應(yīng)用統(tǒng)計(jì)3

1、總體屬性的分布？分布的參數(shù)？,總體,樣本數(shù)據(jù),,樣本,問(wèn)題1：如何用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體？,問(wèn)題2：用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體變化范圍 以及該估計(jì)的可靠性,問(wèn)題3：如何檢驗(yàn)關(guān)于總體的統(tǒng)計(jì)判斷的真?zhèn)危?第三部分：參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn),一、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì),1、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)的一般提法設(shè)總體 X 的分布函數(shù)F=(x ,? )的形式已知，? 是待估參數(shù)，X1, X2, …., Xn 是 X 的一個(gè)樣本，x1, x2, ….,

2、xn 是 相應(yīng)的樣本觀測(cè)值。點(diǎn)估計(jì)就是要構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量? (X1, X2, …., Xn) ，用它的觀測(cè)值? (x1, x2, …., xn )來(lái)估計(jì)未知參數(shù)?。,2、參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的求法（1）矩估計(jì)法(estimation by moments) 用樣本各階原點(diǎn)矩的函數(shù)來(lái)估計(jì)總體各階原點(diǎn)矩的同一個(gè)函數(shù)的方法稱(chēng)為矩估計(jì)法。相應(yīng)的估計(jì)量稱(chēng)為矩估計(jì)量。,例1 從某燈泡廠生產(chǎn)的一批燈泡中，隨機(jī)地抽取了10只，測(cè)得壽命如

3、下1050，1100， 1080， 1120， 1200， 1250， 1040， 1130， 1300， 1200。,用矩估計(jì)法估計(jì)該批燈泡的平均壽命與標(biāo)準(zhǔn)差。 用樣本均值和樣本2階中心矩估計(jì)總體均值與方差。即取估計(jì)量為,估計(jì)值分別為,（2）順序統(tǒng)計(jì)量方法設(shè)樣本X1, X2, …., Xn 的一組觀測(cè)值 x1, x2, …., xn 已按照升序排列，

4、 x1 ? x2 ? …. ? xn稱(chēng) xk 是為樣本第 k 個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量的觀察值。,樣本極差 R = xn - x1 ， 樣本中位數(shù)均為順序統(tǒng)計(jì)量。,順序統(tǒng)計(jì)量計(jì)算簡(jiǎn)單，不受極端值的影響。在總體為連續(xù)型且概率密度為對(duì)稱(chēng)的情形，常用中位數(shù)估計(jì)總體均值，用極差的函數(shù)估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差。,一般情況下，dn可由下式近似計(jì)算,3、點(diǎn)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 對(duì)同一個(gè)待估參數(shù)，可以構(gòu)造不同的點(diǎn)估計(jì)量，

5、孰好孰劣？從統(tǒng)計(jì)的原理角度，應(yīng)如何構(gòu)造，如何評(píng)價(jià)優(yōu)劣？（1）無(wú)偏性,例2 樣本k階原點(diǎn)矩均值是總體k階原點(diǎn)矩均值的無(wú)偏估計(jì)量。例3 樣本2階中心矩B2是總體方差的有偏估計(jì)量。,的含義是：在樣本容量相同的情況下，前者的方差比后者小，即其觀察值更集中在真值? 的附近。由于估計(jì)量密集在真值附近的程度是用 衡量的。當(dāng) 是無(wú)偏的，有,例4 樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量。,例5 當(dāng)總體分

6、布有偏倚時(shí)，樣本中位數(shù)是總體均值的有偏估計(jì)量。,（2）有效性,故，方差小者為好。,是? 的一致估計(jì)量。,例6 對(duì)于正態(tài)總體，樣本均值與樣本中位數(shù)均是總體均值的無(wú)偏估計(jì)量。,,樣本均值優(yōu)于樣本中位數(shù),（3）一致性,依概率收斂與?，則稱(chēng),若估計(jì)量,對(duì)于任意的,，當(dāng)n??時(shí)，,樣本的k階原點(diǎn)矩Ak是總體k階原點(diǎn)矩的一致性估計(jì)量。進(jìn)一步，若g 是連續(xù)函數(shù)，,則,是? 的一致估計(jì)量。,例7 設(shè)有一批產(chǎn)品，為估計(jì)其廢品率p ，隨機(jī)取一樣本,若

