第13章-固體中的電子

1、,固體一般指晶體，是物質(zhì)的一種凝聚態(tài)，它的電性質(zhì)、磁性質(zhì)、甚至力性質(zhì)都與其中的電子有關(guān)。,一、金屬的自由電子氣模型：,第13章 固體中的電子,§13.1 金屬中的自由電子,金屬中能夠自由流動(dòng)的公共電子稱為自由電子。自由電子之間相互作用很弱，像氣體分子一樣，彌漫在金屬內(nèi)部，把自由電子整體稱為自由電子氣。,電子具有波粒二象性,障礙物尺寸 >> 波長(zhǎng) ? 陰影障礙物尺寸 << 波長(zhǎng) ? 無影響

2、障礙物尺寸 ? 波長(zhǎng) ? 衍射,把金屬中的公共電子近似看作處于三維無限深方勢(shì)阱中的自由電子氣的簡(jiǎn)化模型稱為自由電子氣模型。,二、自由電子氣的費(fèi)米能量：,,3 方向駐波,,3 方向動(dòng)量,,電子能量,多個(gè)量子態(tài)對(duì)應(yīng)一個(gè)能級(jí) E，稱為簡(jiǎn)并。與一個(gè)簡(jiǎn)并能級(jí)對(duì)應(yīng)的量子態(tài)數(shù)目叫簡(jiǎn)并度。,電子能量本征值,為三個(gè)方向一維無限深方勢(shì)阱定態(tài)薛定諤方程能量本征值的和。nx, ny, nz 分別為 x, y, z 方向的量子數(shù)。,用

3、 表示自由電子量子態(tài),例 (2, 1, 1, 1/2) (2, 1, 1, –1/2) (1, 2, 1, 1/2) (1, 2, 1, –1/2) (1, 1, 2, 1/2) (1, 1, 2, –1/2),能級(jí)簡(jiǎn)并度為 6,在量子數(shù)空間 (即動(dòng)量空間， )，量子態(tài)對(duì)應(yīng)具有正整數(shù)坐標(biāo)的點(diǎn)，,半徑為 R 的球面上各點(diǎn)具有相同的

4、 值和相同的能量,一個(gè)量子態(tài)對(duì)應(yīng)量子數(shù)空間一個(gè)單位體積，能量小于 E 的狀態(tài)數(shù),,,,,,,,,,,,,,金屬單位體積內(nèi)自由電子能量小于 E 的狀態(tài)數(shù)為,T = 0K 時(shí)，由能量最低原理和泡利不相容原理，電子一個(gè)一個(gè)地從能量最低的狀態(tài)向能量較高的狀態(tài)填充，電子可填充的最高能級(jí)叫費(fèi)米能級(jí) EF。,由 ns = 金屬中自由電子密度 n ，得費(fèi)米能級(jí),費(fèi)米能級(jí) (能量) 決定于 n 。,,,,,,,,,,,,,真空能

5、級(jí),EF,,,,費(fèi)米能量 EF ~ eV,在此狹小能量區(qū)間，密集排布著(自由電子數(shù) /2) 個(gè)能級(jí)，所以自由電子的能量分布是準(zhǔn)連續(xù)的。,費(fèi)米速度 vF,,即使在絕對(duì)零度下，電子仍然劇烈地運(yùn)動(dòng)著。,費(fèi)米溫度 TF,這是從另一角度表示量子理論和經(jīng)典理論在電子能量狀態(tài)上的差別，是指按經(jīng)典理論電子具有費(fèi)米能量時(shí)的溫度。,,對(duì) 求導(dǎo)，得 E 附近單位能量區(qū)間的量子態(tài)數(shù)，即態(tài)密

6、度,三、態(tài)密度：,當(dāng)溫度升高時(shí)，電子與晶格離子無規(guī)則碰撞而獲得能量，被激發(fā)至較高能級(jí)，但仍滿足泡利不相容原理。,常溫下，電子可以從晶格獲得 kT ? 0.026eV << EF的能量，所以僅僅少量的能量稍低于 EF 的電子能夠躍遷到較高能級(jí)上去，電子態(tài)占據(jù)僅有較少改變。,,§13.2 固體能帶理論,金屬自由電子理論忽略了正離子周期性勢(shì)場(chǎng)對(duì)電子運(yùn)動(dòng)的影響。若考慮其作用，則產(chǎn)生能帶。,一、固體的能帶：,以

