回信中說：他相信這個(gè)猜想，但他不能證明。于是引起了很多人研究它，但在120年間，一直沒有多大進(jìn)展。 直到20世紀(jì)20年代，才開始有了眉目，當(dāng)時(shí)有人證明了(*)：任何一個(gè)大于4的偶數(shù)： A=[a1×a2×…

8、5;a9]+[b1×b2×…×b9], (9+9) 其中ai,bi(i=1,2,3…9)都是素?cái)?shù)，才為這個(gè)猜想的證明開辟了道路。,(*) 1920年挪威數(shù)學(xué)家布朗（V.Brun）用“篩法”證明了.,1924年 拉德馬哈爾 證明了（7+7）；1932年 愛斯?fàn)柭?證明了（6+6）；1938年 布赫斯塔勃 證明了（5+5）, 1940年又證明了（4+

9、4）；1956年    維諾格拉多夫 證明了（3+3）；1956年   王元 證明了（3+4）；1957年 王元 證明了（2+3）；1962年 潘承洞證明了（1+5）； 同年王、潘又證明了（1+4）；1965年  布赫斯塔勃、維諾格拉多夫、龐比利證明了（1+3）；1966年 陳景潤(rùn)證明了（1+2）；(發(fā)表

10、在《中國(guó)科學(xué)》 1973. p.111-128）,1. 吳文俊說：哥德巴赫猜想是一場(chǎng)攻堅(jiān)戰(zhàn)和接力賽。2. 解放后，華羅庚、閔嗣鶴在這一研究上奠定了基礎(chǔ)。3. 王元1956年證得：大偶數(shù)=3+4； 1957年又得出：大偶數(shù)=2+

11、3。4.  潘承洞1962年證得：大偶數(shù)=1+4。5.  陳景潤(rùn)1966年證得：大偶數(shù)=1+2； 1972年潘、王、丁夏畦簡(jiǎn)化了陳的證明。6.蘇步青說： 要想取得1+1就得把世界上八十多種方法融會(huì)貫通，博取眾長(zhǎng)。,1998年利用超級(jí)計(jì)算機(jī)，驗(yàn)證這個(gè)猜想對(duì)于每一個(gè)小于4×1014的偶數(shù)都是正確的。但沒有一項(xiàng)計(jì)算技術(shù)可以對(duì)直至無窮的每一個(gè)偶數(shù)確認(rèn)這個(gè)猜想成立。關(guān)鍵是要找出一個(gè)

12、抽象嚴(yán)格的證明。這是數(shù)學(xué)向人類智慧的挑戰(zhàn)! * * * 這個(gè)猜想吸了不少人 2000年3月中旬：英國(guó)一家出版社懸賞100萬美元征“哥德巴赫猜想”之解，時(shí)限兩年,截止日期定在2002年3月20日。 ( 獎(jiǎng)金比中國(guó)最高科學(xué)獎(jiǎng)還高、Nobel獎(jiǎng)),素?cái)?shù)與素?cái)?shù)定理,素?cái)?shù):只能被1和其自身整除的大于

13、1的正整數(shù)。 如：2，3，7，11，13，23，……素?cái)?shù)是構(gòu)造整數(shù)的“素材”。 每一個(gè)整數(shù)要么它自己是素?cái)?shù),要么它可以唯一地表示為一些素?cái)?shù)的乘積。例如: 3, 5, 7 是素?cái)?shù); 4=2×2, 6=2×3, 8=2×2×2,畢達(dá)哥拉斯(學(xué)派)認(rèn)為: “萬物皆數(shù)”,“數(shù)是萬物的元素”,他們企