7、取 ，則 , 所以是 p 的無(wú)偏估計(jì)量。,由切比雪夫不等式，有,是 p 的一致無(wú)偏估計(jì)量。,二、參數(shù)的區(qū)間估計(jì),1、參數(shù)的區(qū)間估計(jì)的一般提法 設(shè)總體 X 的分布函數(shù)F=(x ,? )的形式已知，的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量,,滿(mǎn)足,則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間,是? 的置信度為100（1-?）%，的置信區(qū)間。,分別稱(chēng)為置信度為1-?的雙

8、側(cè)置信區(qū)間的置信下限與置信上限。,例7 設(shè)總體~N( ? , 0.09)，隨機(jī)抽得4個(gè)獨(dú)立觀察值x1, x2, x3, x4 ，求總體均值?的95%置信區(qū)間。,服從N(0, 1), 與?無(wú)關(guān)。對(duì)給定的置信度? ，應(yīng)有,由不等式推得,查表得 z0.025=1.96, 0.15z0.025=0.294，故?的95%置信區(qū)間為,區(qū)間估計(jì)的含義是：當(dāng)我們對(duì)X進(jìn)行多次抽樣（M次）每一次抽樣提供了一個(gè)區(qū)間，共M個(gè)，根據(jù)大數(shù)定理，

9、這M個(gè)區(qū)間中大約有100(1 - ?)%個(gè)包含真值 。,注：置信區(qū)間不唯一，習(xí)慣上取最窄的，及關(guān)于?對(duì)稱(chēng)的。 上述置信區(qū)間為雙側(cè)置信區(qū)間，但對(duì)于某些實(shí)際問(wèn)題。如產(chǎn)品的壽命、服務(wù)時(shí)間等，只關(guān)心下限。而對(duì)于產(chǎn)品的次品率、成本等只管心上限。,給定 0 < ? <1，若統(tǒng)計(jì)量 滿(mǎn)足,稱(chēng) 是? 的置信度為100（1-?）%，的

10、單側(cè)置信區(qū)間。 為置信下限,給定 0 < ? <1，若統(tǒng)計(jì)量 滿(mǎn)足,稱(chēng) 是? 的置信度為100（1-?）%，的單側(cè)置信區(qū)間。 為置信上限,例8 若N( ? , 0.09)為產(chǎn)品壽命分布，隨機(jī)地抽取了9只，求置信度為99%的置信下限,查表得 z0。01=2.33, 0.1z0.01= 0.233，故?的9

11、9%置信區(qū)間為,1、總體均值的區(qū)間估計(jì)方法,（1）樣本取自總體方差已知的正態(tài)分布置信度為1-?的雙側(cè)置信區(qū)間為單側(cè)置信區(qū)間分別為,（2）樣本取自總體方差已知的非正態(tài)分布（大樣本）置信度為1-?的雙側(cè)置信區(qū)間為,（3）樣本取自總體方差未知的正態(tài)分布,查t分布表得到t?/2,置信度為1-?的雙側(cè)置信區(qū)間為,例9 對(duì)某型號(hào)的汽車(chē)的最大速度進(jìn)行了30次實(shí)驗(yàn)，測(cè)得樣本的平均速度為220公里/小時(shí)，樣本方差S2為16公里。根據(jù)長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)知，

12、最大速度服從正態(tài)分布，求平均最大速度的95%的置信區(qū)間。解：正態(tài)總體，方差未知，求?的置信區(qū)間,查表得 t0.025(29)=2.045,,置信度為95%的雙側(cè)置信區(qū)間為,置信度為95%的單側(cè)置信區(qū)間為,查表得 t0.05(29)=1.699,,置信度為95%的單側(cè)置信區(qū)間為,在大樣本情況下，用正態(tài)分布代替t分布， z0.025 = 1.96, z0.05=1.65對(duì)應(yīng)的置信區(qū)間分別為：

13、 與,（4）樣本取自總體方差未知的非正態(tài)分布（大樣本） 用正態(tài)分布代替t分布,2、兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì),(1) 兩個(gè)正態(tài)總體，方差已知,,,置信區(qū)間為,設(shè)n1 和n2分別為來(lái)自?xún)蓚€(gè)正態(tài)總體的樣本容量，樣本均值之差服從,(2) 兩個(gè)正態(tài)總體，方差未知但相等,其中,,,置信區(qū)間,(3) 兩個(gè)非正態(tài)總體，方差未知（大樣本）,置信區(qū)間,3、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì),對(duì)于正態(tài)總體,,,有,方差的置信區(qū)間,標(biāo)準(zhǔn)差的置信