7、兩個(gè) Na 原子形成 Na2 分子為例， 設(shè) ?1 和 ?2 分別為兩個(gè) Na 原子的價(jià)電子 (3s電子) 的波函數(shù)，? 為 Na2 分子的共有化電子的波函數(shù)。,波函數(shù)疊加 ? = ?1 + ?2,概率分布 |?|2 = |?1 + ?2|2 = |?1|2 + |?2|2 + ?1*?2 + ?1?2*,當(dāng)原子相距無窮遠(yuǎn)時(shí)，交換項(xiàng) ?1*?2 + ?1?2* = 0當(dāng)原子接近時(shí)，若?1*?2 +?1?2* >0，|?|2

8、> |?1|2 +|?2|2則形成化學(xué)鍵，能量?；否則不形成化學(xué)鍵，能量?。,,1. 能帶的形成：,(1) 當(dāng)原子孤立存在時(shí)，具 有各自能級(jí)。,(2) 當(dāng)兩原子靠近時(shí)，每個(gè) 能級(jí)一分為二，曲線 1 能量降低，形成分子； 曲線 2 能量升高，不形 成分子。r0 為鍵長(zhǎng)，能級(jí) E1 占據(jù)，能級(jí) E2 空閑。,(3) N 個(gè)原子聚集時(shí)，每個(gè)能級(jí)分裂為 N 個(gè)能級(jí)，一 半能級(jí)

9、占據(jù)，一半能級(jí)空閑。,(4) 形成晶體時(shí)，分裂的能級(jí) (間隔極小) 組成能帶， 一半能帶占據(jù)，一半能帶空閑。,,能帶,能帶,不同能帶之間可能發(fā)生重疊。,能帶的形成來源于原子的相互作用，或波函數(shù)的交疊。能帶理論適用于金屬、絕緣體、半導(dǎo)體。,2. 電子在能帶中的排布：,服從泡利不相容原理和能量最低原理。,原子 l 次殼層，(2l +1) 個(gè)能級(jí)，最多容納 2(2l +1)個(gè)電子； N 個(gè)原子形成晶體，每能級(jí)

10、分裂為包含 N 個(gè)能級(jí)的能帶，該能帶最多容納 2(2l +1)N 個(gè)電子。,電子在能帶中排布時(shí)，應(yīng)從最低能級(jí)排起。,例如，1s, 2s 能帶，最多容納 2N個(gè)電子； 2p, 3p 能帶，最多容納 6N個(gè)電子。,二、固體導(dǎo)電性能的能帶論解釋：,電子剛好填充完畢的能帶由價(jià)電子占據(jù)，稱為價(jià)帶。,T = 0K 時(shí)有空量子態(tài)存在的能帶叫導(dǎo)帶。,能帶之間沒有量子態(tài)存在的區(qū)域叫禁帶。,價(jià)帶,(導(dǎo)帶),禁帶,,價(jià)帶,導(dǎo)帶,禁帶,

11、,,導(dǎo)體有未填滿的價(jià)帶，當(dāng)有外加電場(chǎng)時(shí)，價(jià)帶電子被加速，從電場(chǎng)中獲得能量，可躍遷至價(jià)帶中較高的空能級(jí)，因而能夠形成電流。,絕緣體價(jià)帶填滿, 價(jià)帶電子若想躍遷至高能級(jí) (在導(dǎo)帶內(nèi))，必須越過很寬的禁帶 Eg，一般電場(chǎng)不能提供這么多能量，所以絕緣體不導(dǎo)電，但有擊穿現(xiàn)象。,半導(dǎo)體雖然價(jià)帶也填滿，但禁帶寬度 Eg 很小，價(jià)帶電子相對(duì)容易進(jìn)入導(dǎo)帶， 因此導(dǎo)電性能介于導(dǎo)體和絕緣體之間。,例1 固體物理學(xué)習(xí)慣取脫離金屬束縛的電子的能量