14、圖通過揭示數(shù)的奧秘來探索宇宙的永恒真理。 素?cái)?shù)與密碼學(xué) 蟬：生命的素?cái)?shù)現(xiàn)象北美北部17年、北美南部13年、12年 素?cái)?shù)對(duì)于不少數(shù)學(xué)家總是有一種極神秘的吸引力。有一位數(shù)學(xué)家在結(jié)婚時(shí)與其妻約定:只有在素?cái)?shù)的日子才與其……,②二項(xiàng)式系數(shù) (a+b)0=1 (a+b)1=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2

15、 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (a+b)5= ┊ (a+b)n=,帕斯卡 三 角 形,帕斯卡 三 角 形,,,,,,,印刷于1654年，但1665年才在巴黎正式出版,楊 輝 三 角 形 1

16、 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15

17、 6 1,宋朝數(shù)學(xué)家楊輝1261年寫的《詳解九章算法》*就解釋了上述系數(shù)三角形的構(gòu)造法，并說賈憲用此術(shù)。,在高等數(shù)學(xué)中，許多重要結(jié)果的得出，都用到了歸納思維。例如： 求某一函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)，通常的方法是求出其一階、二階（有時(shí)還要求出其三階、四階）導(dǎo)數(shù)，再歸納出 n 階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式。,例1.    設(shè) , 試求,解 因

18、為,從而歸納出,例2.已知函數(shù) 具有任意階導(dǎo)數(shù)，且 ，試求,……從而歸納,解 因?yàn)?例3. 若函數(shù) 都在點(diǎn)x處具有n階導(dǎo)數(shù)求,解,又如：從一階、二階常系數(shù)線性齊次微分方程通解的結(jié)構(gòu)及其求解方法，可以歸納出n 階常系數(shù)線性齊次方程通解的結(jié)構(gòu)及其求解方法。 再如：多元函數(shù)求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，從兩個(gè)自

19、變量、一個(gè)約束條件，推廣到n個(gè)自變量、m個(gè)約束條件，也是用歸納的方法得出的。 總之：在高等數(shù)學(xué)中，有不少內(nèi)容使用了歸納思維。,科爾莫哥洛夫在《我是如何成為數(shù)學(xué)家》中說：我在6、7歲時(shí)我已經(jīng)感受到數(shù)學(xué)歸納發(fā)現(xiàn)的樂趣，例如，我注意到下邊的等式：,他的這個(gè)發(fā)現(xiàn)，后來被刊登在由幾個(gè)小學(xué)生自己編輯的《春燕》雜志上。,著名日本物理學(xué)家、諾貝爾獎(jiǎng)獲得者湯川秀澍指出：“類比是一種創(chuàng)造性思維的形式?！敝軐W(xué)家康德指出：“每當(dāng)理智

20、缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)?！?類比是根據(jù)兩個(gè)（或多個(gè)）對(duì)象內(nèi)部屬性、關(guān)系的某些方面相似，而推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨频耐评怼?二、類比思維,類比為人們思維過程提供了更廣闊的“自由創(chuàng)造”的天地，使它成為科學(xué)研究中非常有創(chuàng)造性的思維形式，從而受到了很多著名科學(xué)家的重視與青睞。例如：,著名數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家波利亞說：“類比是一個(gè)偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題?！?著名天文學(xué)

21、、數(shù)學(xué)家開普勒說： “我珍類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然的奧秘……?！?在平面解析幾何中直線的截距式是：,在平面解析幾何中,兩點(diǎn)的距離是：,在空間解析幾何中,兩點(diǎn)的距離是：,在空間解析幾何中平面的截距式是：,在平面解析幾何中圓的方程是： (x-a)2+(y-b)2=R2 在空間解析幾何中球面的方程是: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 等等。,費(fèi)馬猜想：X

22、2+Y2=Z2的解：X=3, Y=4, Z=5 Z=m2+n2 , X= m2-n2 Y=2mn, m,n是任一整數(shù)，n2是否有正整數(shù)解？,,Zn = xn+ Yn (n>2)(Wiles 1994),多元函數(shù)與單元函數(shù) 在學(xué)習(xí)多元函數(shù)的微分學(xué)和積分學(xué)時(shí)，應(yīng)注意與已經(jīng)學(xué)習(xí)過的一元函數(shù)的微積分相應(yīng)的概念、理論、方法進(jìn)行類比。例如：,在一元函數(shù)中