14、區(qū)間,設(shè)X服從兩點(diǎn)分布，分布律為 f(x, p) = px (1 - p)1-x x = 0, 1X1, X2, …., Xn 為取自X的一個(gè)樣本,4、總體比率p的區(qū)間估計(jì),統(tǒng)計(jì)量 按照中心極限定理近似服從N( 0, 1)當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值總體比率的置信度為1-?的近似置信區(qū)間由下式確定,要求

15、60;當(dāng) 接近 1 或 0 時(shí)，n 須很大。,5、兩個(gè)總體比率之差的區(qū)間估計(jì),設(shè)兩個(gè)總體比率分別為p1 和p2， n1 和n2分別為來(lái)自?xún)蓚€(gè)總體的樣本容量，當(dāng)n1 p1 、n1(1- p1)和n2p2 、n2(1- p2) 均大于5時(shí)， 樣本比率之差( p1- p2)，近似服從,置信度為1-?的近似置信區(qū)間為,例1 某工廠采購(gòu)了一批設(shè)備備件，歷史經(jīng)驗(yàn)表明該種備件的平均使用壽命為1100小時(shí)。備件供應(yīng)商稱(chēng)所提供的備件為

16、改進(jìn)型號(hào)。工廠希望通過(guò)抽樣，做出這批改進(jìn)型號(hào)備件的平均使用壽命是否超過(guò)原型號(hào)的平均壽命1100小時(shí)的判斷。,二、假設(shè)檢驗(yàn)1、假設(shè)檢驗(yàn)的一般原理,回答有兩個(gè)：,這種根據(jù)樣本數(shù)值判斷一個(gè)有關(guān)總體的假設(shè)是否成立稱(chēng)為假設(shè)檢驗(yàn)。 首先對(duì)某一總體的參數(shù)作出假設(shè)，然后隨機(jī)抽樣，求得樣本統(tǒng)計(jì)值，并據(jù)此分析這個(gè)假設(shè)是否成立，得出否定或不否定的結(jié)論，并作出決策。 關(guān)于總體參數(shù)的假設(shè)由兩部分組成，即原假設(shè)H0與替代假設(shè)H1。前者是接受檢

17、驗(yàn)的假設(shè)，后者是當(dāng)原假設(shè)被否定時(shí)，另一種可成立的假設(shè)。兩者相互對(duì)立。,關(guān)于總體均值的假設(shè)有三種情況：H0：? = ?0 ；H1：? ? ?0 ；雙邊檢驗(yàn)H0：? ? ?0 ；H1：? ? ?0 ；單邊檢驗(yàn)H0：? ? ?0 ；H1：? ? ?0 ；單邊檢驗(yàn) 分析思路：依據(jù)樣本，構(gòu)造合理的統(tǒng)計(jì)量，分析參數(shù)的樣本統(tǒng)計(jì)值與假設(shè)值的差距：差距越小，則說(shuō)明假設(shè)值成立的可能性越大；差距越大，則說(shuō)明假設(shè)值成立的可能性越小

18、。故如果分析結(jié)果表明差距是顯著的，則否定原假設(shè)。而所謂顯著是指小概率事件發(fā)生了這一個(gè)事實(shí)。稱(chēng)小概率 ? 為顯著性水平，常取?=0.01，0.05，0.1等值。,依據(jù)分析結(jié)果，最后作出決策。決策的正誤有四種情況：,假設(shè)狀態(tài)：,決策：,正確,取偽,拒真,正確,原則上，希望?與?均很小，但在一定的樣本容量下，減小?會(huì)導(dǎo)致?上升；減小?會(huì)導(dǎo)致?增大。在?相同的情況下，構(gòu)造不同的統(tǒng)計(jì)量會(huì)得到不同的?。?的確定可采用成本效益分析方法

19、60; Min{總成本C} = ? ??導(dǎo)致的成本 + ???導(dǎo)致的成本 稱(chēng)在1-?下，拒絕H0的統(tǒng)計(jì)值的值域?yàn)榉穸ㄓ?，其他區(qū)域?yàn)榻邮苡颉?統(tǒng)計(jì)決策規(guī)則 在假設(shè)檢驗(yàn)中對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的控制規(guī)則 在例１中， H0：? ? 1100 ；H1：? ?1100,如果樣本的均值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1100，則會(huì)接受? ? 1100 ；相反，如果樣本的均值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1100，則會(huì)拒絕接受? ?1100。因此采用如下