12、為正值，束縛于金屬中的電子的能量為負(fù)值，而剛好逸出金屬的靜止電子的能量為零 (該能級(jí)叫真空能級(jí))。利用下列數(shù)據(jù)計(jì)算鈉金屬的費(fèi)米能量和導(dǎo)帶底能量。(1) 用波長(zhǎng)為 300nm 的單色光照射鈉金屬，發(fā)出光電子的最大初動(dòng)能為 1.84eV； (2) 密度 971kg/m3，摩爾質(zhì)量 23.0g/mol。,,解：利用光電效應(yīng)方程，得逸出功,逸出功就是電子從費(fèi)米能級(jí)躍遷至真空能級(jí)所吸收的能量，因此費(fèi)米能量,,利用自由電子氣模型費(fèi)米能

13、量公式，導(dǎo)帶底能量為,解:,例2 用光來激發(fā)半導(dǎo)體硫化鎘 (CdS) 中的電子，使之能夠成為載流子，光波波長(zhǎng)最大為多少？已知禁帶寬度 Eg = 2.42eV。,例3 估計(jì)金剛石的電擊穿場(chǎng)強(qiáng)。已知金剛石的禁帶寬度Eg = 5.5eV，電子運(yùn)動(dòng)的平均自由程 ? = 0.2?m。,解：如果金剛石內(nèi)的電子在一個(gè)平均自由程的運(yùn)動(dòng)過程中，被電場(chǎng)加速獲得的能量能夠使電子從價(jià)帶躍遷到導(dǎo)帶，則金剛石就被電擊穿。,,以 Eb 表示擊穿場(chǎng)強(qiáng)，

14、則 Eg = eEb?，由此得,§13.3 半導(dǎo)體導(dǎo)電,一、半導(dǎo)體導(dǎo)電特點(diǎn)：,1. 禁帶寬度 Eg 較小 (300K 時(shí) Si-1.14eV, Ge-0.67eV)， 常溫下即有少量電子被激發(fā)至導(dǎo)帶，在電場(chǎng)作用下 形成電流，但電導(dǎo)率介于導(dǎo)體和絕緣體之間。,2. 溫度升高時(shí)，更多電子進(jìn)入導(dǎo)帶，增加電導(dǎo)率，有 熱敏性和光敏性。,3. 除電子導(dǎo)電外，還有空穴導(dǎo)電。,,價(jià)帶電子躍入導(dǎo)帶后在價(jià)帶中留下的空量

15、子態(tài)叫空穴。帶正單位電荷。,,,,,,半導(dǎo)體導(dǎo)電是導(dǎo)帶電子導(dǎo)電和價(jià)帶空穴導(dǎo)電共同起作用的結(jié)果。,,,,,,,,二、半導(dǎo)體分類：,1. 本征半導(dǎo)體：具有相同數(shù)量的自由電子和空穴。 例如，純 Si，純 Ge。,2. 雜質(zhì)半導(dǎo)體：適量摻入其他種原子的半導(dǎo)體。,,,N 型：電子是多數(shù)載流子 空穴是少數(shù)載流子,,,P 型：空穴是多數(shù)載流子 電子

16、是少數(shù)載流子,例 室溫下純硅中傳導(dǎo)電子 (由價(jià)帶進(jìn)入導(dǎo)帶的電子) 的數(shù)密度 n0 約為1016 m-3。問多少個(gè)硅原子貢獻(xiàn)一個(gè)傳導(dǎo)電子？如果向其中摻入微量磷雜質(zhì)，平均每 5 ?106 個(gè)硅原子有一個(gè)被磷原子取代，則傳導(dǎo)電子數(shù)密度增加多少倍？ 設(shè)每個(gè)磷原子都有一個(gè) “多余的” 電子進(jìn)入導(dǎo)帶。 已知硅的密度和摩爾質(zhì)量分別為 2330kg/m3 和 28.1g/mol。,,解：純硅的原子數(shù)密度,所以 nSi / n0 = 5?