23、，若f(x)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有（n+1）階導(dǎo)數(shù)，且x為此鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，則有一元函數(shù)的n階泰勒公式：,其中,在二元函數(shù)中，若f (x, y)在點(diǎn)(x0,y0)的鄰域內(nèi)有（n+1）階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且(x=x0+h,y=y0+k)為此鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，則有二元函數(shù)的n階泰勒公式：,大家可以將上述一元函數(shù)的n階泰勒公式與二元函數(shù)的n階泰勒公式進(jìn)行類比（包括它們成立的條件和公式的結(jié)構(gòu)與形式）。,又如，在講完了積分學(xué)后應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將定積分、二重積分、三

24、重積分、曲線積分、曲面積分進(jìn)行類比，包括它們的定義、性質(zhì)、計(jì)算方法、物理意義、…等。,首先通過類比，看到這幾種積分的定義都是按“分割”、“求近似和”、“取極限”，三個(gè)步驟引出的，并可把他們統(tǒng)一記為,特別應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生將牛頓——萊布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式進(jìn)行類比。 若將牛頓——萊布尼茨公式,視為，它建立了一元函數(shù)f(x)在一個(gè)區(qū)間的定積分與其原函數(shù)F(x)在區(qū)間邊界的值之間的聯(lián)系；,通過類比，就可將格林公式

25、,視為，它建立了二元函數(shù)在一個(gè)平面區(qū)域D上的二重積分與其“原函數(shù)”在區(qū)域邊界L的曲線積分之間的聯(lián)系；,通過類比，就可將高斯公式,視為，它建立了三元函數(shù)在一個(gè)空間區(qū)域 上的三重積分與其“原函數(shù)”在區(qū)域邊界曲面S上的曲面積分之間的聯(lián)系；,通過類比，就可將斯托克斯公式,視為，它建立了三元函數(shù)在一個(gè)空間曲面S上的曲面積分與其“原函數(shù)”在區(qū)域邊界曲線L上的曲線積分之間的聯(lián)系。,實(shí)踐證明：在學(xué)習(xí)過程中，將新內(nèi)容與自己已經(jīng)熟悉的知識(shí)。進(jìn)行類比

26、，不但易于接受、理解、掌握新知識(shí)，更重要的是：培養(yǎng)、鍛煉了自己的類比思維，有利于開發(fā)自己的創(chuàng)造力。（費(fèi)馬猜想）,從而，可將格林公式、高斯公式、斯托克斯公式都看作牛頓——萊布尼茨公式的高維推廣。,所謂具有發(fā)散特性的思維是指信息處理的途徑靈活多變，求結(jié)果的豐富多樣。它是一種開放性的立體思維，即圍繞某一問題，沿著不同方向去思考探索，重組眼前的信息和記憶中的信息，產(chǎn)生新的信息并獲得解決問題的多種方案。因此，也把發(fā)散思維稱為求異思維。它是一種重要

27、的創(chuàng)造性思維。 用“一題多解”，“一題多變”等方式，發(fā)散式地思考問題。,三、發(fā)散思維,數(shù)學(xué)王子—高斯,高斯被譽(yù)為：“能從九霄云外的高度按某種觀點(diǎn)掌握星空和深?yuàn)W數(shù)學(xué)的天才”和“數(shù)學(xué)王子”。,特別是高斯非常重視培養(yǎng)自己的發(fā)散思維，并且善于運(yùn)用發(fā)散思維。他非常重視“一題多解”、“一題多變”。例如：他對(duì)‘代數(shù)基本定理’，先 后給出了4種不同的證明；他對(duì)數(shù)論中的‘二次互反律’，先后給出了8種不同的證明（高斯稱‘二次互反律’

