what's-the-mathes

1、最后一課,一、什么是數(shù)學(xué),,世界上任何客觀存在都有其“數(shù)”與“形”的屬性特征，并且一切事物都發(fā)生變化，遵循量變到質(zhì)變的規(guī)律。,,,“數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙。”錢學(xué)森先生認(rèn)為數(shù)學(xué)是社會(huì)科學(xué)和自然科學(xué)的基礎(chǔ)。哲學(xué)是社會(huì)科學(xué)和自然科學(xué)的概括。 齊民友先生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的生長像竹子，根在大地，然后自己一節(jié)一節(jié)向上長，間或爆出新筍，長成新竹。若干年后，竹子開花，結(jié)成種子，重回大地。”,1994年高考大綱：“要求具有一定的數(shù)學(xué)視野，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科

2、學(xué)價(jià)值與人文價(jià)值，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，形成審慎的思維習(xí)慣，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義。”美國應(yīng)用數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家克萊因 ：“如果美的組成和作品的特征包括洞察力和想象力，對稱性和比例、簡潔，以及精確地適應(yīng)達(dá)到目的的手段，那么數(shù)學(xué)就是一門具有其特有完美性的?！本褪钦f，數(shù)學(xué)是科學(xué)也是藝術(shù)。,恩格斯的《自然辯證法》 ：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的，簡單地說，是研究數(shù)和形的科學(xué)?！?“我們的幾何學(xué)是從空間關(guān)系出發(fā)，我們的算術(shù)和代數(shù)學(xué)是從

3、數(shù)量出發(fā)?！?數(shù)學(xué)是一門思維科學(xué)。它是思維的體操，在訓(xùn)練人的思維能力方面是其他任何學(xué)科無法比擬的。它隱藏自然和生活的背后，是一種看不見的客觀存在，亦或是人類社會(huì)與自然規(guī)律的抽象表達(dá)，是一種超乎自然超越物質(zhì)的智慧之花，是人類思維的一種方式。,,如同音樂是聽覺之美，繪畫是視覺之美，而數(shù)學(xué)是思維之美。它是自然學(xué)科的基礎(chǔ)，是物理化學(xué)等眾多學(xué)科依賴的工具。數(shù)學(xué)每前進(jìn)一小步，科學(xué)就前進(jìn)一大步。,,,第一階段 數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期（遠(yuǎn)古----

4、-公元前5世紀(jì)）：算術(shù)幾何形成時(shí)期，但它們還未分開，彼此交織在一起，沒有形成完整、嚴(yán)格的體系，缺乏邏輯性，基本上看不到命題證明、演繹、推理。,第二階段 常量（初等）數(shù)學(xué)時(shí)期（公元前5世紀(jì)------17世紀(jì)中葉）：數(shù)學(xué)逐步形成了一門獨(dú)立的、演繹的學(xué)科。算術(shù)、初等幾何、初等代數(shù)、三角學(xué)都已成為獨(dú)立的分支。 兩大巨著：《幾何原本》《九章算術(shù)》 ——東西

5、輝映，淵源流長。,二、數(shù)學(xué)發(fā)展簡史：,,,第三階段 變量（高等）數(shù)學(xué)時(shí)期（17世紀(jì)中葉------19世紀(jì)中葉）：變量與函數(shù)的概念進(jìn)入數(shù)學(xué)。解析幾何、微積分、概率論、射影幾何形成。,第四階段 近代數(shù)學(xué)時(shí)期（19世紀(jì)中葉------二次大戰(zhàn)）：非歐幾里得幾何、抽象代數(shù)、復(fù)變函數(shù)論、集合論、微分幾何、微分方程論、積分方程論、點(diǎn)集拓?fù)洹⒔M合拓?fù)洹?,,第五階段 現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（20世紀(jì)40年代以來）：（原子能的

