《電磁學》第1章-第1.3節(jié)-高斯定理2學時

1、華僑大學信息科學與工程學院電子科學與技術(shù)系Email：zllin@hqu.edu.cn,林志立,《電磁學》第一章 靜電場（8學時）,QQ群：200310752,第一章 教學內(nèi)容,§1.1 靜電的基本現(xiàn)象和基本規(guī)律（1學時）§1.2 電場 電場強度（1學時）§1.3 高斯定理（2學時）§1.4 電勢及其梯度（2學時）§1.5 帶電體系的靜電能（2學時）,§1.3 高

2、斯定理,1.3.1 電場線及其數(shù)密度,用一族空間曲線形象地描述電場場強分布，通常把這些帶有方向的曲線稱為電場線。,特點：電場線上每一點的切線方向與該點的電場方向相同。,,§1.3 高斯定理,1.3.1 電場線及其數(shù)密度,電場大小正比于數(shù)密度：,在電場中任一點，取一垂直于該點場強方向的面積元，通過單位面積的電場線數(shù)目，就是電場線數(shù)密度。它代表了等于該處電場線的疏密程度，也正比于該點場強的大小。,,電場線方程：,方向相同,垂直穿過

3、面積元ΔS的電場線有ΔN根,§1.3 高斯定理,1.3.1 電場線及其數(shù)密度,(1) 電場線起始于正電荷(或無窮遠處)，終止于負電荷（或無窮遠處），不會在沒有電荷處中斷；(2) 帶電體系中正負電荷相等時，正電荷發(fā)出的電場線全部集中到負電荷上去；(3) 兩條電場線不會相交；(4）靜電場的電場線不會形成閉合曲線。,電場線的性質(zhì)：,,,,平行板電容器內(nèi)部和附近的電場線分布情況,§1.3 高斯定理,1.3.2 電場強度

4、通量,,規(guī)定,,不垂直時,如何計算通過任意曲面的電(場強度)通量？,方法: (1)把曲面進行面元分割； (2) 視每一面元上的局部電場均勻； (3) 積分累加。,E和ΔS垂直時,§1.3 高斯定理,1.3.2 電場強度通量,?閉合曲面的面元法線方向：沿閉合面法線方向由內(nèi)指向外。 對于非閉合曲面，根據(jù)預先規(guī)定的邊界線繞向，再根據(jù)右手螺旋法則確定其面元法向方向 ）,夾角θ

5、為鈍角,夾角θ為鈍角,,穿越閉合曲面的總電通量：,§1.3 高斯定理,1.3.3 高斯定理的表述和證明,通過一個任意閉合曲面S的電場強度通量 等于該面所包圍的所有電荷電量的代數(shù)和∑q除以 ，與閉合面外的電荷無關(guān)。,高斯定理的表述：,高斯定理的證明：,(1) 利用庫侖定律+電場強度公式+電場線+ 疊加原理；(2) 先證明點電荷的電場遵守高斯定理，然后推廣至一般電荷的情況。,§1.3 高斯定理,1

6、.3.3 高斯定理的表述和證明,高斯定理的證明：,1） 當源電荷為點電荷q，閉合曲面S為球面時,通過球面的電通量，即穿過球面電場線的根數(shù)為,+,在該條件下，在電場中取一包圍點電荷、以點電荷為球心、半徑為r的球面S。,§1.3 高斯定理,1.3.3 高斯定理的表述和證明,高斯定理的證明：,?2）當源電荷為點電荷q，閉合曲面S為任意形狀時,+,點電荷q發(fā)出（或接收）的電場線不中斷;穿越球面和任意曲面的電場線條數(shù)相等。因此，在球

7、面和任意閉合曲面上電通量相等，且等于q/ε0 .,推理：,§1.3 高斯定理,1.3.3 高斯定理的表述和證明,高斯定理的證明：,?3）閉合曲面S為任意形狀,曲面不包圍點電荷q時,點電荷q發(fā)出（或接收）的電場線不中斷。,推理：,+,E線穿出閉合曲面,E線穿入閉合曲面,,條數(shù)相等,電通量為負(q>0時),電通量為正（q>0時),,,,,絕對值相等，符號相反,（電荷在曲面外）,§1.3 高斯定理,1.

8、3.3 高斯定理的表述和證明,高斯定理的證明：,?4）當存在多個點電荷時，電場強度通量等于它們單獨存在時的電場強度通量的代數(shù)和．,閉合曲面所包圍的k個點電荷量之和，不包含曲面外的(i-k)個點電荷量。,,總共有i個點電荷，位于曲面內(nèi)的有k個。,,,,,,,§1.3 高斯定理,1.3.4 從高斯定理看電場線的性質(zhì),1.電場線的起點、終點,（a)起點,夾角為銳角,電通量,由高斯定理：,所以：電場線起點處一定存在正電荷,（b)終點,