28、是數(shù)論中的一塊寶石，數(shù)論的酵母，是黃金定理）。,第一個(gè)證明是用歸納法；第二個(gè)證明是用二次型理論；第三個(gè)和第五個(gè)證明是用高斯引理；第四個(gè)證明是用高斯和；第六個(gè)和第七個(gè)證明是用分圓理論；第八個(gè)證明是用高次冪剩余理論。,他的每一種證明思路都導(dǎo)致數(shù)論的新方向。其后19世紀(jì)多位數(shù)論大家如狄里克雷、雅可比、艾森斯坦、庫(kù)默、戴德金、希爾伯特等人都給出了新的證明并發(fā)展了該理論。,有人曾問高斯：“你為什么能對(duì)數(shù)學(xué)作出那樣多的發(fā)現(xiàn)？”高斯答道：“

29、假如別人和我一樣深刻和持久地思考數(shù)學(xué)真理，他也會(huì)作出同樣的發(fā)現(xiàn)?！备咚惯€說：“絕對(duì)不能以為獲得一個(gè)證明以后，研究便告結(jié)束，或把另外的證明當(dāng)作多余的奢侈品。”“有時(shí)候一開始你沒有得到最簡(jiǎn)和最美妙的證明，但恰恰在尋求這樣的證明中才能深入到真理的奇妙聯(lián)想中去。這正是吸引我去繼續(xù)研究的主動(dòng)力，并且最能使我們有所發(fā)現(xiàn)?！备咚惯@些言行，很值得我們學(xué)習(xí)和深思。,因此，我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)利用一題多解、一題多變來培養(yǎng)訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維，下邊我們舉幾

30、個(gè)例子：,解法一：,,,,,第一類換元積分法,一題多解：計(jì)算,解法二：,,,,第一類換元積分法,一題多解：計(jì)算,解法三：,,,,第一類換元積分法,一題多解：計(jì)算,解法四：令,,,,第二類換元積分法,一題多解：計(jì)算,解法五：令,,,,第二類換元積分法,一題多解：計(jì)算,解法六： 令,,,,第二類換元積分法,一題多解：計(jì)算,解法七：,分部積分法和第一類換元積分法,一題多解：計(jì)算,解法八：,分部積分法和第一類換元積分法,一題多解：計(jì)算,解法九：

31、歐拉代換法，令,一題多解：計(jì)算,解法十：歐拉代換法，令,一題多解：計(jì)算,解法十一：設(shè),兩邊求導(dǎo)得：,于是：,待定系數(shù)法：,得到：,一題多解：計(jì)算,通過計(jì)算這一個(gè)題目，不但使用了多種計(jì)算不定積分的方法，把不定積分法學(xué)活了，更重要的是培養(yǎng)、訓(xùn)練了發(fā)散式思考問題的思維方法.,可以用極限用三角公式變形；用洛必達(dá)法則；用無究小量的代換； 用泰勒公式；……等等。,又如：求極限,又如：證明不等式,可以用函數(shù)單調(diào)性；用中值定理； 用泰勒公

32、式； ……等等。,一題多變：,得知它是全微分方程，從而用全微分方程的解法求出其通解；,,求微分方程,通解,變形為：,由于：,得知它是齊次微分方程，從而用齊次微分方程的解法求出其通解；,,求微分方程,通解。,變形為：,一題多變：,一題多變：,,,求微分方程,通解,變形為：,發(fā)現(xiàn)它是伯努利方程，從而令 z = y2，化為線性微分方程，然后用線性微分方程的解法求出其通解。《高等數(shù)學(xué)一題多解200例選編》 （產(chǎn)品：手表、收音機(jī)、電