20、形式的規(guī)則對(duì)H0和H1：進(jìn)行選擇：,其中，A是1100附近的某個(gè)數(shù)。上述規(guī)則稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)決策規(guī)則。A稱(chēng)為決策界限。假設(shè)工廠規(guī)定A=1125小時(shí)，則決策規(guī)則為,統(tǒng)計(jì)決策規(guī)則中風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算例1中，假設(shè)n=36, ? = 300,H0：? ? 1100 ；H1：? ?1100,為確定風(fēng)險(xiǎn)，首先需要計(jì)算選擇H0和H1的概率為多少。用P(H1, ?)表示接受H1的概率，依據(jù)決策規(guī)則有,決策規(guī)則為,?的值未知，需要對(duì)?的不同的可能值計(jì)算P(H1,

21、?)。由于在大樣本情況下，有,?=1050,?=1125,?=1200,P(H1,1125)= )=P(z>0)= 0.5,P(H1,1050)=P(z>1.5)=0.0668,P(H1,1200)= )=P(z>-1.5)= 0.9332,0.5,1.0,,0.0,,?風(fēng)險(xiǎn),?風(fēng)險(xiǎn),,,決策界限與樣本容量對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的影響,決策界限A對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的影響,0.5,1.0,,0.0,,,,,H0正確

22、 H1正確 錯(cuò)誤為第1類(lèi) 錯(cuò)誤為第2類(lèi),1000 1050 1100 1175 1200,錯(cuò)誤概率,,,圖中，實(shí)線(xiàn)為A=1125對(duì)應(yīng)的錯(cuò)誤曲線(xiàn)，虛線(xiàn)為A=1150對(duì)應(yīng)的錯(cuò)誤曲線(xiàn)。對(duì)于給定的樣本容量，

23、只有以增大一種類(lèi)型錯(cuò)誤的概率為代價(jià)，才能減少另一種錯(cuò)誤的概率。,樣本容量對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的影響,圖中，實(shí)線(xiàn)為n=36對(duì)應(yīng)的錯(cuò)誤曲線(xiàn)，虛線(xiàn)為n=100對(duì)應(yīng)的錯(cuò)誤曲線(xiàn)。當(dāng)n增加時(shí)，除了1100到1125之間外，兩種風(fēng)險(xiǎn)同時(shí)減少。在給定的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)問(wèn)題中，只有增加樣本容量才能使兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率同時(shí)減小。,假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟：l        依據(jù)研究目的，提出原假設(shè)H0與替代假設(shè)H1；

24、l        選擇?；l        選定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布l        依據(jù)?，確定統(tǒng)計(jì)量的否定域l        計(jì)算統(tǒng)計(jì)量值，作出決策：

25、統(tǒng)計(jì)值落在否定域，說(shuō)明H0與樣本有顯著差異，拒絕H0；統(tǒng)計(jì)值落在接受域，說(shuō)明H0與樣本無(wú)顯著差異。2、常用參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（1）   總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)l        正態(tài)總體，且方差已知例 某廠購(gòu)買(mǎi)一批鋁板，供貨商稱(chēng)鋁板的平均厚度0.1cm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.002。現(xiàn)抽檢100張，測(cè)得平均厚度為0.1004cm，問(wèn)該批鋁板的厚度是否為0.1

26、cm。解：X~ N( ? ,0.0022) 取 ? = 0.05,由于 事件 為小概率事件（? = 0.05），查表z?/2=1.96而由樣本觀察值計(jì)算，故拒絕假設(shè)：H0: ?=0.1cm,,,解：X~ N( ? ,0.0022) 取 ? = 0.05假設(shè)：H0: ?=0.1cm

27、；H1: ? ? 0.1cm,在上述假設(shè)下，相當(dāng)于取決策規(guī)則為,如果,則接受H0，反之，則接受H1。計(jì)算得到A1=0.1 -1.96?0.002/10=0.099608； A2=0.1 +1.96?0.002/10=0.100392 所以，拒絕H0。,,,例 某產(chǎn)品月產(chǎn)量X~ N( 75 ,14)，設(shè)備更新后，為考核產(chǎn)量是否有顯著提高，抽查了6個(gè)月的產(chǎn)量，得樣本均值為78，假定方差不變，問(wèn)在?為 0.05下，月產(chǎn)量是否