17、1028 / 1016 = 5?1012 個(gè)硅原子貢獻(xiàn)一個(gè)傳導(dǎo)電子?？芍雽?dǎo)體的導(dǎo)電能力比金屬弱得多。,利用已知數(shù)據(jù)，磷雜質(zhì)原子的數(shù)密度為 nP = nSi / 5?106 = 1022 m-3,由每個(gè)磷原子貢獻(xiàn)一個(gè)傳導(dǎo)電子可知，這也是由于摻入磷雜質(zhì)而增加的傳導(dǎo)電子數(shù)密度。,,所以傳導(dǎo)電子數(shù)密度為 nP + n0 ，增加的倍數(shù)為,如此微量的雜質(zhì)使傳導(dǎo)電子增加了100萬倍！可見，雜質(zhì)半

18、導(dǎo)體的導(dǎo)電能力比本征半導(dǎo)體增強(qiáng)非常顯著。,PN結(jié)應(yīng)用：,發(fā)光二極管,太陽能光電池,集成電路,作 業(yè),(大學(xué)物理學(xué) 下冊(cè)P214習(xí)題)13-2，13-12，13-14,量子力學(xué)的建立,,birthday of quantum mechanics,,,,Max Planck (1858-1947) Nobel Prize 1918,14 December 1900,Planck (age 42) suggests that

19、radiation is quantizedE = hn   h = 6.626x10-34 J?s,1897 Thompson (age 41) Nobel Prize 1906 measures the electron "plum pudding" model 1905 Einstein (age 26) proposes the photon1

20、911 Rutherford (age 40) infers the nucleus,Status of physics,Albert Einstein (1879-1955) Nobel Prize 1921,1913, Bohr (age 28) constructs a theory of atom1921 Bohr Institute opened in Copenhagen (Denmark)It

21、 became a leading center for quantum physics(Pauli, Heisenberg, Dirac, …),Niels Bohr (1885-1962) Nobel Prize 1922,old quantum theory,舊量子論,matrix formulation of quantum mechanics,Werner Heisenberg (1901-1976)Nobel Pr

22、ize 1932,1925 at Göttingen (Germany) M. Born (age 43) W. Heisenberg (age 23) P. Jordan (age 22),Max Born (1882-1970)Nobel Prize 1954,wavefunction formulation of quantum mechanics,Erwin Schrödinger (1887-19

23、61)Nobel Prize 1933,1923 De Broglie (age 31) matter has wave properties,Louis de Broglie (1892-1987) Nobel Prize 1929,1926 Schrödinger (age 39) Schrödinger equation,,1926 Erwin Schrödinger in Austria

24、 Carl Eckert (age 24) in AmericaProved: wave mechanics = matrix mechanics (Schrödinger and Heisenberg theories equivalent mathematically) Schrödinger's wave mechanics eventually b

25、ecame the method of choice, because it is less abstract and easier to understand than Heisenberg's matrix mechanicsNeumann (mathematician) invented operator theory Largely because of his work (publish his book i

26、n 1932), quantum physics and operator theory can be viewed as two aspects of the same subject.,wave mechanics = matrix mechanics,Paul Dirac (1902-1984)Nobel Prize 1933,1925 Pauli (age 25) Pauli exclusion principle,

27、Wolfgang Pauli (1900-1958)Nobel Prize 1945,1928 Dirac (age 26) Dirac equation (quantum+relativity),,The 5th Solvay Conference in 1927,Held in Belgium, the conference was attended by the world's most notable physic

28、ists to discuss the newly formulated quantum theory.,A number of scientists, including Schrödinger, de Broglie, and most prominently Einstein, remained unhappy with the standard probabilistic interpretation of qu

29、antum mechanics.,,"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it." - Niels Bohr,It was applied to atoms, molecules, and solids.

30、It solved with ease the problem of heliumIt was used to explain chemical bondingIt resolved various questions: structure of stars, nature of superconductors,