33、視機(jī)等）,一則小故事: 一位老太太有兩個(gè)女兒。大女兒嫁給雨傘店老板，小女兒當(dāng)了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天憂心忡忡，逢上雨天，她擔(dān)心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕傘店的雨傘賣不出去，日子過得很憂郁。,后來有一位聰明的人勸她：‘老太太，你真好福氣，下雨天，你大女兒家生意興??；大晴天，你小女兒家顧客盈門，哪一天你都有好消息啊。’這么一說，老太太生活的色彩竟煥然一新。,四、逆向思維,逆向思維（又稱反向思

34、維）是相對(duì)于習(xí)慣性思維的另一種思維形式。它的基本特點(diǎn)是從已有的思路的反方向去思考問題。它對(duì)解放思想、開闊思路、解決某些難題、開創(chuàng)新的方向，往往能起到積極的作用。,（1）如果遇到某些問題順推不行，可以考慮逆推。（2）如果遇到某些問題直接解決困難，想法間接 解決。（3）正命題研究過后，研究逆命題。（4）探討可能性發(fā)生困難時(shí)，轉(zhuǎn)而探討不可能性。 下面舉幾個(gè)高等數(shù)學(xué)中的例子:,1,d

35、y,,,但是，如果利用逆向思維，即反過來將x視為未知函數(shù)， y視為自變量，將方程變?yōu)椋?若將x視為自變量，y視為未知函數(shù)，求解此方程就困難，因?yàn)樗炔皇强煞蛛x變量的微分方程，也不是齊次微分方程，也不是全微分方程，而且對(duì)未知函數(shù)y來說也不是線性微分方程和貝努利方程。,求解微分方程：,,.,,),2,(,,2,y,x,y,dx,+,=,,,。,從而很容易求出其通解,它就是未知函數(shù)x的線性微分方程。,,],),1,(,2,1,[,,.,,),

36、2,(,,2,2,2,2,C,e,y,e,x,y,x,y,dy,dx,y,y,+,+,-,=,+,=,-,若直接解決有困難，想法間接解決。,解法一： 用間接的方法，即轉(zhuǎn)化為判斷級(jí)數(shù),故知級(jí)數(shù),收斂，而級(jí)數(shù)收斂的必要條件是：,例1 試求,解法二:利用夾逼定理,,,,例3：將y=xarctanx展成x的冪級(jí)數(shù)。 若用直接方法，先得求出此函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，還得討論余項(xiàng)Rn(x)。,若用間接方法，就很簡(jiǎn)便。,探討可能性發(fā)生困難

37、時(shí)，轉(zhuǎn)而探討不可能性。 下面我們例舉數(shù)學(xué)史上兩個(gè)最有名的問題：,關(guān)于非歐幾何的發(fā)現(xiàn),歐幾里得《幾何原本》第一卷中給出了五個(gè)公設(shè)，其中前四個(gè)簡(jiǎn)單明了，（前三個(gè)是作圖的規(guī)定，第四個(gè)是“凡直角都相等”），符合亞里士多德公理“自明性”的要求，唯獨(dú)第五公設(shè)不僅文字啰嗦，而且所肯定的事實(shí)也不明顯。,此公設(shè)是“若一直線和兩條直線相交，所構(gòu)成的兩同旁內(nèi)角之和小于兩直角，那么把這兩直線延長(zhǎng)，它們一定在兩內(nèi)角的一側(cè)相交”。,,,,,這公設(shè)等

38、價(jià)于：“在平面上，過直線外一點(diǎn)，只能作一條直線與這條直線平行”。,,,歐,當(dāng)兩條直線相交于非常遙遠(yuǎn)的地方時(shí)，就無法判斷這兩條直線是否平行，因此不具有直觀的明顯性。因此沒有得到公認(rèn)，于是就有人提出來把它作為定理來證明。但是許多數(shù)學(xué)家經(jīng)歷了2000多年都以失敗告終，他們不是證明有錯(cuò)誤，就是用另一條等價(jià)的公理代替了第五公設(shè)。,直到19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們著手研究它的反問題━━歐幾里得第五公設(shè)不可證。特別是德國(guó)的高斯、匈牙利的鮑耶、俄國(guó)的羅巴切夫斯