9、夾角為鈍角,電通量,由高斯定理：,所以：電場線終點處一定存在負電荷,推論：電場線不會在沒有電荷的地方中斷。,§1.3 高斯定理,1.3.4 從高斯定理看電場線的性質(zhì),1.電場線的起點、終點,a) 單一點電荷情形: 正電荷： 正電荷發(fā)出 根電場線。 負電荷：來自無窮遠的 根電場線終止于負電荷,由正電荷發(fā)出的電場線全部終止于負電荷由正電荷發(fā)出的電場線部分終止于負電荷，其余的電場線終止

10、于無窮遠終止負電荷的部分電場線來自于無窮遠,b) 正負電合同時存在時,§1.3 高斯定理,1.3.4 從高斯定理看電場線的性質(zhì),2.電場線的疏密與場強的大小,電場線管：由一束電場線圍成的管狀區(qū)域。,電場線管性質(zhì)：在側(cè)面上沒有電場線穿過。,電場線管的高斯面及通量 ：,高斯面： 側(cè)面+兩個截面。,假設(shè)不包圍電荷，則：,表明：電場線稀疏處，電場弱；電場線密集處，電場強。,§1.3 高斯定理,1.3.5 高斯定理應用舉例

11、,在電荷分布具有某種對稱性，或特殊性的情況下，高斯定理等式右側(cè)中的E在對稱面上相等，E或平行或垂直于高斯面，由此利用高斯定理可以求出E，并且數(shù)學上比電場疊加（積分）方法簡潔。,常見的具有對稱性分布的電荷載體,§1.3 高斯定理,1.3.5 高斯定理應用舉例,例1. 均勻帶電球殼，總電量為q，半徑為R，求：內(nèi)外電場分布。,,,,,,R,,o,,【 解】：分析電荷分布的對稱性，選取合適的高斯面(閉合面),先從高斯定理等式的左方入手

12、，即：先計算通過高斯面的電通量。,? 取過場點P、以O(shè)為球心的球面作為高斯面,§1.3 高斯定理,1.3.5 高斯定理應用舉例,,,,,,R,,o,,由高斯定理：,球殼內(nèi)部空間的場強處處為0。,帶電球殼在外部空間產(chǎn)生的電場，與其上電荷全部集中在球心時產(chǎn)生的電場一樣。,§1.3 高斯定理,1.3.5 高斯定理應用舉例,,,,,如何理解球面內(nèi)的場強為0 ?,過P點作小圓錐在球面上截出兩個電荷元,在P點的場強,在P點

13、的場強,方向向右,方向向左,,§1.3 高斯定理,1.3.5 高斯定理應用舉例,例2.均勻帶電球體，總電量為q，半徑為R，求：內(nèi)外電場分布。,【 解】：與均勻帶電球面相同，根據(jù)電荷分布的對稱性，選取合適的高斯面(閉合面),先從高斯定理等式的左方入手，即：先計算高斯面的電通量。,?取過場點P為球面，以O(shè)為球心的球面作為高斯面,§1.3 高斯定理,1.3.5 高斯定理應用舉例,由高斯定理：,§1.3 高斯定理,

14、1.3.5 高斯定理應用舉例,例3.求均勻帶電無限長的直線的電場分布，線密度為ηe。,【 解】：電場對稱性分析取合適的高斯面（圓柱面）計算通過閉合高斯面的電通量,,,,,,,,,,,,,利用高斯定理解出,,§1.3 高斯定理,1.3.5 高斯定理應用舉例,例4. 求均勻帶電的無限平面薄板的場強，面密度為σe。,【 解】：電場對稱性分析取合適的高斯面（圓柱面）計算通過閉合高斯面的電通量,§1.3 高斯定理,

15、1.3.5 高斯定理應用舉例,例4. 求均勻帶電的無限平面薄板的場強，面密度為σe。,計算電通量,全空間E均勻,§1.3 高斯定理,1.3.5 高斯定理應用舉例,（1）高斯定理是靜電場的基本性質(zhì)之一，可由庫侖定律推導得到。（2）高斯定理、場強積分都可求解電場，其差別為： a) 高斯定理：僅用高斯定理只能求對稱（特殊帶電體系的電場分布。

16、 電通量不為零的面上E相等。 積分方法：可以求任意帶電體系的場強分布 b) 由高斯定理求E簡單，積分方法求E復雜。（3）高斯定理與電場疊加原理結(jié)合求電場 帶電體系：由幾個對稱帶電體組成（4）高斯定理求電場的要點 a)對稱性分析； b)電場方向分析； c) 高斯面選?。籨) 求通量、面內(nèi)電荷，在求解方程。,[高斯定理及應用總結(jié)],&#

17、167;1.3 高斯定理,1.3.5 高斯定理應用舉例,[高斯定理及應用總結(jié)],（5）高斯定理中q 、 E的理解 q為高斯面內(nèi)的電荷，電場E可能由高斯面內(nèi)、外的電荷產(chǎn)生。,（6）高斯定理的局限性：不能完整地地描述電場原因：高斯定理僅包含了庫侖定律的部分（即 電通量）性質(zhì),只能求解特殊帶電體系的電場。分析：根據(jù)庫侖定律得到靜電場的其他定理：電場環(huán)路定理。,作業(yè)：pp. 49-50