6、應(yīng)用，電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，空間技術(shù)的興起）廣義函數(shù)論、整體微分幾何、非標(biāo)準(zhǔn)分析、微分拓?fù)?、代?shù)拓?fù)洹⒋鷶?shù)幾何、同調(diào)代數(shù)、模糊數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、分形幾何……,,,從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué),常量數(shù)學(xué)應(yīng)用的局限性 建立了日心學(xué)理論之后，17世紀(jì)的人們面臨如何改進(jìn)計(jì)算行星位置，如何解釋地球上靜止的物體保持不動(dòng)，下降的物體還落在地球上等問題，這類問題的核心是物體的運(yùn)動(dòng)。帶有運(yùn)動(dòng)特征的問題，初等數(shù)學(xué)（算術(shù)，初等代數(shù)，初等幾何，三角）無能為力。,,,數(shù)學(xué)基

7、礎(chǔ)是解析幾何，標(biāo)志為微積分解析幾何學(xué)是借助坐標(biāo)系，用代數(shù)方法研究幾何對象之間的關(guān)系和性質(zhì)的一門幾何學(xué)分支，也叫坐標(biāo)幾何。由法國數(shù)學(xué)家笛卡兒和費(fèi)爾馬等人創(chuàng)建（1637年）。,,,變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的過程,三、初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的區(qū)別,17世紀(jì)以前的數(shù)學(xué)稱為初等數(shù)學(xué)，研究的是常量間的代數(shù)運(yùn)算和孤立的、不變的幾何形體內(nèi)部及相互間的關(guān)系。,1637年笛卡兒引入了坐標(biāo)系，溝通了數(shù)與形之間的關(guān)系，這時(shí)數(shù)學(xué)研究的是變量和不規(guī)則的幾何形體。微積分的創(chuàng)立，使

8、數(shù)學(xué)的發(fā)展出現(xiàn)了一日千里之勢，形成了內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、高等幾何三大分支。相對于初等數(shù)學(xué)，它們稱為高等數(shù)學(xué)。,,,初等數(shù)學(xué)主要采用形式邏輯法，靜止地、孤立地、一個(gè)一個(gè)地 進(jìn)行研究； 高等數(shù)學(xué)則是以運(yùn)動(dòng)的、變化的觀點(diǎn)去研究問題。,,,,恩格斯指出：“在一切理 論成就中，未必再有什么象 17世紀(jì)下半葉微

9、積分學(xué)的發(fā) 明那樣被看作人類精神的最 高勝利了。”他還說：“只有微積分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來不僅僅表明狀態(tài)，并且也表明過程、運(yùn)動(dòng)。”,,,牛頓（Isaac Newtons，1643－1727）,,牛頓和他的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》,1687年7月5日用拉丁文發(fā)表Philosophiae Naturalis Princi

10、pia Mathematica （mathematical principles of natural philosophy）-----------------個(gè)人智慧的偉大結(jié)晶“我不知道世人對我怎么看；但在我自己看來就好像只是一個(gè)在海濱嬉戲的孩子，不時(shí)地為比別人找到一塊光滑的卵石或一只更美麗的貝殼而感到高興，而我面前的浩瀚的真理海洋，卻還完全是個(gè)謎。”,萊布尼茨(Leibniz，1646－1716),萊布尼茨的多才多藝在歷史上很少

11、有人能和他相比，他的研究領(lǐng)域及其成果遍及數(shù)學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)、邏輯學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、地理學(xué)、解剖學(xué)、動(dòng)物學(xué)、植物學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)、地質(zhì)學(xué)、語言學(xué)、法學(xué)、哲學(xué)、歷史和外交等等。,四 再說無窮大,,為科學(xué)而瘋的人－康托爾,康托爾 （Cantor ，1845 －1918）集合論創(chuàng)始人集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)理論,“無窮集是具有這樣異常性質(zhì)的集合，即它的全體可以與它的部份一樣多”?！?康托爾把元素間能建立一一對應(yīng)的集合叫做它們元

