《電磁學(xué)》第0章-第0.2節(jié)-矢量分析4學(xué)時(shí)

1、華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院Email：zllin@hqu.edu.cn,林志立,《電磁學(xué)》第0章 矢量分析（4學(xué)時(shí)）,QQ群：200310752,本章主要內(nèi)容： 矢量代數(shù)、常用正交坐標(biāo)系、 標(biāo)量場的梯度、矢量場的散度、矢量場的旋度、 拉普拉斯運(yùn)算、亥姆霍茲定理。,矢量分析是研究電磁場的空間分布及其變化規(guī)律的數(shù)學(xué)工具。,第1章 矢量分析,理解標(biāo)量場和矢量場的概念，了解標(biāo)量場的等值面和矢量場的矢量線的概念,本章教學(xué)基本要

2、求,熟練掌握直角坐標(biāo)系，圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系等三種常用的坐標(biāo)系。,矢量場的散度和旋度、標(biāo)量場的梯度是矢量分析中最基本的概念，應(yīng)深刻理解，掌握散度、旋度和梯度的計(jì)算公式和方法。,散度定理和斯托克斯定理是矢量分析中的兩個(gè)重要定理，應(yīng)熟練掌握和應(yīng)用。,理亥姆霍茲定理的重要意義。,,在后面的課件中，對(duì)重要的概念將標(biāo)紅色,對(duì)重要的公式將打粉底。,1.1 矢量代數(shù),1.1.1 標(biāo)量和矢量,矢量的大小或模：,矢量的單位矢量：,標(biāo)量(scalar)

3、：一個(gè)只用大小即可描述的物理量(如溫度、高度等）。,矢量(vector)：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用粗黑字 母（印刷體）或帶箭頭的字母（手寫體）表示。,矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示。,常矢量：大小和方向均不變的矢量。,矢量的代數(shù)表示,箭頭 ：,或,,矢量可用三個(gè)坐標(biāo)分量表示：,（cosα、cosβ、cosγ 為方向余弦）,（ α、β、γ為 方向角）,（1）矢量的加減法,兩矢量的加減在幾何上是

4、以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線,如圖所示。,矢量的加減符合交換律和結(jié)合律,1.2. 矢量的代數(shù)運(yùn)算,在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：,結(jié)合律：,交換律：,,7,（2）標(biāo)量乘矢量,（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）,——矢量的標(biāo)積符合交換律,,,,,（4）矢量的矢積（叉積）,用坐標(biāo)分量表示為,寫成行列式形式為,若 ，則,若 ，則,——矢量的標(biāo)積不符合交換律,（5）矢量的混合運(yùn)算,——

5、分配律,—— 分配律,—— 標(biāo)量三重積,—— 矢量三重積,由三條相互正交的線組成的、用于確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交坐標(biāo)系。三條正交線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸特性的量稱為坐標(biāo)變量。,在電磁場與波理論中，三種常見的正交坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。,,1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系,,1.2.1 直角坐標(biāo)系,位置矢量,面元矢量,線元矢量,體積元,坐標(biāo)變量,坐標(biāo)單位矢量,直角坐標(biāo)系主要用于面對(duì)稱分布場問題的求解，如無限

6、大平面分布電荷產(chǎn)生的電場。,,1.2.2 圓柱坐標(biāo)系,坐標(biāo)變量,坐標(biāo)單位矢量,位置矢量,線元矢量,體積元,面元矢量,圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元,圓柱坐標(biāo)系,圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系,柱面坐標(biāo)系主要用于軸對(duì)稱分布場問題的求解，如無限長線電流產(chǎn)生的磁場。,(是否常矢量？),,1.2.3 球坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元,坐標(biāo)變量,坐標(biāo)單位矢量,位置矢量,線元矢量,體積元,三個(gè)面元矢量,球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的換

7、算關(guān)系,球坐標(biāo)系主要用于點(diǎn)對(duì)稱分布場問題的求解，如點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場。,(是否常矢量？),三種坐標(biāo)單位矢量之間的變換關(guān)系,,直角坐標(biāo)VS圓柱坐標(biāo)系,,圓柱坐標(biāo) VS球坐標(biāo)系,,直角坐標(biāo)VS球坐標(biāo)系,1.3 標(biāo)量場的梯度,如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。 例如：溫度場、電位場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。 例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時(shí)間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時(shí)變場。,

