概率論第四章

1、第四章 隨機變量的數字特征,隨機變量的數學期望隨機變量的方差隨機變量的協(xié)方差和相關系數,1,分布函數能完整地描述 r.v.的統(tǒng)計特性, 但實際應用中并不都需要知道分布函數，而只需知道 r.v.的某些特征.,判斷燈管質量時, 既看燈管的平均壽命,平均壽命越長,偏離程度越小, 質量就越好;,又要看 燈管壽命與平均壽命的偏離程度,例如：,2,考察一射手的水平, 既要看他的平均環(huán)數是否高, 還要看他彈著點的范圍是否小, 即數據的波動是

2、否小.,由上面例子看到，與 r.v. 有關的某些數值，雖不能完整地描述 r.v.但能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要特征 , 這些數字特征在理論和實踐上都具有重要意義.,3,4.1數學期望,4,1、數學期望定義,(1) 離散型,5,(2)、連續(xù)型,6,已知隨機變量X的分布律：,例,求數學期望E（X）,解,7,已知隨機變量X的密度函數為,例,求數學期望。,解,8,幾個重要r.v.的期望,1.0-1分布的數學期望,2. 二項分

3、布B(n, p),9,3.泊松分布,4. 均勻分布U(a, b)或R（a,b),10,5.指數分布,11,6. 正態(tài)分布N(?, ?2),12,常見分布的數學期望,1.二點分布:設 則 2.二項分布:設 則 3.泊松分布:設 則4.均勻分布:設 則 5.指數分

4、布:設 則6.正態(tài)分布:設 則,13,定理 1：,設 Y=g(X), g(x) 是連續(xù)函數，（1）若 X 的分布率為且 絕對收斂, 則 EY=,二、 隨機變量函數的數學期望,14,定理 2：,15,例 設離散型隨機變量X 的分布列為,試計算： 和

5、 。,,,,16,由數學期望的定義可得,解,,,,17,已知 X 的 概率密度為,例 已知 X 服從 上的均勻分布，計算 的數學期望。,解,,,則所求 的數學期望為：,18,例 設隨機變量 的聯合概率密度為,試計算 和

6、 。,由定義，,解,,,,19,,,,20,例 設隨機變量(X,Y)的分布律如下，求E(XY),解:,21,設X服從N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4),EX,22,23,例 設相互獨立的隨機變量X，Y的密度函數分別為,求E（XY）,解,,24,四、數學期望的性質,如果 X、Y 是兩個隨機變量，C 為任意常數，且 都存在，則數學期望有以下四條常見的性質。,,,,如果 X

7、 與 Y 相互獨立，則,25,證明,（2）連續(xù)型 設X~f(x),則,（3）離散型 設(X,Y)聯合分布為 P(X=xi,Y=yj)=pij ,(i,j=1,2…),26,（4）連續(xù)型 設(X,Y)~f(x,y),則,由X,Y相互獨立得,27,推論1 設隨機變量 的數學期望都存在，則,推論2 設隨機變量 相互獨立，且數學期望都存在，則,性質（3）和

8、性質 （4）可以推廣到多個隨機變量上，即成立：,28,解 X的密度函數為,例設隨機變量X服從參數為1的指數分布，求,所以,而,所以,29,例 設二維 r.v. (X ,Y ) 的 概率密度 為,求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y), E(Y / X),解,30,由數學期望性質,31,4.2 方差一. 定義與性質,32,若E [X - E(X)]2 存在, 則稱其為隨機,定義,即 D (X ) =

9、 E [X - E(X)]2,變量 X 的方差, 記為D (X ),D(X ) —— 描述 r.v. X 的取值偏離平均值 的平均偏離程度,33,若 X 為離散型 r.v.，分布律為,若 X 為連續(xù)型r.v. ，概率密度為 f (x),34,因為 DX= E(X-EX)2,=E[X2-2X(EX)+(EX)2],=EX2-E[2X(EX)]+E(EX)2,=EX2-2(EX)(EX)+(EX)2,=EX

10、2-(EX)2,(注:EX是常數),計算方差的常用公式：,35,方差的計算步驟,Step 1: 計算期望 E(X),Step 2: 計算 E(X2),Step 3: 計算 D(X),離散型,連續(xù)型,離散型,連續(xù)型,36,D (C) = 0,D (aX ) = a2D(X),,D(aX+b ) = a2D(X),,特別地，若X ,Y 相互獨立，則,37,性質 1 的證明：,性質 2 的證明：,38,性質 3 的證明：,當 X ,Y 相互獨

11、立時，,注意到，,,39,0-1分布的方差,分布律,方差,其中,常見分布的方差,40,二項分布的方差,分布律,方差,X ~ B ( n, p ),推導？,41,方法二 引入隨機變量,相互獨立，,故,42,泊松分布的方差,分布律,方差,推導？,43,,,44,均勻分布的方差,分布密度,方差,,,45,正態(tài)分布的方差,分布密度,方差,,,,46,指數分布的方差,分布密度,方差,,,47,常見分布及其期望和方差列表P84,分布名稱

12、 數學期望E（X） 方差D（X）,0-1分布,二項分布,泊松分布,均勻分布,正態(tài)分布,指數分布,48,例：設隨機變量X的概率密度為,1)求D（X）, 2)求,49,50,例 已知 X 的 概率密度為,其中 A ,B 是常數，且 E (X ) = 0.5.,求 A ,B. 設 Y = X 2, 求 E (Y ),D (Y ),51,解 (1),,,,,52,(2),53,§ 4.4 協(xié)方差和相關系數

13、,問題 對于二維隨機變量(X ,Y ):,已知聯合分布,,邊緣分布,對二維隨機變量,除每個隨機變量各自的概率特性外, 相互之間可能還有某種聯系問題是用一個怎樣的數去反映這種聯系.,數,反映了隨機變量 X , Y 之間的某種關系,54,稱,為 X ,Y 的協(xié)方差. 記為,定義,顯然，,55,Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),可見，若X與Y獨立， Cov(X,Y)= 0 .,3. 計算協(xié)方差的一個簡單公式,由協(xié)方差

14、的定義及期望的性質，可得,Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]},=E(XY)-E(X)E(Y),即,當COV(X,Y)=0時，稱X與Y不相關。,56,D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y),4. 隨機變量和的方差與協(xié)方差的關系,57,例如，設隨機變量 X 的分布列為,，則容易算得 X 與Y 顯然是不獨立的，因為 Y 的取值是由 X 來定的。,

15、,58,求 cov (X ,Y ),解,59,,,60,二、 相關系數,定義 對二維隨機變量（X，Y），如果 存在，則稱之為 X 與Y 的相關系數，記為 。,,,,61,相關系數具有以下性質：,當 X、Y 相互獨立時，,,,,62,由性質（3）知道，相互獨立的隨機變量定不相關，但反過來不一定成立。而對正態(tài)分布而言，獨立性與不相關性是一致的。,對于協(xié)方差，具有以下幾