28、有顯著提高？解： 假設(shè)：H0: ? ? 75 ；H1: ? > 75,取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,為小概率（? = 0.05），查表z0.05=1.645而由樣本觀察值計(jì)算，故否定H0，即月產(chǎn)量有顯著提高。,決策規(guī)則為：如果,則接受H0，反之拒絕H0?，F(xiàn)在樣本均值為78，所以，拒絕H0。,為小概率（? = 0.05），查表z0.05=1.645而由樣本觀察值計(jì)算，故否定H0，即月產(chǎn)量有顯著提高。,,l  

29、      正態(tài)總體，且方差未知,取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,l        非正態(tài)總體，大樣本且方差已知,取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,（2）兩個(gè)總體均值之差的假設(shè)檢驗(yàn),兩個(gè)正態(tài)總體，方差已知,,,設(shè)n1 和n2分別為來(lái)自?xún)蓚€(gè)正態(tài)總體的樣本容量，樣本均值之差服從,雙邊檢驗(yàn)：H0：?1 = ?2 ；H1： ?1 ? ?2 ；單邊檢驗(yàn)

30、：H0：?1 ? ?2 ；H1： ?1 ? ?2 ； 或 H0：? 1? ?2 ；H1：? 1? ?2,統(tǒng)計(jì)量為,決策規(guī)則為,其中,,,兩個(gè)非正態(tài)總體，方差未知（大樣本）,兩個(gè)正態(tài)總體，方差未知但相等,統(tǒng)計(jì)量為,統(tǒng)計(jì)量為,決策規(guī)則為,（2）總體比率p 的假設(shè)檢驗(yàn),統(tǒng)計(jì)量,樣本比率,決策規(guī)則為,例：一家英國(guó)食品公司用鱈魚(yú)制作“油煎魚(yú)和土豆片”。由于白鱈魚(yú)是一種價(jià)格更低、產(chǎn)量更大的魚(yú)類(lèi)。如果至少有

31、50%的顧客喜歡白鱈魚(yú)甚于鱈魚(yú)，管理者就決定改用白鱈魚(yú)做菜。設(shè) p 表示更喜歡白鱈魚(yú)的消費(fèi)者的比率，因此管理者希望得到調(diào)查結(jié)果支持?，F(xiàn)以同樣的方式制作兩種魚(yú)類(lèi)菜肴，隨機(jī)抽取n =265 名消費(fèi)者為隨機(jī)樣本，對(duì)每人進(jìn)行不看樣品的品嘗試驗(yàn)。得到的樣本比率為144/265。取顯著水平為0.05。,雙邊檢驗(yàn),單邊下尾檢驗(yàn),單邊上尾檢驗(yàn),解： 假設(shè)：H0: p ? 0.5 ；H1 :p < 0.5 查表 z?= 1.6

32、45,決策界限為,現(xiàn),所以，接受H0，即至少有一半的消費(fèi)者喜歡白鱈魚(yú)。,要求  當(dāng) p 接近 1 或 0 時(shí)，n 須很大。,(3) 兩個(gè)總體比率之差的假設(shè)檢驗(yàn),設(shè)兩個(gè)總體比率分別為p1 和p2， n1 和n2分別為來(lái)自?xún)蓚€(gè)獨(dú)立總體的樣本容量，當(dāng)n1 p1 、n1(1- p1)和n2p2 、n2(1- p2) 均大于5時(shí)， 樣本比率之差( p1- p2)，近似服從,統(tǒng)計(jì)量,決策規(guī)則為,？,例：在市場(chǎng)分析中，欲驗(yàn)證上海市居

33、民喜歡高蛋白早點(diǎn)的比率西安市居民喜歡高蛋白早點(diǎn)的比率有明顯差別。現(xiàn)分別從兩個(gè)城市抽取了容量為200的隨機(jī)樣本。數(shù)據(jù)表明西安居民喜歡高蛋白早點(diǎn)的樣本比率為36%，而上海居民喜歡高蛋白早點(diǎn)的樣本比率為40%。問(wèn)調(diào)查數(shù)據(jù)是否支持上述結(jié)論。取顯著水平為0.05。,假設(shè): H0: p 1 - p 2 = 0 ；H1 : p 1 - p 2 ? 0,決策界限為,查表 z?/2= 1.96,現(xiàn),所以，接受H0 。,通過(guò)確定樣本容量控制兩類(lèi)風(fēng)險(xiǎn),如果