39、基他們各自總結(jié)了前人和自己試證第五公設(shè)的失敗教訓(xùn)。,高斯(1799,1813),羅巴切夫斯基 (1826,1829),鮑耶（1832）,他們首先肯定了歐幾里得第五公設(shè)是不能用其它公理作出證明，然后用一個(gè)與它相反的命題來代替它。即“在平面上，過直線外一點(diǎn)至少可引兩條直線與已知直線平行?！?,,,,,羅,從而建立了一種與歐幾里得不同的新的幾何體系。 高斯稱之為“反歐幾里得幾何” 羅巴切夫斯基稱之為“想象的幾何

40、” 后他又稱之為“泛幾何” 今天稱之為羅巴切夫斯基幾何（又稱雙曲幾何）。,后來德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼用一個(gè)既與歐幾里德第五公設(shè)的命題相反又與羅巴切夫斯基平行公理相反的命題來代替它們，即“在平面上，過直線外一點(diǎn)不可能引一直線與已知直線平行”。,,,,黎,從而建立了一種與歐幾里得幾何、羅巴切夫斯基幾何都不同的新的幾何體系，現(xiàn)稱為“黎曼幾何”（又稱橢圓幾何）。,現(xiàn)在人們把“羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何統(tǒng)稱為“非歐幾里得幾何”。,黎曼

41、(1854),非歐幾里得幾何的創(chuàng)立是幾何學(xué)上的革命，它不僅使數(shù)學(xué)家大開眼界，引起一些重要數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生，它的重要意義還在于使數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究進(jìn)入一個(gè)嶄新的歷史時(shí)期，它使人們對(duì)空間的認(rèn)識(shí)更深刻，更完全了。例如，它對(duì)愛因斯坦的相對(duì)論提供了最合適的數(shù)學(xué)工具。因此許多人采用非歐幾何學(xué)作為宇宙的幾何模型。,本世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特指出: “19世紀(jì)最富啟發(fā)性和最值得注意的成就是非歐幾里得幾何的發(fā)現(xiàn)”。,歐幾里得： 三角形內(nèi)角和 =

42、 兩直角羅巴切夫斯基：三角形內(nèi)角和 兩直角 后來許多幾何理論都建立在改變和推廣歐幾里得幾何概念的基礎(chǔ)之上。例如：1844年格拉斯曼建立的n維仿射空間和度量空間幾何。,關(guān)于五次及五次以上代數(shù)方程根式求解問題,在16世紀(jì)之前，數(shù)學(xué)家們就成功地找到了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次以上代數(shù)方程的根式解法。如：,那么，一般五次及五次以上的代數(shù)方程是否也存在根式解法呢？,這個(gè)問題吸引著眾多的數(shù)學(xué)家，他們相

43、信這種解法一定存在，包括：卡當(dāng)（Cardano）、韋達(dá)(Viete)、笛卡兒、牛頓、萊布尼茨、拉格朗日等等，但相繼經(jīng)歷了兩百多年的努力都未能找到解法。,,韋達(dá),拉格朗日,經(jīng)過無數(shù)次的失敗之后,直到19世紀(jì)初，一些數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了逆向思維：首先是魯非尼（Ruffini）和拉格朗日，接著是阿貝爾(Abel)，把問題的提法倒了過來，去思考它的反問題：一般五次及五次以上的方程不存在根式求解法。,阿貝爾(Abel),阿貝爾從這種逆向思維出發(fā)，終于嚴(yán)格