12、素一樣的多。 對“無窮多”比較大小。 創(chuàng)造了“超限數(shù)”的概念，建立了超窮集合論。,,康托爾的貢獻(xiàn),可數(shù)集,1874年，康托發(fā)表了《切代數(shù)實(shí)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)》一文。該文提出了"可數(shù)集"概念,可數(shù)集的定義：,與自然數(shù)集N對等的集合稱為可數(shù)集或可列集.,1234 … n…,2468 … 2n…,? ? ? ? … ? …,注：A可數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)A可以寫成無窮序列的形式

13、 {a1, a2, a3, …},(1)自然數(shù)與正偶數(shù)一樣多,1234 … n…,1357 … 2n-1…,? ? ? ? … ? …,(2)自然數(shù)與正奇數(shù)一樣多,是否所有的“無窮大”都相等？是否所有的無窮集合都是可數(shù)集？（可以被編號排列？）,結(jié)論: (0,1)實(shí)數(shù)不可以被編號（不可列） 實(shí)數(shù)的數(shù)量比整數(shù)的數(shù)量多！(0,1)內(nèi)的實(shí)數(shù)與（-∞

14、，+∞）內(nèi)的實(shí)數(shù)一樣多任何兩條線段上的點(diǎn)都是一樣多的,,,,,線段a上的點(diǎn)與線段b上的點(diǎn)一樣多,,,圓O1上的點(diǎn)與圓O2上的點(diǎn)一樣多,（0,1）與（0,+∞）的點(diǎn)一樣多,,無窮是一個(gè)永恒的謎. 無窮既是人類最偉大的朋友，也是人類心靈寧靜的最大敵人 ---希爾伯特,踏入二十世紀(jì)，康托的理論終于獲得承認(rèn),希爾伯特1862 ? 1943,“沒有人能把我們從康托爾為我們創(chuàng)造的樂園中趕出去” ----希爾伯特,“數(shù)學(xué)思想最驚人的產(chǎn)物，在純

15、粹理性的范疇中人類活動(dòng)最美的表現(xiàn)之一” “數(shù)學(xué)精神最令人驚羨的花朵，人類理智活動(dòng)最漂亮的成果”． ----希爾伯特,康托爾40歲時(shí)患了嚴(yán)重的憂郁癥，極度沮喪，神態(tài)不安。在以后的幾十年里，精神病時(shí)時(shí)發(fā)作，經(jīng)常住到精神病院的療養(yǎng)所去 他變得很自卑，甚至懷疑自己的工作是否可靠。他請求哈勒大學(xué)當(dāng)局把他的數(shù)學(xué)教授職位

16、改為哲學(xué)教授職位.,在精神病發(fā)作的間歇階段，康托爾仍然頑強(qiáng)地堅(jiān)持集合論的研究。他在集合論方面許多非常出色的成果，都是在精神病發(fā)作的間歇時(shí)期獲得的。 1918年，在哈勒大學(xué)附屬精神病院去世。,“可能是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最偉大的工作” ---羅素1903年，羅素出版了《數(shù)學(xué)的原理》一書書中提到著名的羅素悖論,羅素（1872-1970）,,,羅素悖論的通俗化形式：“理

17、發(fā)師悖論”： 一天，薩維爾村理發(fā)師掛出一塊招牌：“我給那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)”問：“這位理發(fā)師的頭發(fā)由誰理呢?”,羅素悖論的通俗化形式：“說謊者悖論”：一個(gè)克里特人說“所有克里特人說的每一句話都是謊話”。試問這句話是真還是假?,第三次數(shù)學(xué)危機(jī),,,俗話說：“學(xué)問、學(xué)問，有學(xué)有問”，鄭扳橋說：“學(xué)問二字要拆開看，學(xué)是學(xué)，問是問，今人有學(xué)而無問，雖讀書萬卷，只是一條鈍漢爾”。,暖09-1薛英杰：“……解決數(shù)學(xué)問題，并不全是我們眼