8、時(shí)變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：,在某任意時(shí)刻，在確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定的物理量與之對(duì)應(yīng)，則稱在該區(qū)域上存在一個(gè)場。,從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)。,標(biāo)量場和矢量場,靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：,1.3.1 標(biāo)量場的等值面,等值面: 標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲面。,等值面方程：,常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在

9、的整個(gè)空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。,等值面的特點(diǎn)：,意義: 形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。,二維u(x,y),三維u(x,y,z),1.3.2 方向?qū)?shù),方向?qū)?shù)代表了標(biāo)量場空間中某點(diǎn)處場值沿某方向上的變化率。,定義式：,方向?qū)?shù)的計(jì)算（直角坐標(biāo)系中）：,為方向 的方向余弦。,式中?、?、?分別為 與x, y, z 坐標(biāo)軸的夾角。,方向?qū)?shù)的物理意義：,，標(biāo)量場 u 在M0 處沿

10、 方向增加；,，標(biāo)量場 u 在 M0 處沿 方向減??；,，標(biāo)量場 u 在 M0 處沿 方向無變化。,特點(diǎn)：方向性導(dǎo)數(shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與 方向有關(guān)。,問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？,1.3.2 方向?qū)?shù),梯度的定義：,梯度的性質(zhì)：,1.3.3 標(biāo)量場的梯度,標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標(biāo)量場在某個(gè)方向上的

11、方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）,,意義：描述標(biāo)量場在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向。,概念： ，其中 取得最大值的方向。,,梯度的計(jì)算,直角坐標(biāo)系：,球坐標(biāo)系：,圓柱坐標(biāo)系：,“del” or “Nabla”,梯度運(yùn)算相關(guān)公式,式中：C 為常數(shù)；u,v為標(biāo)量函數(shù)。,1.4 矢量場的通量與散度,1、矢量線,意義： 形象直觀地描述了矢量場的空間

12、分布狀態(tài)。,矢量線方程：,若有矢量 ，則其矢量線方程為,定義：用于描述矢量空間分布的有向曲線。（1）矢量線的疏密表征矢量場的大小。（2）矢量線上每點(diǎn)的切線方向代表該處矢量場的方向。,矢量線舉例,磁場線,電場線,2、矢量場的通量,問題：如何定量描述矢量場的大??？ 引入通量的概念。,通量的概念：,——面積元的法向單位矢量；,——穿過面積元 的通量；,如果曲面 S 是閉合

13、的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對(duì)閉合曲面的通量是：,,1) 面元矢量 定義：面積很小的有向曲面。,：面元面積，為微分量，數(shù)學(xué)上為無限?。?：面元法線方向，垂直于面元平面。,2) 面元法向 的確定方法： 對(duì)非閉合曲面：由曲面邊線繞向按右手螺旋定則確定； 對(duì)閉合曲面：閉合面的外法線方向。,面元矢量,通過閉合曲面有凈的矢量線穿出（正源）,有凈的矢量線進(jìn)入（負(fù)源）,進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等（無源）,

14、矢量場通過閉合曲面的通量的三種可能結(jié)果：,閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。,通量的物理意義：,1.4.3 散度,散度的定義,在場空間 中任意點(diǎn) M 處作一個(gè)閉合曲面，所圍的體積為 ，則場矢量 在 M 點(diǎn)處的散度定義為：,即流出單位體積元封閉面的通量。,散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。,散度的物理意義,矢量場的散度值表征空間中某點(diǎn)

15、處通量源的密度。,( （正源),（負(fù)源),( （無源）,若 ，則該矢量場稱為有散場，?為源密度。,若 ，則該矢量場稱為無散場。,,在直角坐標(biāo)系下：,在圓柱坐標(biāo)系下：,在球坐標(biāo)系下：,散度的計(jì)算公式,散度運(yùn)算相關(guān)公式,,1.4.4 散度定理（矢量場的高斯定理）,物理意義： 矢量場的散度在體積V上的體積分等于矢量場在限定該體積的閉合曲面S上的