44、地證明了：一般五次及五次以上的方程不能用根式求解，不但徹底解決了這樁歷史懸案，并且進(jìn)而開創(chuàng)了近世代數(shù)方程的研究道路，包括群論和方程的超越函數(shù)解法。,幾何的三大難題：1. 三等分任意角;2. 化圓為方;3. 倍立方. ( 只用圓規(guī)、直尺),,逆向思維的基本特點(diǎn),從已有思路的反方向去思考問題。順推不行，考慮逆推；直接解決不行，想辦法間接解決;正命題研究過后，研究逆命題；探討可能發(fā)生困難時(shí)，考慮探討不可能性。它有

45、利于克服思維定勢(shì)的保守性，它對(duì)解放思想、開闊思路、發(fā)現(xiàn)新生事物，開辟新的方向，往往能起到積極作用。,例如： 毒蛇、蝎子都令人生畏，但有人大膽地逆向思考，提出了以毒攻毒，結(jié)果制成了許多珍貴的藥品。 英國(guó)醫(yī)師琴納(Jener)發(fā)現(xiàn)牛痘能夠預(yù)防天花，實(shí)際上也是使用了逆向思維。 按正常思維，理發(fā)店?duì)C發(fā)必然用火，用電，否則怎能“燙呢？但有人用逆向思維，結(jié)果發(fā)明了化學(xué)冷燙”。,“圍魏救趙” (“

46、36計(jì)”中的第2計(jì)),,桂陵（今長(zhǎng)垣縣西邊），大梁（今開封）。,大梁,“司馬光擊缸救人” 常規(guī)辦法: 人離, 缸完, 水存; 司馬光采取了非常規(guī)辦法: 缸破, 水流, 人存 司馬光的急救之策，被世人稱頌。,沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。 ━━牛頓

47、 要想成為一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，……你必須是一個(gè)好的猜想家。 ━━G?波利亞,牛頓,波利亞,五、數(shù)學(xué)與猜想,數(shù)學(xué)猜想是指依據(jù)某些已知事實(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)未知量及關(guān)系所作出的一種似真的推斷，它是數(shù)學(xué)研究的一種常用的科學(xué)方法，又是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種重要思維形式，它是科學(xué)假說在數(shù)學(xué)中的具體表現(xiàn)。 數(shù)學(xué)猜想作為一種數(shù)學(xué)潛形態(tài),它常常是數(shù)學(xué)

48、理論（定理）的萌芽和胚胎，它往往是數(shù)學(xué)發(fā)展到積累了大量資料，需要進(jìn)行理論整理，探索其理論內(nèi)部的矛盾規(guī)律這一階段上產(chǎn)生出來的，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程與其它知識(shí)的創(chuàng)造過程一樣。你先得把觀察到結(jié)果加以歸納、類比，通過猜想……。,著名數(shù)學(xué)教育家波利亞（Polya）說：“在前輩數(shù)學(xué)家中，……歐拉對(duì)我的影響最大.主要原因在于，歐拉做了一些跟他才能相當(dāng)?shù)膫ゴ髷?shù)學(xué)家從沒做過的事，即他解釋了他是如何發(fā)現(xiàn)他的結(jié)果的.對(duì)此，我是如獲至寶.”,,歐拉關(guān)于多面體的猜想

49、,“塔頂”體,截角立方體,八面體,猜想:是否面(F)的數(shù)目越多,頂點(diǎn)的數(shù)(V)越多?,,,,猜想:是否邊(E)的數(shù)目越多,面數(shù)(F)越多?頂點(diǎn)(V)也越多呢?,,,,,F + V = E + 2,由歸納得出:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,F + V = E + 2,亭體的推廣:,(F+n-1)+(V+1)=(E+n)+2 從而 F+V=E+2截角立方體的推廣:,(F+1)+(V+n-1)=(E+n)+2 從而

50、F+V=E+2,棱: 水平邊=4*3=12 非水平邊=4*3=12 從而 E=24面: F =4*3=12頂點(diǎn): V = 4*3=12 從而 F+V E+2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,類 比,凸多邊形: 如,,,,,,,,,顯然有 V ==== E (*)

51、 角(頂點(diǎn)) === 邊(棱) 將(*)改寫為(按維數(shù)增加的順序) V - E + 1 ==== 1 (**) 頂點(diǎn)數(shù) 邊數(shù) 多邊形內(nèi)部面數(shù) (0維) (1維) (2維),凸多面體:,現(xiàn)將 F+V=E+2 改寫為(按維數(shù)增加的順序)

52、 V - E + F - 1 = 1 (***)頂點(diǎn)數(shù) 邊數(shù) 面數(shù) 多面體內(nèi)部立體數(shù) (0維) (1維) (2維 ) (3維),比較(**)和(***) ,它們多么類似.,V - E + 1

53、 ==== 1 (**),若：,,則：,,若,可導(dǎo)， 有：,猜想（類比），是否有：,實(shí)際應(yīng)為：,利用比較判別法，判定正項(xiàng)級(jí)數(shù),的斂散性時(shí)，首先，應(yīng)對(duì)該級(jí)數(shù)的斂散性作一個(gè)猜想：若猜想該級(jí)數(shù)收斂，就需要找一個(gè)（或構(gòu)造一個(gè)）收斂的級(jí)數(shù),，則猜想正確；若猜想該級(jí),數(shù)發(fā)散，就需要找一個(gè)（或構(gòu)造一個(gè)）,發(fā)散的級(jí)數(shù),著名教育家蘇霍姆林斯基說：“思維就像一棵花，它是逐漸地積累生命汁液的，只要我們用這種汁液澆灌它的根，讓它受到陽光照射

54、，它的花朵就會(huì)綻開?！?我講得不當(dāng)之處,請(qǐng)大家諒解并指正. 謝謝大家!,附錄: 愛爾特希,匈牙利數(shù)學(xué)家，1913年生于布達(dá)佩斯，1984年獲沃爾夫獎(jiǎng)，時(shí)年71歲。 主要專長(zhǎng)與成就：數(shù)論、集合、概論、組合數(shù)學(xué)等，特別是與美籍挪威數(shù)學(xué)家塞爾貝格分別獨(dú)立地用初等到方法成功地證明了數(shù)論中的素?cái)?shù)定理。,霍夫曼說：“愛爾特希必定是世界上最多產(chǎn)的，然而或許又是最怪僻的數(shù)學(xué)家”。 愛爾特希

55、說：“數(shù)學(xué)是無限廣大的，數(shù)本身是無窮的，這就是數(shù)學(xué)何以真的成了我唯一的興趣所在的原因”。,被稱為數(shù)學(xué)界的莫扎特： 莫扎特（Mozart,1751-1791）,奧地利杰出的作曲家，4歲能彈綱琴小曲，5歲即譜了數(shù)首小曲。一生中創(chuàng)作了582首音樂作品，不少為傳世精品。愛爾特希:（1）3歲、4歲，（2）10歲素?cái)?shù)，（3）17歲（布達(dá)佩斯，大一）一切比雪夫定理，（被莫德爾邀請(qǐng)），（4）1934年去曼徹斯特，（5）四海為家，數(shù)學(xué)

56、中心，,（6）1500多篇論文，250多位合作者，（7）打電話，（8）1986年1500封信，（9）26歲創(chuàng)立概論、36歲用初等方法證明素?cái)?shù)定理，（10）在普林斯頓卡茨講學(xué)，（11）在得克薩斯州機(jī)械學(xué)院，（12）與其母親，（13）服用安非他明，咖啡因片，數(shù)學(xué)是座堅(jiān)強(qiáng)的促進(jìn)壘，（14）睡5小時(shí)，“在墳?zāi)估镉械氖切菹r(shí)間”，（15）小說、電影、航天、畫展、吃飯，（16）愛爾特希問題，（17）與青年人并肩戰(zhàn)斗，1986（73歲）50多篇論文，