16、面積分。,對(duì)空間區(qū)域V剖分；對(duì)于每個(gè)小體積元?V，由散度定義可知：,則在一定體積V內(nèi)的總的通量為：,證明：,,1.5.1 矢量場的環(huán)流,線元矢量 ：長度趨近于0，方向沿路徑切線方向。,物理意義：若矢量場環(huán)流不為零，則矢量場中存在產(chǎn)生矢量場的漩渦源。,在矢量場 空間中，場量 沿有向閉合路徑 的線積分稱為矢量 沿閉合路徑 的環(huán)流，即：,1.5 矢量場的環(huán)流與旋度,,33,如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流

17、恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。如果矢量場對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。 電流是磁場的旋渦源。,環(huán)流面密度,空間某點(diǎn)M處沿單位面元 ?S 邊界閉合曲線的環(huán)流稱為矢量場 在M點(diǎn)處沿 方向的環(huán)流面密度。,環(huán)流面密度大小與所選取的單位面元方向 有關(guān)。,矢量場在M點(diǎn)的旋度為該點(diǎn)處的最大環(huán)流

18、面密度，其方向?yàn)榄h(huán)流面密度取得最大值的面元法線方向，記為 ，即：,式中： 表示矢量場旋度的方向。它是環(huán)流面密度取得最大值的面元正法線單位矢量。,旋度的物理意義,矢量場的旋度表征了矢量場在空間某點(diǎn)處的漩渦源密度。,1.5.2 旋度,,,旋度的計(jì)算,直角坐標(biāo)系：,可見，旋度描述了場分量在與其垂直的方向上的變化規(guī)律。,,,,,,柱面坐標(biāo)系：,球面坐標(biāo)系：,,旋度計(jì)算相關(guān)公式：,無散場,無旋場,矢量場的旋度在曲面S上的面積

19、分等于該矢量場沿限定該曲面的閉合路徑C上的線積分。,1.5.3 斯托克斯定理,Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。,從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即,4、散度和旋度的區(qū)別,,,,若矢量場 在某區(qū)域V內(nèi)，處處 ，但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有 ，則稱在該區(qū)域V內(nèi)場

20、 為有散無旋場。,1.6 無旋場與無散場（矢量場的分類）,1.6.1 有散無旋場,即：無旋場場矢量沿任何閉合路徑C 的環(huán)流等于零。,重要性質(zhì)：,可引入標(biāo)量位函數(shù) u 的梯度表征矢量場，即,例如：靜電場,,,,1.6.2 有旋無散場,若矢量場 在某區(qū)域V內(nèi)，處處 ，但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有 ，則稱在該區(qū)域V內(nèi)，場 為有旋無散場。,即：無散場通過任意閉合曲面S的通量等于零。,

21、重要性質(zhì)：,可引入矢量位函數(shù)A的旋度表示無散場：,例如，恒定磁場,1.6.3 無旋無散場,1.6.4 有散有旋場,這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分。,,,例子：源在所討論的區(qū)域之外,,1.7 拉普拉斯運(yùn)算,標(biāo)量場的拉普拉斯運(yùn)算,在直角坐標(biāo)系中：,在圓柱坐標(biāo)系中：,,,,矢量場的拉普拉斯運(yùn)算,在直角坐標(biāo)系中：,在球坐標(biāo)系中：,格林定理（格林恒等式） 描述了場域內(nèi)任意兩個(gè)標(biāo)量場之間應(yīng)滿足的關(guān)系。,(格林第一恒等式

22、),由高斯定理：,基于上式還可獲得下式：,格林定理說明了區(qū)域 V 中的場與邊界 S 上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。,此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。,(格林第二恒等式),1.8 亥姆霍茲定理,在有限區(qū)域內(nèi)，任一矢量場由它的散度、旋度和邊界條件（即限定區(qū)域V的閉合面S上的矢量場分布）唯一地確定，且可表示

23、為：,,矢量場 F 可表為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和。標(biāo)量函數(shù) u 由 F的散度和F在邊界面S上的法向分量確定；矢量函數(shù) 由 F的梯度和F在邊界面S上的切向分量確定。,式中：,,任一矢量場可分解一個(gè)有散無旋場和有旋無散場之和，即：,有散無旋場,有旋無散場,1.8 亥姆霍茲定理,,對(duì)于無界空間，若有 則 由其散度和旋度完全確定。,對(duì)于無界空間，散度和旋度均為0的矢量場不存在（沒有源，何來場？）。,,可求解